根據(jù)遞推公式定理,求數(shù)列通項公式定理的通用方法情況總結(jié)歸納

1、,.求遞推數(shù)列通項公式的常用方法歸納目錄一、概述·二、等差數(shù)列通項公式和前n 項和公式·1 、等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程·2 、等差數(shù)列前n 項和公式的推導(dǎo)過程·三、一般的遞推數(shù)列通項公式的常用方法·1 、公式法·2 、歸納猜想法·3 、累加法·4 、累乘法·,.5 、構(gòu)造新函數(shù)法( 待定系數(shù)法）·6 、倒數(shù)變換法·7 、特征根法·8 、不動點法·9 、換元法·10 、取對數(shù)法·11 、周期法·一、概述在高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，數(shù)列作為離散

2、函數(shù)的典型代表之一，不僅在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置，而且，在現(xiàn)實生活中有著非常廣泛的作用，同時，數(shù)列的教學(xué)也是培養(yǎng)觀察、分析、歸納、 猜想、邏輯推理以及運用數(shù)學(xué)知識提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑。,.數(shù)列這一章蘊含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對數(shù)列概念、公式的理解， 而且運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的過程，往往能誘發(fā)知識的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會貫通的解決多數(shù)列問題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學(xué)方法：1 、不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，而且可以幫助學(xué)生有效

3、的解決問題，在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式推導(dǎo)的過程就用到了不完全歸納法。2 、倒敘相加法等差數(shù)列前n 項和公式的推導(dǎo)過程中，就根據(jù)等差數(shù)列的特點，很好的應(yīng)用了倒敘相加法，而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。3 、錯位相減法錯位相減法是另一類數(shù)列求和的方法，它主要應(yīng)用于求和的項之間通過一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化，并且是多個數(shù)求和的問題。等比數(shù)列的前n 項和公式的推導(dǎo)就用到了這種思想方法。4 、函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就是一個特殊的函數(shù)，而且是離散的函數(shù)，因此在解題過程中，尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時，可以將它們看成一個函數(shù)，進(jìn)而運用函數(shù)的性質(zhì)和特點來解決問題。5 、

4、方程的思想方法 數(shù)列這一章涉及了多個關(guān)于首項、末項、項數(shù)、公差、公比、第和前 n 項和這些量的數(shù)學(xué)公式，而公式本身就是一個等式，因此，在求這些數(shù)學(xué)量的過程n 項,.中，可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù)，通過公式建立關(guān)于求未知量的方程，可以使解題變得清晰、明了，而且簡化了解題過程。二、等差數(shù)列通項公式和前n 項和公式第一節(jié)：等差數(shù)列前n 項和的推導(dǎo)過程1 、等差數(shù)列通項公式：(1) 可以從等差數(shù)列特點及定義來引入。定義： n 2 時，有 an a(n 1)=d ，則：a2=a1 da3=a2 d=a1 2da4=a3 d=a1 3da5=a4 d=a1 4d,.猜測并寫出an= ？（2 ）采取累

5、加a2 a1=da3 a2=da4 a3=dan a(n 1)=d累加后，有：an a1=(n 1)d ，即：an=a1 (n 1)d 。2 、等差數(shù)列前n 項和：方法一：高斯算法（即首尾相加法）1 + 2 + 3 +50+51+98+99+100=？,.1+100=101，2+99=101，,50+51=101，所以原式 =50（ 1+101 ） =5050則利用高斯算法，容易進(jìn)行類比，過程如下：a1a 2a 3.a n 2a n 1a n?a1a na 2a n 1a 3a n 2.其中若 mnpq ,則 a ma na pa q這里用到了等差數(shù)列的性質(zhì)：a1an問題是一共有多少個，學(xué)生自

6、然想到對n 取奇偶進(jìn)行討論。（1 ）當(dāng) n 為偶數(shù)時：Sn a1anan1an22,.Snn(a1 an )2（2 ）當(dāng) n 為奇數(shù)時：Sn a1a n 1a n 1an 1an12212分析到這里發(fā)現(xiàn)a n 1 “落單”了，似乎遇到了阻礙，此時鼓勵學(xué)生不能放棄，在2老師的適當(dāng)引導(dǎo)下，不難發(fā)現(xiàn)，an 1 的角標(biāo)與 ( a1an )角標(biāo)的關(guān)系2Snn 1(a1an ) an 122n 1an 1an 1an )22(a122n2(a1an ),.Snn ( a1 an )2從而得到，無論n 取奇數(shù)還是偶數(shù)，總結(jié)：（1 ）類比高斯算法將首尾分組進(jìn)行“配對”，發(fā)現(xiàn)需要對n 取奇偶進(jìn)行討論，思路自然，

