歐氏幾何公理體系

1、第一講 歐氏幾何公理體系目錄一、幾何概述P1二、公理化方法的內涵與意義 P1三、歐幾里得幾何原本簡介 P2四、完備化的希爾伯特公理體系 P5五、中學幾何公理系統(tǒng)P8幾何概述二、公理化方法的內涵與意義1. 什么是公理化方法公理化方法是“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，依據特定的演繹規(guī)則， 推導一系列的定理，從而構成一個演繹系統(tǒng)的方法?！?一般由4部分組成：(1) 原始概念的列舉(2) 定義的敘述(3) 公理的列舉(4) 定理的敘述和證明4個部分不是獨立地敘述和展開，而是相互交叉、相互滲透、相互依賴地按照邏輯原則演繹和展開的。原始概念和公理決定幾何體系的基礎，不同的基礎決定不同的幾何體系。如歐氏幾何

2、、羅氏幾何等。原始概念包含原始元素(圖形)和原始關系兩類.原始元素如點、直 線和平面等，原始關系如結合關系、順序關系、合同關系等。原始概念沒有定義，但它們的 屬性隱含在公理中，如平面的屬性，中學給出三個公理： 一直線上的兩點在一個平面內，則直線上所有點都在平面內； 兩平面有一公共點，則它們有且僅有一條過公共點的直線；過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面。公理是“在一個系統(tǒng)中已為反復實踐所證實而被認為不需要證明的真理，具有自明性 ”。一般來說，公理被人們普遍接受，無須證明，但后來發(fā)現，有些公理并非十分顯然，如第五公設。因此，人們選用某些命題作為一種演繹推理的出發(fā)點，并非一定要自明，只要大家

3、能接受就行，實質在于符合經驗。2. 公理系統(tǒng)的三個基本問題（1）相容性（無矛盾性）若由公理系統(tǒng)不能推出兩個矛盾的命題，則稱該公理系統(tǒng)是相容的?？垦堇[推理的方法證明系統(tǒng)（刀）的無矛盾性是不可能的，因為無論推出多少個命題沒有出現矛盾，也不可能保證繼續(xù)推下去保證永遠不會發(fā)生矛盾。要證明無矛盾性，數學上用解釋（即作模型）的方法。先找一個模型 M,使M的事物與刀的命題形成一一對應關系，我們先確定 M的事物是存在的，或假設它是存在的， 后一情況，我們只證明了公理系統(tǒng)在 M存在的條件下是無矛盾的，即刀相容是有條件的，如歐氏幾何的相容性歸結為自然數的皮亞諾公理的相容性，而它又歸結為集合的相容性，而集合的無矛盾

4、性至今也沒有解決。（2）獨立性（公理數量最少問題）確定刀中每個公理是必要的， 不是多余的，不能由其它公理導出， 保證公理是最少個數 問題。解決起來很困難，如第五公設。在實際教學中，從學生的現有知識水平出發(fā)，為了提 高教學效率，故意多列一些公理，便于論證。（3）完備性（公理個數最大化問題）公理個數盡可能多，保證每個定理均能推出。幾何原本所列的公理是不夠的，證明中借助了幾何直觀和其它默契，如無順序性等。公理的完備性相當復雜，到目前為止， 希爾伯特在幾何基礎中才將歐氏幾何的公理完備性解決。一般地，多數數學理論是以不完備的公理系統(tǒng)為基礎的，如群論 （存在不同構的群）。對于一個刀，要求必須是相容的，最好

5、是 獨立的，是否完備則視需要而定。3. 公理化方法的意義和作用關于公理化思想方法的作用，徐利治歸結為以下4點： 這種方法具有分析、總結數學知識的作用。凡取得了公理結構形式的數學，由于定理和命題均已按邏輯演繹關系串聯起來，故使用起來也較方便。公理化方法把一門數學的基礎分析得清清楚楚，這就有利于比較各門數學的實質性不同，并能促使和推動新理論的創(chuàng)立。 數學公理化方法在科學方法上有示范作用。這種方法對現代理論力學及各門自然科學理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用。例如，19世紀40年代波蘭的Banach曾完成了理論力學的公理化；而物理學家亦把相對論表述為公理化形式 公理化方法所顯示的形式的簡潔性、條理

