排列組合中幾個易混淆問題辨析

1、排列組合中幾個易混淆問題辨析文章來源：現(xiàn)代教育報(bào)·思維訓(xùn)練 作者：王強(qiáng)芳 點(diǎn)擊數(shù)：1583 更新時間：2007-4-12 14:25:58 . 分組問題分組問題是排列組合中的一個難點(diǎn)，主要有以下三種情況.1 非平均分組問題在非平均分組問題中，不管是給出組名或不給出組名，其分組的方法相同.【例】 把個人分成如下三組，分別求出以下各種分組的方法數(shù).（）分成甲、乙、丙三組，其中甲組人、乙組個、丙組人.（）分成三組，其中一組人、一組人、一組人.解： （）先從人中任選人為甲組，余下人中任選人為乙組，剩下人為丙組，則共有種不同的分組方法.（2）先從人中任選人為一組有種選法，再從余下人中任選人有種

2、選法，剩下的人為一組，共有種不同的方法.【點(diǎn)評】 由于各組人數(shù)不同，這個問題屬于非平均分組問題，盡管第（1）個問題中給出了甲、乙、丙三個組，而第（）個問題只是給出了各組人數(shù)而沒有具體指定組名，但分組的方法數(shù)都是一樣的.易錯點(diǎn)：誤把（）的結(jié)果表示為.2 平均分組問題上面的非平均分組問題中，是否給出組名對結(jié)果沒有影響，但在平均分組問題中一定要注意問題是否給出了具體的組名，它們的結(jié)果是不同的.【例】 有本不同的書，按下列要求分配，各有多少種不同的分法？（）分給甲、乙、丙三人，每人兩本.（）平均分成三份.解： （）從本書中任取本給一個人，再從剩下的本中取本給另一個人，剩下的本給最后一人，共有種分法.（

3、）設(shè)平均分成三堆有x種方法，再分給甲、乙、丙三人每人得本，則應(yīng)有 種不同的分法.【點(diǎn)評】 上面例子可以看出：兩個問題都是分成堆，每堆本，屬于平均分組問題，而（）分到甲、乙、丙三人，屬于到位問題，相當(dāng)于給出了甲、乙、丙三個指定的組，但（）沒有給出組名，因而結(jié)果是不同的.一般地，把n、m個不同元素平均分到m個不同的位置，有種方法，把n、m個不同元素平均分成m組有種分法.易錯點(diǎn)：錯把（）的結(jié)論寫為錯把（）的結(jié)論寫為.3 局部平均分組問題某些分組問題中，有一部分組之間的元素的個數(shù)相同，但又不是所有組的元素都相同，這樣的分組稱為局部平均分組.解決這問題同樣要考慮分組時是否給出了組名.【例】 （）把本不同

4、的書分給人，兩人各得本，另外兩人各得本，有幾種分法？（）把本不同的書分成份，兩份各本，兩份各本，有幾種分法？解析： 我們先來研究：“兩個無區(qū)別的白球與兩個無區(qū)別的紅球排成一排的方法數(shù)”問題.如果這個球各不相同，則有種排法，由于白球和紅球各有種排法，因此兩個白球與兩個紅球排成一排的排法有種，下面來解決上述問題.（）可按下面步驟完成：先將本書分成本、本、本、本個部分，然后讓四個人去全排列取書，即有種.（）先把本書分成本、本、本、本的堆，由于兩個本與兩個本是無區(qū)別（沒有順序）的，因此，所求的分法數(shù)為種.【點(diǎn)評】 兩個問題同屬局部平均分組問題，但（）中指定分給了個人，相當(dāng)于指定了組名，而（）沒有給出組

5、名，因此分組的情況是不相同的.事實(shí)上，（）中相當(dāng)于把本書分成兩份本，兩份本，共有種分配方法，然后把它分給個人.在元素相同的組中，若沒給出具體的組名，則必須除以相同元素的組數(shù)的階乘，若把問題改為：把本不同的書分成、四堆，其中、各本，、各本，則有幾種分法？該問題的分法有種分法.易錯點(diǎn)：誤把（）中的結(jié)論表示為 .因此，在解決分組問題中，要弄清以下幾點(diǎn)：分配對象是否明確（組名是否給出）？是否平均分配？是否局部平均分配？分配中有無順序關(guān)系？. 擋板模型與分組問題擋板模型是解決排列組合問題的常用方法之一，且效果極佳，但有些分配問題如果不加分析而亂套擋板模型，則極易出現(xiàn)誤解.【例】 個教師分配到個

6、班參加活動，每班至少人，有幾種不同的分法？錯解： 把個老師排成一排，中間投入四塊擋板：|，只要在塊擋板中任取塊，一共有種不同的方法.錯因： 個教師是互不相同的，而用擋板時，要求這些元素必須相同.即把問題改為：把個名額分配給個班，每班至少有人.問有幾種不同的分法？個名額是沒有區(qū)別順序的.可用擋板法解決.正解：先把位老師分成三堆，有兩類：、和、2、2分別有和種，再分到三個班里，共有種.【點(diǎn)評】 類似上面的分配問題，當(dāng)元素有區(qū)別時，要利用分組辦法解決，當(dāng)元素?zé)o區(qū)別時，可用擋板模型來解決.3. 擋板模型與雙排問題在元素?zé)o區(qū)別分配問題中，通?？紤]用擋板模型來解決，但一定要注意題目給出的條件，否則極易出錯