7、容易掌握。（ 2 ）不少資料對 n 取奇數(shù)時的處理辦法是，當(dāng)討論進(jìn)行不下去時轉(zhuǎn)向?qū)で笃渌鉀Q辦法，進(jìn)而引出倒序相加求和法。方法二：對 n 的奇偶進(jìn)行討論有點麻煩，能否回避對n 的討論呢？接下來給出實際問題：伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數(shù)呢？由此引入倒序相加求和法。Sna1 a2an 1 anSnan an 1a2 a12Snn(a1an )兩式相加得：Sn (aa )n21n總結(jié)：（ 1 ）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要最優(yōu)化的學(xué)習(xí)，因此引導(dǎo)學(xué)生去尋求更有效的解決辦法，讓學(xué)生,.在解決問題的同時也體會到同一個問題有不同的解決辦法，而我們需要的是具備高效率的方法。（ 2 ）倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思

8、想，方法比公式本身更為重要，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。（ 3 ）在過程中體會數(shù)學(xué)的對稱美。三、一般的遞推數(shù)列通項公式的常用方法一、公式法例 1 、 已知無窮數(shù)列a n的前 n 項和為 Sn ，并且 anSn1(nN * ) ，求 a n 的通項公式？【解析】：Q Sn 1an ，an 1Sn 1 Snanan 1 ，an 11 an ，又 a11，22nan1.2反思：利用相關(guān)數(shù)列a n 與 Sn 的關(guān)系： a1S1, anSnSn 1(n2) 與提設(shè)條件， 建立遞推關(guān)系，是本題求解的關(guān)鍵.二、 歸納猜想法 ：由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這

9、種方法叫歸納法.,.例 2 、 已知數(shù)列a n中， a11， an2an 11(n2) ，求數(shù)列a n 的通項公式 .【解析】：Q a11 ， an2an 11(n2) ，a22a113 ， a32a217猜測 an2n1 ( nN * ) ，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（略）反思： 用歸納法求遞推數(shù)列，首先要熟悉一般數(shù)列的通項公式，再就是一定要用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性 .三 、累加法 ：利用 ana1 (a2 a1 )(an an 1 ) 求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如 an 1 anf (n) 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法（f (n) 可求前 n 項和） .n例 3 、 已 知 無 窮

10、 數(shù) 列 a n的 的 通 項 公 式 是 an1， 若 數(shù) 列 bn 滿 足 b1 1 ，21n(n 1) ，求數(shù)列bnbn 1 bn的通項公式 .21n1【解析】： b11, bn 1bn( n1) , bn b1(b2b1 )2(bn bn 1 ) =1+ +.+2n 1n 111= 2.22反思 :用累加法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為an1anf (n) 。四 、累乘法 :利用恒等式 ana1a2a3an (an0, n2)求通項公式的方法稱為累乘法 ,a1a2an 1累乘法是求型如: an 1g(n)a n 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法(數(shù)列 g(n) 可求前 n 項積) 。例

11、 4 、 已知 a11, ann( an 1an ) (nN * ) ,求數(shù)列a n 通項公式 .,.【解析】：Q ann( an 1 an ) ,an 1n 1,又有 an a1a2a3an( an 0, n 2) =anna1a2an11×2×3× × n= n ,當(dāng) n 1時 a11，滿足 ann ，ann .1 2n-1反思 : 用累乘法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為an 1g(n)a n .五、構(gòu)造新數(shù)列 （待定系數(shù)法）: 將遞推公式an+1qand （q, d為常數(shù)，q0 ， d0 ）通過(an 1x)q(anx)與原遞推公式恒等變成an

12、 1dq1q(and ) 的方法叫構(gòu) q 1造新數(shù)列，也即是待定系數(shù)法。例5、已知數(shù)列an中,1, an2an 11(n2) ,an的通項公式.a 1求【解析】 :利用 (anx)2( an 1x) ,求得 an12(an 11) ,an 1 是首項為a11 2,公比為 2的等比數(shù)列,即 an1 2n ,an2n1反思：構(gòu)造新數(shù)列的實質(zhì)是通過(an 1x)q( anx) 來構(gòu)造一個我們所熟知的等差或等比數(shù)列 .can(c 0, d 0) ,取倒數(shù)變成1d 11六 、倒數(shù)變換 ：將遞推數(shù)列 an 1an 1c an的形andc1看成一個新的數(shù)列，即式的方法叫倒數(shù)變換。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N情況，此時