6、性和結構的和諧性確實符合美學的要求，因而為數學活動中貫徹審美原則提供了范例。三、歐幾里得幾何原本簡介歐幾里得是柏拉圖的學生，以其幾何原本聞名于世，但身世不詳，沒有哪位偉人能象他那樣聲譽持久。 其貢獻在于對前人的材料加以整理，并在書中作了系統(tǒng)闡述， 于公元前300年完成幾何原本。本人是一個溫和敦厚的教育家，受托勒密一世之邀，長期在亞歷 山大城進行教學和研究工作。他反對學數學投機取巧，也反對狹隘的實用觀點。一次，托勒密問他有無學習幾何的捷徑，回答說：“在幾何里，沒有專為國王鋪設的大道?！背蔀榍Ч艂髡b的學習箴言。又一個學生問學習幾何后能得到什么，歐幾里得回答說：“給他三個錢幣，因為他想在學習中獲得實

7、利?！睅缀卧鞠纫允殖玖鱾?，在有印刷術后，先后有1000多種版本，在西方是僅次于圣經的出版量最多的書，其影響之深遠，以致使歐幾里得和幾何學成了同義詞。1 .幾何原本簡介幾何原本由希臘數學家歐幾里得 Euclid，公元前300年前后所著，是用公理方 法建立演繹數學體系的最早典范。是至今流傳最廣、影響最大的一部世界數學名著。幾何原本共13卷。每卷或幾卷一起都以定義開頭。第一卷首先給出23個定義，摘要列舉如下：(1) 點沒有大小.(2) 線有長度沒有寬度；(3) 線的界是點.(4) 直線是與其上的點看齊的線.(5) 面只有長度和寬度.(6) 面的界是線.(7) 平面是與其上的直線看齊的面.(8)

8、平面角是平面上兩相交直線的傾斜度.(15) 圓是包圍在一(曲)線里的平面圖形，使從其內某一點到該線的所有直線段彼此相等.(16) 于是那一點便叫做圓的中心 (簡稱圓心).(23)平行直線是這樣的一些直線，它們在同一平面內，而且往兩個方向無限延長時，在兩個方向上都不會相交.接著給出五條公設：I 從每個點到另一點可引直線.II .每一直線都可無限延長.III .以任意點為中心可用任意半徑作圓.W.所有直角彼此相等.V.(在同一平面內)如果兩條直線與第三條直線相交，某一側的兩個內角之和小于二直角，則把兩條直線向該側充分延長后一定相交.接著給出五條公理：I .等于同一量的量相等.II .等量加等量其和

9、相等.川.等量減等量其差相等.W.彼此重合的量相等.V .整體大于部分.這里，歐幾里得把公設看成僅適于幾何的公理，把公理看成既適用于算術又適用于幾何.現在的幾何學把兩者都稱為公理，不再區(qū)分公設和公理， 而后五條算術公理一般不再明文列出.第一卷的后面提出 49個命題和證明等論述，討論有關平行線的判別和性質，三角形的全等和邊角關系，垂線、平行四邊形、多邊形面積和勾股定理等.第二卷本卷編寫的是用幾何方法研究代數恒等式，即幾何中的代數.共提出14個命題，其中包括線段的計算，黃金分割，多邊形變形為等積正方形等.第三卷本卷編寫了與圓有關的定理，共提出37個命題.其中有關于弦、圓心角、圓周角、切線、割線、圓

