隨機過程-第六章鞅與停時

1、第六章鞅與停時鞅(Martingale)論冃前已成為研究概率論以及應用槪率論和其他隨機過程的有力工貝， 在金融、保險等領域均得到廣泛的應用。我們首先討論離散鞅，即以離散時間1】為參數(shù)：有關連續(xù)鞅將在本章最后一節(jié)中討論。 因此，本章中如有特別說明，涉及的鞅均指離散鞅。6.1離散鞅的定義定乂 6.7隨機過程Xnll0是鞅，如果如“有 E(|Xj)vs； E(Xwl|X0,X1,.,Xh)=Xh,a.S.鞅是公平賭礴的-種推廣。假設我們把X解釋為第11次貼越后的賭資，則根據(jù)定義6.1,第1】+ 1次賭博后的平均賭資恰好等于無論之前發(fā)生怎樣的情況，即每次賭博勝負機會 均等。對(2)式兩邊取期塑得(*)

2、 = E(XJ因此,對一切的n有(XJECXo)這說明鞅存任何時刻的期墊值均相等。這里訶把X。解釋為初始賭資.有時Xn,no不能直接觀察，而只能觀察另一過程,n0,故做如卞定義：定義6.2設有兩個隨機過程,110和代,1*0,稱兀I】華 關于,110 鞅,如果 E(|Xj)vs；(2) E(Xtt41，X，-.，X)=Xtt,a.s.卜面介紹一些鞅的典型例子。例6.1 (獨立同分布變量之和) 設綣=0, ,111服從獨立同分布，且E(X)= 0E 俺I 夕s； xo = o,xn = XX，貝火兀 1*0關于310是鞅。1 -例6.3 (獨立同分布變量之積)設飛=1,服從獨立同分布，且E(X)

3、= 1,E(M)vs； Xo=l,Xn = Jx，則九,20關于,110是鞅。11以上兩例請同學們自證。例6.3和的方差：設%=0. ,n 1服從獨立同分布，且ECO = 0,E(Y;)=亍 s ；Xg = ， = (Jx)2-n0關于0是鞅。1=1證：因為E(|xn|) = E( (x)2-ncr)E(XX)2) + n(r11 11n=E(Y2 + X) + nr2 = 2ncr 0為一隨機序列，乙=備化,丫)，備為一般函數(shù)：函數(shù)f滿足E(|f(Zk)|)0關于(X，n0是鞅。例6.4由馬爾可夫鏈導出的鞅;設n 0是馬爾町夫鏈，其狀態(tài)空間為S,具有轉3移矩陣P = (py), f是P的有界

4、右正則序列(調和函數(shù))，即f(i) 0且f(i) = P1Jf(j),|f(j)|OS鞅。證：因為E(|XJ)0是鞅。例6.5由轉移概率特征向量導出的鞅：設310是馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為S, 具有轉移矩陣P = ( pJ ,向量f = (f(0),f(l),)稱為P的右特征向量，如果對某個特征 值兄有Af(i) = P1Jf(j),VieSjeS且E(|f(Y)|)0是鞅。證：因為E(|XJ) = E(j/Tf ()|) = /TE(| f() 0是一離散時間馬爾可夫過程，貝有轉移分布西數(shù)F(y|z) = PXl+i 0和X，n0是隨機過程，稱Xn,n0關于,n0是一 個上鞅，如果(1) E

5、(X) -co ,其中 x = niin(x,0):E(心陥百，乂)(3) X是X，%,X的函數(shù)。定義6.4設,1*0和代*0是隨機過程，稱關于,110是一個4卜鞅，如果(1)E(X) 00 ,其中 x* = max(x,0):玖心陥為,，乂滄心(3)Xn是丫,X的函數(shù)。與鞅由公平賭博得來不同，上鞅(下鞅)可由不公平賭博來解釋，由定義6.3和定義6.4 可得：對于上鞅，EC) EC) E(Xn) - E(Xo),因此下鞅是一種上偏的賭博。為后面講述方便，我們需要引入Jensen不等式。設f(x)為凸換數(shù)，即對0齊,卷wR,0 VQV1有af (齊)+ (l-)f(x.) f(a + (1-a)

6、x,)進一步推廣，設 wR,i=l,2,n,0f(E(X)E(f(x)|%，x，.，x)f(F(x|%，x，.，x)此即為Jensen不等式。引理6.1 (條件門ensen不等式:若f(x)為凸甫數(shù)，且假定其期望存在，則有Jensen 不等式：E(f(X) f(E(X)條件 Jensen 不等式：E(f (X)|%，X，-，X) f(E(X|%,上(下)鞅的基本性質：1、若關于,n0是(上)鞅，則,=)(勻二,族丫02、若,11 0是(上)鞅，則對OWkSn,有E(Xn)( = E(Xk)() = E(X0)3、若,11 0關于310是(上)鞅，g是關于綣,，,X的(非負)函數(shù)， 則Eg(%,

