232離散型隨機(jī)變量的方差講解

1、SCH南極數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)人教 A 版選修 2-3第二章隨機(jī)變量及其分布2 32離散型隨機(jī)變量的方差（教學(xué)設(shè)計(jì)）教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能 ：了解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差。過程與方法 ：了解方差公式“D( a +b)= a2D”，以及“若 ( n，p) ，則D =np(1 p) ”，并會(huì)應(yīng)用上述公式計(jì)算有關(guān)隨機(jī)變量的方差。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)： 離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.教學(xué)難點(diǎn)： 比較兩個(gè)隨機(jī)變量的期望與方差的大小，從而解決實(shí)際問題.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)回顧：1、 .

2、數(shù)學(xué)期望 :一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 Ex1 p1 x2 p2xn pn為 的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望2、 數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平3、平均數(shù)、均值 :在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分布中， 令 p1p2pn ，則有 p1p2pn1 ， E( x1x2xn )1 ，所以 的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值nn4、期望的一個(gè)性質(zhì):E(ab)aEb5、若 B（n,p ）（二項(xiàng)分布） ，則 E =np。6、若 X 服從兩點(diǎn)分布，則E(X) =p二、師生互動(dòng)，新課講解：?jiǎn)栴}：要從兩名同學(xué)中挑選出一名，代表班級(jí)參加射擊比賽.

3、根據(jù)以往的成績(jī)記錄，第一名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X 1 的分布列為X 15678910P0.030.090.200.310.270.10第二名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X 2 的分布列為X 156789P0.010.050.200.410.331SCH南極數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)人教 A 版選修 2-3第二章隨機(jī)變量及其分布應(yīng)派哪位同學(xué)參賽？畫出分布列，求出它們的期望值相等。1、方差：設(shè)離散型隨機(jī)變量X 的概率分布為Xx1x2xnPp1p2pn則： ( xiE(X )2描述職 xi ( i=1,2,3， ) 相對(duì)于均值 E(X) 的偏離程度，而：nE( X ) 2 piD(X)(xii1為這些偏離程度的加權(quán)平

4、均，刻畫了隨機(jī)變量X 與其均值 E（ X）的平均偏離程度，我們稱D（ X）為隨機(jī)變量 X 的方差，并稱其算術(shù)平方根D(X)（或用( X ) ）為隨機(jī)變量X 的標(biāo)準(zhǔn)差。2、方差的性質(zhì)：（ 1）若 X 服從兩點(diǎn)分布，則D（X） =p(1-p)（ 2）若 B( n，p) （二項(xiàng)分布），則Dnp(1- p)（ 3） D ( ab)a 2 D；3、其它：隨機(jī)變量 的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機(jī)變量 的方差、 標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量 的特征數(shù)， 它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛例題選講：例 1（課本P66

5、例 4）隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子, 求向上一面的點(diǎn)數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.解：拋擲散子所得點(diǎn)數(shù)X 的分布列為123456P111111666666從而EX1121314151613.5 ;6666662SCH南極數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)人教 A 版選修 2-3第二章隨機(jī)變量及其分布DX(13.5) 21(23.5)21(33.5)21(43.5)216666(53.5)21(63.5)212.9266XDX1.71.變式訓(xùn)練1：甲、乙兩射手在同一條件下進(jìn)行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8，9， 10 的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9， 10 的概率分別為0.4,0.2,0.

6、24用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平解：E18 0.290.6 100.2 9D1 (89)20.2(9 9)20.6 +（ 10-9）2 0.2 0.4；同理有E29, D20.8由上可知， E 1E2，D 1D 2 所以，在射擊之前，可以預(yù)測(cè)甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在 9 環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以9 環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分散，得8、 10 環(huán)地次數(shù)多些點(diǎn)評(píng)：本題中，1 和2 所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情況不同E 1 E 2 =9，這時(shí)就通過 D 1=0.4 和 D2 =0.8 來比較1 和 2 的離散程度，即兩名射手成績(jī)的穩(wěn)定情況例 2（課本 P

7、67 例 5）有甲乙兩個(gè)單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息：甲單位不同職位月工資X1/ 元1200140016001800獲得相應(yīng)職位的概率P10.40.30.20.1乙單位不同職位月工資X2/元1000140018002000獲得相應(yīng)職位的概率P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位？解：根據(jù)月工資的分布列，利用計(jì)算器可算得EX 1 = 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1= 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 0. 4 + (1400-1400 ) 2 0.3+ (1600 -1400 ) 2

8、 0.2+(1800-1400) 2 0. 1 =40000;3SCH南極數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)人教 A 版選修 2-3第二章隨機(jī)變量及其分布EX 2 1 0000.4 +1 400 0.3 + 1 800 0.2 + 2200 0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400) 2 0. 4+(1 400-1400) 0.3 + (1800-1400) 2 0.2 + (2200-1400 ) 2 0.l= 160000 .因?yàn)?EX 1 =EX 2, DX 1DX 2，所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對(duì)集中，乙單位不同職位的工資相對(duì)分散這樣，如果你希望不同職位的工資

9、差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位變式訓(xùn)練2（ 1）：有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出200 件商品，設(shè)其中次品數(shù)為 ，求 E ，D分析：涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對(duì)較少的產(chǎn)品抽查問題由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時(shí)抽出次品與否對(duì)后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的解答本題，關(guān)鍵是理解清楚：抽200 件商品可以看作200 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即B（ 200，1%），從而可用公式：E=np， D =npq( 這里 q=1-p) 直接進(jìn)行計(jì)算解：因?yàn)樯唐窋?shù)量相當(dāng)大，抽200 件商品可以看作200 次獨(dú)立重復(fù)