10、幕等定理，這些就是現在中學幾何中所提出的定理，證法也基本相同.第四卷本卷編寫了圓的內接和外切多邊形的性質，以及正多邊形的作圖等，最后一個命題是作圓的內接正十五邊形，共提出16個命題.第五卷 本卷編寫了比例論，是在歐多克斯研究成果的基礎上發(fā)展而成的歐幾里得首先 給出同類的兩個量之比，四個量成比例等定義，提出更比、反比、合比、分比等性質，共提 出25個命題.第六卷本卷編寫了相似形理論，以及求作一些比例量的作圖，共提出33個命題.大部分和現行中學幾何教材一致，其中第31命題是畢達哥拉斯定理的推廣.第七、八、九卷是有關數論的知識，討論了整數及整數比的性質，是純粹討論數的，其論證不依賴于幾何.第十卷本卷

11、敘述了整數開平方的幾何運算，以及對無理數度量的分類，共提出115個命題.第十一到十三卷編寫的是立體幾何，以及求面積、體積的“窮竭法”第十一卷敘述了立體幾何的基本定理，包括空間點、直線、平面相互位置關系的一系列定理；關于多面角的理論；相似立體形、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球等概 念和性質.其中大部與現行中學立體幾何課本的內容相同.第十二卷本卷編寫了幾何體的表面積和體積的有關定理，包括曲線和曲面所圍成的形體的面積和體積.集中研究了歐多克斯研究過的“窮竭法”.本卷共提出18個命題.所謂“窮竭法”，舉例說，為證明兩圓面積之比等于其直徑平方之比，可以通過圓的內 接正多邊形，當邊數不斷增加時，

12、正多邊形的面積逐漸接近圓的面積，而定理對正多邊形成立，就證明它對圓也成立.“窮竭”一詞起因于相繼作圓的內接多邊形，當邊數無限增多時，窮竭了圓的面積，不過歐幾里得避開了極限的概念.歐幾里得把這種方法推廣到求空間圖形的體積上.第十三卷編寫了正多邊形本身的性質及內接于圓的性質、球的內接正多面體的性質和作圖，以及確定五種類型正多面體等.共提出19個命題.正多面體不能多于五種的證明， 是根據第十一卷命題 21“多面角各面角之和小于 360 °” 來完成的.假設正多面體各面都是正三角形時，當時每個頂點都有三個正三角形時，則正四面體；當過每個頂點都有四個正三角形時，則得正八面體；當過每個頂點都有五

13、個正三角形 時，則得正二十面體.過每個頂點不能有六個以上的正三角形，因為這時多面角之和就要等于或者大于360。.假設正多面體的面都是正方形，過每個項點的正方形只能有三個，這便 是正六面體；假設正多面體的面都是正五邊形，過每個頂點只能有三個正五邊形，這便是正十二面體.此外再不能有其他情形了。2.幾何原本的偉大貢獻幾何原本內容是相當豐富的.我們說幾何原本是一部不朽的經典著作，可 以舉出很多事例，但歸納起來主要有三個方面：第一，從科學和數學本身來看，它是歷史上第一部真正的、 系統(tǒng)的數學科學理論著作. 它 把公元前3世紀以前所積累的經驗幾何和早期推理幾何的龐大的幾何知識，加工整理成理論體系，為后來幾何

14、發(fā)展奠定了堅實的基礎.實際證明，它是幾何學發(fā)展的一個重要的里程碑，是人類文明遺產中的瑰寶.第二，從科學方法論的角度來看，歐幾里得吸取了亞里士多德的關于建立科學理論 的思想，總結了古希臘各個學派對幾何學方法的研究成果，在幾何原本中確立了古典公理化方法.幾何原本從少數基本概念和公理出發(fā)，運用形式邏輯的原理，把幾何學編排 成由概念、公理、命題組成的演繹體系.他的思想方法和示范性的工作，為幾何學的研究開創(chuàng)了史無前例的新的途徑， 為公理化方法奠定了良好的開端.在此基礎上公理化方法逐步發(fā)展成為近代公理化方法，并超越幾何學的界限，被應用到整個數學和其他科學領域.第三，從數學教育方面來看，由于幾何原本已把幾何

