【KS5U解析】四川省新津中學(xué)2019-2020學(xué)年高一4月月考（入學(xué)）數(shù)學(xué)（理）試題 Word版含解析

1、20192020學(xué)年度（下期）高2019級(jí)4月月考試卷理科數(shù)學(xué)第卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共有12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)、且，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】利用特殊值法可判斷b、d選項(xiàng)的正誤，利用不等式的基本性質(zhì)可判斷a選項(xiàng)的正誤，利用作差法可判斷c選項(xiàng)的正誤，進(jìn)而可得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于a選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，a選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于b選項(xiàng)，取，則，b選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于c選項(xiàng)，則、中至少有一個(gè)不為零，所以，則，所以，即，c選項(xiàng)正確；對(duì)于d選項(xiàng)，取，則，d選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式的大小比

2、較，一般利用不等式的基本性質(zhì)、作差（商）法、特殊值法來(lái)比較，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知，則( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和倍角公式，即可求解.【詳解】由，得，得答案選a【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和倍角公式，記準(zhǔn)公式，正確計(jì)算是解 題的關(guān)鍵.3.在等比數(shù)列中，已知，那么的前4項(xiàng)和為（ ）.a. 81b. 120c. 121d. 192【答案】b【解析】【分析】根據(jù)求出公比，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】 , .故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題.4.化簡(jiǎn)=（ ）a. b. c. d. 【答案】b

3、【解析】【分析】利用降次公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，由此求得正確結(jié)論.【詳解】依題意，原式，故選b.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)降次公式，考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.5.在中，內(nèi)角、所對(duì)的邊分別是、，且不等式的解集為，則等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】解不等式，可得出、，再利用余弦定理可計(jì)算出的值.【詳解】解不等式，得，由余弦定理得.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知、為銳角，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求出，然后利用兩角和正切公式可求

4、得的值.【詳解】為銳角，則，所以，.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和的正切公式求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.在中，角的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則（ ）a. b. c. d. 2【答案】a【解析】【分析】由求出再求出，由正弦定理求出.【詳解】a，c是三角形內(nèi)角，.又，又，.故選a【點(diǎn)睛】本題考查同角間正余弦值互化、兩角和正弦公式、正弦定理，屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)的最大值為（ ）a. b. c. d. 2【答案】a【解析】由題意，得；故選a.9.在中，內(nèi)角、所對(duì)的邊分別是、，若、成等比數(shù)列，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得出，利用正弦定理邊角互

5、化思想得出，再結(jié)合正弦定理邊角互化思想可求得，進(jìn)而得解.【詳解】由于、成等比數(shù)列，則，由正弦定理得，所以，.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理邊角互化思想求值，同時(shí)也考查了等比中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知中，、分別是、的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，則的面積等于（ ）a. b. c. 或d. 或【答案】d【解析】【分析】計(jì)算出和，利用余弦定理求出，然后利用三角形面積公式可求得的面積.【詳解】由于、分別是、的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)，則，得，得.由余弦定理得，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，的面積為；當(dāng)時(shí)，的面積為.綜上所述，的面積為或.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，同時(shí)也考查了

6、利用余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11.在遞減等差數(shù)列 中，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為 ( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】設(shè)公差為 ，所以由，得 （正舍），即 ，因?yàn)?，所以數(shù)列的前項(xiàng)和等于 ，選d.點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如 (其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和，常見(jiàn)的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類(lèi)隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或.12.設(shè)等差數(shù)列滿(mǎn)足，公差，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，求該數(shù)列首項(xiàng)的取值范圍（ ）a. b. c. d.

7、【答案】a【解析】， ， ，則，公差，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則，把代入后解不等式，選a.【點(diǎn)睛】本題為三角函數(shù)式恒等變形與等差數(shù)列綜合題，利用兩角和差的三角函數(shù)公式簡(jiǎn)化已知條件，轉(zhuǎn)化為三角方程，利用題目所提供的范圍求出等差數(shù)列的公差，由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和有最大值，則首項(xiàng)為正，公差為負(fù)，根據(jù)是關(guān)于n的二次函數(shù)，圖象為開(kāi)口向下的拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，說(shuō)明對(duì)稱(chēng)軸介于（8.5，9.5），解不等式后得出答案.第卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分13.不等式的解集為_(kāi).（用區(qū)間表示）【答案】【解析】【分析】將不等式變形為，解該不