7、%,，幼心%,乂二 g%,%,Vk 丸性質1的證明：用數(shù)學歸納法證明，僅證上鞅時的情形，當為鞅時，將W改為=即可。當k = 0時，不等式顯然成立；當k = l,由定義6.3可知不等式成立；當k2時，設玖心弘卑必疋九成立，現(xiàn)證也 成立。E(Xn+w|%X-X)=E(E(Xn|%X-)|%X-X)(心區(qū),因此，對于Vk0,不等式均成立。性質2的證明：利用性質1冇(洛陥再,丫)(勻二X,故() = (,- ,)() = E(Xk)類似地可證E(XQ(勻=(兀)。性質3的證明：因為g是關于的(非負)函數(shù)，因此Eg(%，%，X)XnJ&%,XJ 七，乂用&比%，乂)(1關于,111是下鞅，必存在隨機過程

8、Mn,nlZB,nl,使得(1) Ma,nl關于,nl是鞅；(2) Z.是X，-，X_1,n2 的函數(shù)，且Z1=0,ZnZn+1,E(Zn) 1,k=lZn = Xn-Mn = E(Xk - X-M，,X_J,n 2 k=l因為,11 1關于X，nlS下鞅，因此E(X, |X，,Xh 心】，E(兀耳,-，X_1)=進而有E(Xk-Xk_1-，X_1)0lift因此Zn為非負IL單調非降的，且Z.是，,Xt的因數(shù)。同時由Z.的定義右E(|Z) = E(E(Xk- X-IX，百)=S E(E(Xk - X-Z，,)=f Eg-Xi) =|E(Xn-Xj|E(Xj + |E(Xj|E(|X+ E(|

9、Xj)k=l另外E(MJX，- -，XJ = E(Xn-E(Xk-Xk_JX，k=l= EXjX-，X.J-EE(Xk-Xk_1,-，X_1)|X，-，X.1 k-1= Exn|x，-，x_1-Ef E(xk-xk_1|x-Xi)|X-sX-i k-1-EXXnM ,j=Xz - EE(Xk - Xi M,X,X-Jkl又E(|MJ) = Eg -Zn|) E(|XJ)+E(|Zl關于,nl是鞅，HXn = M11 + Zn,nl,故存在性證畢。再證唯一性。設另一分解MJ,ZJ滿足上述定理要求，即Xn = M/+ZnMil,Z1-=O,Mo=Xo = O則Mn + Zn = MJ+ZBXn令A

10、n = Mn-Mn,= Zn-Zn,因為Mn,nlfOMIl,nl均是關于,nl的鞅，因此An,nl也是關于的鞅。所以有E（An|X，-，X_1） = An_1又因為ZyZJ是關于X，-，X_1的函數(shù),因此亠也是關于X，,1的函數(shù)。另E（亠陥,環(huán)）=亠注：因為Zn = E（Xk-Xk_1|X，-，X_l）,所以有k-1E（ZnM，= E（f E（Xk - Xik=l=jEE（xk-xk_1|x，-，X_1）|X，-，X_1k=lk=l=Zn類似地,有E（An|X，.，X_i）= An.進而有An = An-l= - =Al = Zl-Zl，=0故即唯一性證畢。推論6.1：若,11 1關于l是上

11、鞅,則可分解為Xn = Mn-Zn,nl使得（1）Mn,nl關于,nl是鞅： Zn是X，-，X_pn2 的函數(shù),且Zl=O,ZnZw,E（ZJ0的鞅 # -,11 0.易知對X/11 no 有E(Xn) = E(X0)本節(jié)我們想討論的是將此處的n由固定的時間換作一個隨機變呈T時，是否仍然有E(lCr) = E(XQ)一般情況卜，此結論未必成立，但在一定的條件卜就可以保證它成立，這就是鞅的停時定理。 鞅的停時的意義是：在公平的賭購屮，你不町能贏。假設,110是一種公平的貼聘，xn 表示第n次賭局結束后的賭資。(xjuECXq)表明每次賭局結束時的賭資與開始時一樣: 但賭徒未必一直賭卜去，他町能選

12、擇任一時刻停止賭博，這一時刻是隨機的。而 E(Xr)= E(Xo)表明他停止時的賭資也和開始時的賭資和同。然而，我們容易發(fā)現(xiàn)在一般 悄況卜,這是不正確的。岡此，為保證等式(XJECXo)成立，我們需要附加一些條件。為敘述的方便，本節(jié)對停時的定義重新表述(請同學們對比定義4.2,二者在本質上是 一致的)。定義6.5停時：設乂1】刃是一隨機變量序列.稱隨機函數(shù)T是關于,110的停 時，如果T在0,1,2, - ,3中取值，且對每個n0, T = necr(X，Okn)其中，cr(X，Okn)表示由隨機變量,0kn決定的出件及它們的有限和町列 運算的全體構成的爭件集，簡稱為由,0kOuf能提供的全部