15、知識編排成系統(tǒng)的科學著作，自然就成為傳播幾何知識的重要教材，它在世界上引起的巨大影響， 使歐幾里得的名字幾乎成為幾何學的代名詞了.世界上各國的中學幾何教材，幾乎都是以幾何原本的內容、方法編排而成的.3.幾何原本不足之處幾何原本雖是不朽的著作，但由于時代和當時科學發(fā)展的局限性，難免存在許多缺陷主要的是以下三個方面：第一，歐幾里得在幾何原本中試圖對每個概念都給出定義，實際上是不可能的因 此一些定義，如開頭的 7個定義不過是對點、 線、面等幾何概念的直觀描述，它們在以后的 推理論證中根本不起作用；還有一些定義含糊不清，令人費解，如“直線”“平面”等概念;還有一些定義利用了未加定義的概念，如“界限”“

16、長度”等等總之，在概念的處理上存在一些問題.第二，幾何原本中作為演繹、推理基礎的公設不夠用希爾伯特對歐幾里得幾何給 出了 20條公理，不多不少正好夠用，而幾何原本僅給出5條公理（即5條公設，不含算術公理），顯然缺少很多，有許多命題的證明由于缺少論據，不得不借助于圖形的直觀感覺 或未加證明的一些事實為根據，即離不開幾何實體后來過了2000多年的時間，才逐步補齊了所缺的公理.第三、敘述上格式單調、割裂；有的命題的證明過于煩瑣、重復，以特例證明一般，甚 至出現邏輯錯誤等.四、完備化的希爾伯特公理體系幾何原本的公理系統(tǒng)盡管具有偉大的歷史意義，成為表述科學真理的典范，但畢竟是初創(chuàng)時期，存在許多的不足之處

17、，那該怎樣修改、補充幾何原本中的定義、公理才能使幾何成為邏輯上完美無缺的科學呢？如何建立幾何學牢固的邏輯基礎？兩千年來，數學家們致力于研究的重要課題，一方面增加或改換公理，促使幾何基礎的嚴密化；另一方面， 試證第五公設，導致非歐幾何的產生。 在前一方面，做出偉大貢獻的是德國數學家希爾伯特。基本元素：點、線、面基本概念*基本關系結合關系“順序關系合同關系幾何基礎順序公理（Il2 TI4）基本公理丿合同公理（llllll5）平行公理（V） 連續(xù)公理（y - V2）1 結合公理原始元素和關系點用大寫拉丁字母 丄、二、等表示直線用小寫字母；、！、_'、等表示平面用希臘字母.1、V、等表示結合關

18、系（屬于關系）用"I ”等術語表達。公理I 1對于任意兩點、匚，恒存在直線：.通過它們。（兩點指不同的點）公理12對于任意兩點工、丄，至多存在一條直線通過它們。上面兩條公理肯定了通過任意兩點存在惟一一條直線。公理13在一條直線上至少有兩個點，；至少存在三個點不在一條直線上。以上三條公理只確定點與直線的結合關系，是平面幾何的結合公理，建立空間幾何還需 要引進以下公理 丨418公理I4對于任意三個不在一條直線上的點、丄，、，存在平面通過它們。每個平面上至少有一個點。公理15對于任意三個不在一條直線上的點、二、I.，至多有一個平面通過它們。公理16如果直線二上的兩個點、丄,在平面一；上，則

19、直線二上的每個點在平面一；上。公理17如果兩個平面有一個公共點，則它們至少還有另一個公共點。公理I8至少有四個點不在同一平面上。甚至不可能證該公理所能導出的定理很少，不能證明點、直線、平面的集合是無限的, 明“每直線上至少有三個點”。在中學教材中，絕大部分是直觀承認了。2 順序公理順序公理是確定原始關系“介于”或“一點在兩點之間”的公理公理111如果.介于點和點之間U丿、二、是直線上三點，而且 .也介于L'和之間。公理112對任意兩點、，在直線上至少存在一個點 丄，使一介于上和二之間公理II3在一直線上的任意三點中，至多有一點介于其余兩點之間以上三條公理是直線上的順序關系。公理114（