8、等式即可.【詳解】由得，解得或，因此，不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.若數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，且則_【答案】【解析】試題分析：令，得，當(dāng)時(shí)，與已知式相減，得，時(shí)，適合，考點(diǎn)：數(shù)列的求和15.船在島a的正南方向的b處,以的速度向正北方向航行,同時(shí)乙船自島a出發(fā)以的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲乙兩船相距最近時(shí),它們所航行的時(shí)間為_(kāi).【答案】【解析】【分析】如圖,當(dāng)兩船航行后,甲船到d處,乙船到c處,由余弦定理得，即得解.【詳解】如圖,當(dāng)兩船航行后,甲船到d處,乙船到c處,則,所以當(dāng)時(shí),最小,即兩船最近.故答案為：【點(diǎn)睛】本

9、題主要考查余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.16.在中，內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、，若的面積為，且，則等于_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理和三角形的面積公式得出關(guān)于和的等式，結(jié)合建立方程組解出和的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】，由三角形的面積公式和余弦定理得，得，由題意可得，解得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形面積公式和余弦定理求角，解答的關(guān)鍵就是建立有關(guān)和的方程組，利用方程思想求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知公差不為零的等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)

10、列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列的公差，利用首項(xiàng)和公差表示數(shù)列的項(xiàng)，利已知三項(xiàng)成等比列方程求出公差，寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由于適合使用分組求和，所以利用分組求和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)的和，注意利用等差數(shù)列和等比數(shù)列 的前n項(xiàng)和公式的使用.試題解析：（1）設(shè)數(shù)列公差為 成等比數(shù)列（舍）或.（2）令.【點(diǎn)睛】本題是等差數(shù)列與等比數(shù)列及數(shù)列求和綜合題，設(shè)等差數(shù)列的公差，利用首項(xiàng)和公差表示數(shù)列的項(xiàng)，利已知三項(xiàng)成等比列方程求出公差，寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由于適合使用分組求和，所以利用分組求

11、和法求出數(shù)列的前n項(xiàng)的和，注意利用等差數(shù)列和等比數(shù)列 的前n項(xiàng)和公式的使用.18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知面積為，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1);(2).【解析】試題分析：(1) 通過(guò)三角形的面積以及已知條件求出b，c，利用余弦定理求a的值;(2) 利用兩角和的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)，然后直接求解即可.試題解析：(1)在中，由，可得，又因?yàn)?，所以，?又，解得，.由，得.(2)因?yàn)?，所?19.已知在中，角的對(duì)邊分別為,且. （1）求的值；（2）若,求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將分

12、別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將轉(zhuǎn)化為，于是可以求出的值；（2）首先根據(jù)求出角的值，根據(jù)第（1）問(wèn)得到的值，可以運(yùn)用正弦定理求出外接圓半徑，于是可以將轉(zhuǎn)化為，又因?yàn)榻堑闹狄呀?jīng)得到，所以將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的正弦型函數(shù)表達(dá)式，這樣就可求出取值范圍；另外本問(wèn)也可以在求出角的值后，應(yīng)用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，當(dāng)然，此時(shí)還要注意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件. 試題解析：（1）由，應(yīng)用余弦定理，可得 化簡(jiǎn)得則 （2） 即 所以 法一. ,則 = = = 又 法二因?yàn)?由余弦定理得，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.所以 又由三邊關(guān)系定理可知綜上20.已知數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，且（1）求

13、數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求；（3）若對(duì)任意，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得；（3）求出數(shù)列的最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解出該不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為的等比數(shù)列，故.所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），因此，；（3）因，所以數(shù)列單調(diào)遞增，即的最小值為，由于對(duì)任意，有恒成立，則，整理得，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法以及數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題的求解，考查計(jì)算能

14、力，屬于中等題.21.在中，內(nèi)角、所對(duì)的邊分別是、，不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立.（1）求的取值范圍； （2）當(dāng)取最大值，且的周長(zhǎng)為時(shí)，求面積的最大值，并指出面積取最大值時(shí)的形狀（參考知識(shí)：已知、，；、，）【答案】（1）；（2）面積的最大值為，此時(shí)為等邊三角形.【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論，在時(shí)檢驗(yàn)即可，在時(shí)，可得出，由此可求得的取值范圍；（2）由（1）知，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，利用等號(hào)成立的條件判斷的形狀，利用三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】（1），則.當(dāng)時(shí)，原不等式即為對(duì)一切實(shí)數(shù)不恒成立；當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，解得或（舍去）.，則，所以，因此，的取值范圍是；（2）

15、，的最大值為.由余弦定理得，由基本不等式可得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）. 的面積為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）. 此時(shí)，面積的最大值為，為等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題考查利用變系數(shù)的二次不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，同時(shí)也考查了三角形面積最值的計(jì)算，涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.22.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿(mǎn)足，對(duì)任意,都有.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）令.若對(duì)任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用，結(jié)合累乘法，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得，利用差比較法證得是遞增數(shù)列，由此求得的取值范圍.化簡(jiǎn)不等式，得恒成立.構(gòu)造函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，即又,也滿(mǎn)足上式，故數(shù)