7、.【例】 從個班中選人組成一個籃球隊(duì)（無任何要求），有幾種選法？錯解： 選把個指標(biāo)排好，插入塊擋塊：|然后在塊擋板中任取塊即可分成份，有種分法.錯因： 問題并沒有給出“每班至少人”這個條件，而采用擋板解決時，實(shí)際上它就是要求每班至少有人參加.事實(shí)上，這個名額可給一個班，也可給兩個班正解：因?yàn)榘褌€指標(biāo)分成個部分，只須塊擋板，稱為第一類元素，個指標(biāo)為第二類元素，共個元素.當(dāng)這些元素都有區(qū)別時共有種排法.但個指標(biāo)，塊擋板各組之間不管怎么變化，其實(shí)就是一種情況的共有種不同分法（或）.【點(diǎn)評】 當(dāng)分組數(shù)超過個時，若沒有給出“每組至少有個”這個條件時，是不能用擋板法解決的，而要用雙排列方法解決.而雙排問題

8、就是把元素分成相同的兩類，然后加以解決.兩類元素排列的問題涉及面很廣，它實(shí)質(zhì)上就是有重復(fù)元素排列的一種簡單情形，在歷年的高考中時有出現(xiàn)，應(yīng)予以重視. 教平均分組與不平均分組有感西周中學(xué) 周玲素學(xué)生在學(xué)習(xí) 高二數(shù)學(xué)第十章排列、組合和二項(xiàng)式定理過程中，解答有關(guān)平均分組與不平均分組的應(yīng)用題時感到非常棘手，主要是難以理解、無法入手。作為教師，如何突破這一難點(diǎn)呢？我吸取以往學(xué)生學(xué)習(xí)這塊知識點(diǎn)困難的教訓(xùn)，根據(jù)歷年來的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，決定對今年這屆高二學(xué)生采用新的教學(xué)方法，效果還真不錯。首先，在要上這塊內(nèi)容的前一天，我自擬了一道題，分15小題，題目簡潔明了，寫在小張練習(xí)紙上發(fā)給學(xué)生作預(yù)習(xí)工作。例：有6本不同的書，

9、分給甲、乙、丙三人，每人得2本，有多少種方法？分成三堆，每堆2本，有多少種方法？分給甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種方法？分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種方法？分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種方法？分給甲、乙、丙三人，甲得4本，乙、丙各得1本，有多少種方法？分成三堆，一堆4本，另兩堆各1本，有多少種方法？分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各得1本，有多少種方法？分成三堆，共有多少種方法？分給三人，每人至少1本，共有多少種方法？分成四堆，其中兩堆各1本，另兩堆各2本，有多少種方法？分給甲、乙、丙、丁四人，其中甲、乙各得1本，丙、丁

10、各得2本，有多少種方法？分給甲、乙、丙、丁四人，其中兩人各得1本，另兩人各得2本，有多少種方法？分成四堆，共有多少種方法？分給四人，每人至少1本，共有多少種方法？從當(dāng)天晚上學(xué)生預(yù)做情況來看，前幾題尚有點(diǎn)解題思路，越做到后來，頭腦就被弄得稀里糊涂。我叢容學(xué)生大膽嘗試，無論結(jié)論正確與否，先按照自己對排列、組合的理解，對每一題作出一個結(jié)論。即使有許多同學(xué)頭腦中理不清思路，從而得不出一個結(jié)論，但最起碼對各小題都進(jìn)行了認(rèn)真的思考。其次，在第二天課堂上師生共同對15小題進(jìn)行討論。分給甲、乙、丙三人，每人得2本，有多少種方法？生：第小題中，先從6本書中任取2本給甲有62種方法，再從剩下4本書中選出2本給乙有

11、42種方法，留下最后2本給丙有22種方法，所以共有624222種方法。師：肯定的答案是624222，那么第小題的答案呢？是不是也是624222？分成三堆，每堆2本，有多少種方法？師生共同探討：若是按624222來取書，我們先把6本書進(jìn)行編號，分別記作本1、本2、本3、本4、本5和本6。取法可能有在步驟62時取到本1和本2，接下來在步驟42時取到本3和本4，最后在步驟22取到本5和本6，結(jié)果分成本1和本2、本3和本4、本5和本6三堆；但也有可能先取到本3和本4，再取到本1和本2，最后取到本5和本6，結(jié)果也分成本1和本2、本3和本4、本5和本6三堆?？梢娚鲜鰞煞N可能只能算一種，這說明按624222種算有重復(fù)。那第小題的答案應(yīng)是什么呢？很明顯下述6種取法： 本1和本2 本3和本4 本5和本6 本1和本2 本5和本6 本3和本4 本3和本4 本1和本2 本5和本6 本3和本4 本5和本6 本1和本2 本5和本6 本1和本2 本3和本4 本5和本6 本3和本4 本1和本2 實(shí)際上 分成本1和本2、本3和本4、本5和本6共三堆。在第小題中算6種，而在 第小題中算1種方法。不難得出第小題的答案應(yīng)是 624222 /6種。為什么是除以6呢 ？不難發(fā)現(xiàn)三個量 “本1和本2 ”、“本3和本4”、“ 本5和本6”的全排列共有33個，