13、將數(shù)列an再利用“構(gòu)造新數(shù)列”的方法求解。例 6 、 已知數(shù)列 an(n N * ) 中 , a1 1, an 1an,求數(shù)列 an的通項公式 .2an1,.【解析】:將 an1an取倒數(shù)得 :121,Q112 ,1是以11 為2an 1an 1anan 1anana1首項 ,公差為 2112(n1) ,an1.的等差數(shù)列 .2nan1反思 :倒數(shù)變換有兩個要點需要注意:一是取倒數(shù) .二是一定要注意新數(shù)列的首項,公差或公比變化了。七、特征根法： 形如遞推公式為an 2pa n 1 qan （其中 p ， q 均為常數(shù)）。對 于 由 遞 推公 式 an 2pan 1qan ， 有 a1, a2給

14、 出 的 數(shù) 列 an， 方 程x2px q 0 ，叫做數(shù)列an的特征方程。若 x1 , x2 是特征方程的兩個根，當(dāng) x1x2 時，數(shù)列an 的通項為 anAx1n 1Bx 2n 1 ，其中 A ， B 由 a1, a2決定（即把 a1 , a2 , x1, x2 和 n1,2 ，代入 anAx1n 1Bx2n 1 ，得到關(guān)于 A、 B 的方程組）；當(dāng)x1x2時，數(shù)列an的通項為 an( ABn)xn 1 ，其中， 由a1, a2決定（即1A B把 a1 ,a2 , x1 , x2 和 n1,2 ，代入 an( ABn) x1n1 ，得到關(guān)于 A 、 B 的方程組）。例 7:數(shù)列 an滿足

15、3an 25an 12an0( n 0, nN ) ， a1a, a2 b ,求 an【解析】：由題可知數(shù)列的特征方程是：3x2x20。5x12,1, x23( 2) n 1 。又由 a1anAx1n 1Bx2n 1ABa, a2b ，于是3aABA3b2a2a 3( a b)( 2) n 12 B故 an3bbAB3(ab)33,.反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出A,B 的用已知量a,b表示的值，從而可得數(shù)列 an 的通項公式。八、不動點法若 A,B0且 AD-BC0，解 xAxD,為其兩根設(shè)CxDI、若，數(shù)列 an是等比數(shù)列；a nII 、若，數(shù)列 1是等差數(shù)列。

16、an7a例 8 、已知數(shù)列 a n 滿足 a n 12a式。n2， a12 ，求數(shù)列 a n 的通項公n37 x2， 得 2x24x 2 0 ， 則 x=1【解析】：令x3是 函 數(shù)2 xf ( x )3x1的不動點。4x77 a因為a n 112ann25a n53132a n12an3 2an325122(12)所以a n 1 15a n5 5an15an1an1 5 ，,.1111 為首項，以2所以數(shù)列是以a112 15為公差的等差數(shù)列，則an111 (n 1)2，故 an2n8an52n3。1反思：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)f (x )3x1的不動點，即方程x7x2的4 x72x3根

17、x1 ，進(jìn)而可推出1112，從而可知數(shù)列 1為等差a n 11 a n5an11 an 的通項公式。數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列a n1九、換元法即是將一復(fù)雜的整體用一個新的符號來表示，從而使遞推數(shù)列看起來更簡單，更易找到解決的方法。例 9 、 已知數(shù)列 a n 滿足 a n 11 (14a n1 24 a n )， a11 ，16求數(shù)列 a n 的通項公式。【解析】：令 b n124 a n ，則 a n1 ( b n21)24故 a n 11 ( b n21 1)24代入 a n 11 (1 4a n1 24 a n ) 得161 ( b n21 1)11 41 (b n21)

18、 b n 241624即 4b2n 1(bn3)2,.因為 b n124 a n0 ，故 b n 1124 a n 10則 2b n 1 b n3 ，即 b n 11 b n3，22可化為 b n 131 ( b n3) ，2所以 bn3 是以 b13124a131241 32 為首項， 以12為公比的等比數(shù)列，因此b n32 ( 1 ) n 1( 1 ) n 2，則 bn( 1) n 2+3 ，即2221 24 a n1n23 ，得 an21n1n1( )3( )( )3。242反思：本題解題的關(guān)鍵是通過將124 a n 的換元為 b n ，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化bn 11 bn322形 式 ， 從 而 可 知 數(shù) 列 b n3 為 等 比 數(shù) 列 ， 進(jìn) 而 求 出 數(shù) 列 bn3 的通項公式，最后再求出數(shù)列 a n 的通項公式。十、取對數(shù)法：形如 an 1panr ( p0, an0)這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an 1panq ，再利用構(gòu)造新數(shù)列（待定系數(shù)法）求解。例 10 ：已知數(shù)列 an 中， a11, an 11an2 (a 0) ，求數(shù)列an 的通項公式 .。【解析】：由 an 1 1a2 lg an lg 1an2 兩邊取對數(shù)得 l