20、帕施Pasch公理）設、丄，、是不在一條直線上的三個點， :是、二、-三點所決定平面上的一條直線，并且不通過三點中任何一個。如果直線二通過線段一二的一個內點，則直線：一定要通過線段或線段 之一的一個內點。3 合同公理合同公理所涉及的原始關系是“線段相等”和“角相等”，它們的屬性由下列公理來制約。公理III1設H曲是直線：，上的兩點，是同一直線或另一直線 二上的一點。則在二上二的已知一側，一定可以找出一個點 i，使線段一二合同于（或相等于）線段 二丁，記 做匸匚1。對于每個線段一二有一匚13。（這里的線段是無向線段，即長度）公理III2如果兩線段都合同于第三線段，則這兩個線段也合同。公理III3

21、設二 和丄'是直線：上的兩個線段，沒有公共的內部點。又設彳i和是同一直線或另一直線 J上的兩條線段，沒有公共的內部點。如果_ 一，丄I，則:。這條公理肯定了合同線段的可加性。公理III4如果在平面二上已知在同一個或另一個平面 上給定一直線二，并且在平面上指定了直線f的確定一側，以及上從一點一出發(fā)的射線。則在平面 上直線二'予先指的那一側，存在惟一一條以 一為端點的射線r,使得 如）合同于（或相 等于）m公理III5如果兩個三角形二和一-之間有合同關系丄匚，/_，丄則必有，4 連續(xù)公理W公理W 1（阿基米德命題）設就心是任意兩個線段，則在直線 一匸 上存在有限個點，它們排成順序：

22、點 訂介于和P之間，點G介于點d和二之間等等，又.4丄二 ，并且使得點 二介于點丿和點二之間。（康托爾命題）公理W 2（康托爾命題）設直線上存在線段的無窮序列 '其中后一線段都在前一個線段的內部，且對于任何線段：一'，恒有使;：'則必有一點匸，落在所有線段 裁（212） 的內部。前面合同公理川中討論二線段比較大小的問題，是進行直接的比較，而非比較它們的長度。因為只用前三組公理不能說明每條線段有長度，只有引入了連續(xù)公理后同， 才能做到這一點。這以后，兩線段大小的比較轉化為兩個數目的比較，在實踐中方便多了。 不僅如此線段與數目的對應溝通了形與數，使我們在必要時可把幾何問題轉

23、化為代數問題，或把代數問題轉化為幾何問題， 解析幾何就是這樣。 有了公理I到公理w之后， 可建立空間直角坐標 系，進而解析幾何的根本問題解決了。在有了長度概念、角的測量問題之后，可推導直線的連續(xù)性命題及直線上的點與實數之間能建立一一對應關系，也能推導直線交圓命題（在平面上過圓內部的點的直線交圓于兩點）和圓交圓命題（在一平面上一圓通過圓內部一點和外部一點，則兩圓必有兩交點），從而解決了初等幾何的尺規(guī)作圖問題。5 平行公理公理V（歐幾里得平行公理） 已知直線不相交。在平面上，通過直線外一點至多存在一條直線與五、中學幾何公理系統(tǒng)1. 中學幾何屬于歐幾里得幾何范疇中學幾何是以歐幾里得幾何原本為原型建立的。其方法采用了歐幾里得實體公理化方法，即以不完備的公理系統(tǒng)加上一些直觀承認的客觀事實為基礎，通過邏輯推理建立演繹體系，其內容基本上是幾何原本的內容2. 中學幾何的原始概念i ）原始元素：點、線、面、體