13、信息由定義6.5可知，爭件T = n或Thi】都應該由I】時刻及以前的信息完全確定，而不 需要也無法借助將來的情況。例如在公平賭博中，賭徒決定何時停止賭博只能以他已經賭過 的結果為依據(jù)，而不能建立在對下一次賭博的結果上。命題62設T為任意取值于0,1,2, - ,co中的隨機變最，則下述三者等價：(1) T = nG(7(X，0 kn):(2) TneCF(,0kiig cr(X，0 k n)證明：注意到T n = Q-TnT = n=Tn-Tn-1顯然，T = n和Thi】均只能隨機變量,0k0的兩個停時，則T + S , TAS = min(T,S), TvS = inaxfT,S)均是停

14、時。接卜來我們介紹停時定理(Optional Stopping Theorem 或 Optional Sampling Theorem), 在這之前我們先引入如下幾個引理。定義如下示性函數(shù)fl,T nO.T0是關于,n0的(上)鞅，T是一關于,n0的停時,則對Vn k WE(XnI(T=k)(0是關于,n0的(上)鞅，T是一關于,n0的停時,則對VnlE(Xn)() = E(XrAn)() = E(X0)證明：注意到I(T時=1，利用引理6.2得E(仏)=珂冷“(丈 Z + Z) = ElE IgJ+ E仏IgJk=0k=0E冷加t+E冷汕 Tink=0=f EXkIT=k)+EXnI(Tnl

15、k=0-JIPI62 n-1=工 E XJg + 叫 XnIT2n)=E(Xn)k=0對于鞅，因為E(Xn) = E(XQ),所以(咅2)= (兀)。對于上鞅，以卜證明ECXJVECXo)。設Xo = O,Xn = f Xk - E(Xk J門k-1根據(jù)例6.3后的“注”可知，,n0是關于,n0的鞅，由鞅的性質町知E() = E(Xtah) = E() = 0因此有TAno = E(Xtah) = E工(Xk - E(Xk %，,)k=l上軼圧義 TAnA E工(Xk-g)k=l即 FC&QVF&o).引理6.4設X是一隨機變量，滿足E(|Xp0的停時，且PTvs = l，則lim E(XIT

16、n) = O,lim E(XITco19證明：因為lxl=lxl ITSn +|X|lTn)|X|lTSn)并且ncolimIT 00E(|X|) E(|x|g) t 工E(|x|g) = E(|X|) k=l于是有l(wèi)im E(| X|l1,n) = lim E(| X|), lim E(| X|lTn) = 0由此町知，limE(XITn) = Oon-co1又因為|E(XIg)-E(X)| 竺竺冷 E(氓 Tn )|E(|(Tn) |)=E(|x| I(TnJ T 0即limE(XIT0的鞅，T是一關于,n0的 停時，若（1）PTvs = l；（2）E（|Xj）vs：怏E（區(qū)則證明：由Xp

17、 = XrLgo +及Xr【TSn = TAn（Tn）=Tan- Taxi（T時=Tah XJTn得咅=Tah _ 九Lth + 咅I（Tn因此E（Xr）= ECJ - E（XJt+（咅丘時）由己知 11111(|1711)|) = 0,則lim () = 0由引理b.4得血血(咅1咖)= 013因此有E(Xr) = BmE(XrAtt)n-0是關于,n0的鞅，T是一關于X，n0的停時，若(1) PTvs = l；(2) 對某個kO,E(XfAn)0的停時，E(T) V s ,則k-1E(|XJ) v s且(咅)=EdAMEfT) = 0例：定理6.2中的條件(3) HmEClxO-般泉很難騙

18、證的，為此我們町利用一致 可積的相關知識來驗證該條件。定戈6.6 一致可積性:稱一列隨機變最序列1是一致町積的,如果對X/W 0 ,存在50,使得對任意的A,當P(0的一致可積的鞅，T是一關于,n0的停時，若(1) PTvs = l；(2) (陶心；一致町枳的條件往往也是比較難驗證的，因此下面我們給出兩個一致可積的充分條件。定理6.4：設兀11里 是-隨機變量序列，且存左常數(shù)C VS ,使得E（X；）1是一致町枳的。定理6.5：設,1*0是關于,110的鞅，如果存在一個非負隨機變量S,使得 E（S）vs,|XJvS,Wi成立，貝JXn,n0是關于,n0的一致可積的鞅。6.4鞅收斂定理鞅論中兩個

19、貳要的結果，一是上節(jié)的停時定理，另一個是收斂定理。鞅收斂問題研究的 是lim Xn是否存在的問題。n-oo定理6.5鞅收斂定理:設,110是關于,110的鞅，R存在常數(shù)CVS,使 得EQXjjvCVii,則當11 ts時，X.收斂到一右限隨機變量心，即PlimXn = Xto = ln-此證明略。例&7波利亞抽樣模型的收斂問題：冷偲風6.6中的波利亞壇了抽樣模型，現(xiàn)討論當 11 TS時，壇子紅球比例Xg的情況。令 0 vdvbvl,假定 Xn n,b即T表示n之后第一個紅球比例從小于a到超越b到超越b的時刻，令 = Tam = niinT,m則對于mn,由引理63可知（）=0但是E（ E（耳1） = E（冷1卩阿）bPT m從而PT m