10、試驗(yàn)，所以B（ 200， 1%） 因?yàn)镋 =np， D =npq，這里 n=200， p=1%， q=99%，所以， E =2001%=2,D =2001%99%=1.98變式訓(xùn)練 2（ 2）：設(shè) B(n 、p) 且 E=12 D=4，求 n、 p解：由二次分布的期望與方差性質(zhì)可知E =npD= np （ 1 p）np12n182p) 4np(1p3課堂練習(xí)（課本P68 練習(xí) NO： 1； 2）三、課堂小結(jié)，鞏固反思：（ 1）求離散型隨機(jī)變量 的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的步驟：理解 的意義，寫出 可能取的全部值；求 取各個(gè)值的概率，寫出分布列；根據(jù)分布列，由期望的定義求出E ；根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義求出D

11、、. 若 B( n，p) ，則不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可（ 2 ）對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量1 和 2 ，在 E 1 和 E 2 相等或很接近時(shí)，比較D 1 和 D 2 ，可以確定哪個(gè)隨機(jī)變量的性質(zhì)更適合生產(chǎn)生活實(shí)際，適合人們的需要四、課時(shí)必記：4SCH南極數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)人教 A 版選修 2-3第二章隨機(jī)變量及其分布1、離散型隨機(jī)變量X 的方差：nD(X )( xi E( X )2 piD( X ) 為隨機(jī)變量 X 的標(biāo)準(zhǔn)差。i 12、方差的性質(zhì)：（ 1）若 X 服從兩點(diǎn)分布，則D（ X） =p(1-p)（ 2）若 B( n， p) （二項(xiàng)分布），則 Dnp(1- p)（ 3） D (ab)a

12、2 D ；五、分層作業(yè)：A 組：1、已知 B n, p , E8, D 1.6，則 n, p 的值分別是（D）A 100和0.08；B 20和0.4 ；C 10和0.2 ；D 10和0.82、（課本 P68 習(xí)題 2.3 A組 NO： 1）3、（課本 P68 習(xí)題 2.3 A組 NO： 5）B 組：1. 某學(xué)校為高二年級(jí)開展第二外語選修課, 要求每位同學(xué)最多可以選報(bào)兩門課程. 已知有75%的同學(xué)選報(bào)法語課 , 有 60%的同學(xué)選報(bào)日語課. 假設(shè)每個(gè)人對(duì)課程的選報(bào)是相互獨(dú)立的, 且各人的選報(bào)相互之間沒有影響.(1) 任選 1 名同學(xué) , 求其選報(bào)過第二外語的概率.(2) 任選 3 名同學(xué) , 記

13、 為 3 人中選報(bào)過第二外語的人數(shù), 求 的分布列、期望和方差.【解析】設(shè)事件A:選報(bào)法語課;事件B:選報(bào)日語課.由題設(shè)知,事件A與B相互獨(dú)立,且P(A)=0.75,P(B)=0.6.(1) 方法一 :任選 1 名同學(xué) ,該同學(xué)一門課程都沒選報(bào)的概率是P1=P( )=P()P()=0.25 0.4=0.1.所以該人選報(bào)過第二外語的概率是5SCH南極數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)人教 A 版選修 2-3第二章隨機(jī)變量及其分布P2 =1-P 1=1-0.1=0.9.方法二 :任選 1 名同學(xué) ,該同學(xué)只選報(bào)一門課程的概率是P 3=P(A )+P(B)=0.75 0.4+0.25 0.6=0.45,該人選報(bào)兩門課

14、程的概率是P4 =P(A B)=0.75 0.6=0.45.所以該同學(xué)選報(bào)過第二外語的概率是P5 =P 3+P 4 =0.45+0.45=0.9.(2) 因?yàn)槊總€(gè)人的選報(bào)是相互獨(dú)立的,所以 3 人中選報(bào)過第二外語的人數(shù)服從二項(xiàng)分布B(3,0.9),P( =k)=0.9 k0.1 3-k ,k=0,1,2,3,即的分布列是0123P0.0010.0270.2430.729的期望是 E( )=1 0.027+2 0.243+3 0.729=2.7(或的期望是 E( )=3 0.9=2.7),的方差是 D( )=3 0.9 (1-0.9)=0.27.2、把 4 個(gè)球隨機(jī)地投入 4 個(gè)盒子中去 , 設(shè) 表示空盒子的個(gè)數(shù), 求 E( ),D( ).【解析】每個(gè)球投入到每個(gè)盒子的可能性是相等的. 總的投球方法數(shù)為4 4, 空盒子的個(gè)數(shù)可能為0 個(gè) ,此時(shí)投球方法數(shù)為=4!, 所以 P(=0)= ;空盒子的個(gè)數(shù)為1 時(shí) ,此時(shí)投球方法數(shù)為,所以 P( =1)= .同樣可分析 P( =2)=,P( =3)= = .所以的分布列為0123P6SCH南極數(shù)學(xué)同步教學(xué)設(shè)計(jì)人教 A 版選修 2-3第二章隨機(jī)變量及其分布所以 E( )=,D( )=.C組：1. 設(shè)事件 A 發(fā)生的概率為 p，證明事件 A 在一