隨機過程試題及答案

1、一.填空題(每空2分，共20分)1設隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，則 X的特征函數(shù)為e心-1)。2設隨機過程 X(t)=Acos( - t+),-：vt：其中 為正常數(shù)，A和門是相互獨立的隨機變量,1且A和：服從在區(qū)間10,1 上的均勻分布，則 X(t)的數(shù)學期望為1 (sin(t+1)-sin t)。213強度為入的泊松過程的點間間距是相互獨立的隨機變量，且服從均值為一的同一指數(shù)分布。4設:Wn,n _1是與泊松過程fx(t),t -0對應的一個等待時間序列，則Wn服從_分布。5袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的t對應隨機變量X(t)e3

2、9;如果t時取得紅球，則如果t時取得白球這個隨機過程的狀態(tài)空間1#h/t, ;e*。3 36設馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(Pj) ,n步轉(zhuǎn)移矩陣P(n)=(p)，二者之間的關系為P(n) = Pn。7.設:Xn,n -0 為馬氏鏈，狀態(tài)空間I ,初始概率Pi二P(X°=i),絕對概率pj(n)二PXn =牡, n步轉(zhuǎn)移概率pjn)，三者之間的關系為刊(n) = a Pi pn)。i召&在馬氏鏈Xn, n 啟0 中，記 fj(n)=pXv 鬥,1 “ 蘭 n-1,Xn=jX° = i, n 畠 1,QO冷八fiJ(n)，若fii :：1,稱狀態(tài)i為非常返的。n=19

3、. 非周期的正常返狀態(tài)稱為遍_O010. 狀態(tài)i常返的充要條件為P鋼二二。n=0P(BC A)=P(B A)P(C AB)。二.證明題(每題 6分，共24分)1設A,B,C為三個隨機事件，證明條件概率的乘法公式:#證明：左邊=P(ABC)二 P(ABC) P(AB)二 p© ab)P(B A)=右邊 P(A) P(AB) P(A)2設X(t),仁0是獨立增量過程，且X(0)=0,證明X(t),仁0是一個馬爾科夫過程。證明：當 0 ：:： ti :： t2 tn : t 時，P(X(t)乞 x X(t i)=Xi,X(t 2)=X2, X(t n)=Xn)=P(X(t)-X(t n )

4、< X-X n X(t i)-X(0)=X i ,X(t 2 )-X(0)=X 2, X(tn )-X(0)=X n)=P(X(t)-X(t nX-Xn)，又因為 P(X(t)沁 X(tn)=Xn)= P(X(t)-X(t n)沁f X(tn)=Xn) =P(X(t)-X(t nX-Xn)，故 P(X(t) ZxX(tJ=Xi,X(t2)=X2, X(tn)=Xn) = P(X(t) XX(tn)=Xn)證明：p(n)k -I= PX(n)=jX(O)=i 丄 P X(n)=j, X(l)=k X(0)=i 八 p：X(n)=j,X(I)=k X(0)=i /.k召J k曰3設Xn, n

5、 一0?為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為I，則對任意整數(shù)n_ 0,仁I <n和ij I，n步轉(zhuǎn)移概率p(n) = » p(k)pkn-l)，稱此式為切普曼一科爾莫哥洛夫方程，證明并說明其意義。八 px(l)=k X(0)=i沖X(n)=j X(l)=k,X(0)=i 4、尺丁卩畀，其意義為n步轉(zhuǎn)移概率可以 k日用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來表示。4.設:N(t),t 一0?是強度為的泊松過程，Yk,k=i,2，1是一列獨立同分布隨機變量，且與N(t)N(t),t -0獨立，令 X(t)= ' Yk,t0，證明：若 E(Yi2<：)，則 EX(t)卜-tE Y。k=iNt證明：由條

6、件期望的性質(zhì) E IX(t)】=E W X(t) N(t) ，而EX)N() n =日= N® i n = 一_=i= E*N(t)”ILi=iJ二 n = E ' Yj = nE(Yi)，所以 EX(t) I - tE：Y/?。i=i三計算題(每題i0分，共50分)工cos二t Hi拋擲一枚硬幣的試驗， 定義一隨機過程：X(t)=It T,t (-=+：)，設pH=T=35求(1) 1x(t),t (：，：)？的樣本函數(shù)集合；(2) 一維分布函數(shù) F(x;0),F(x;1)解：(1)樣本函數(shù)集合為 90S二(-：,+ ：)；1 (2)當 t=0 時，PX(0)=0 p1x(

7、0)=1 ?201 ,故 F(x;O)=0_x<1 ；同理 F(x;1)=1 _ x<12 d *彳x _11x<00x<-11 .2 彳 x12設顧客以每分鐘2人的速率到達，顧客流為泊松流，求在_12分鐘內(nèi)到達的顧客不超過 3人的概率。55#5故PW眷，則解：由題設條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P= P00I p10P01_ "0.7P11 一。.40.30.6于是p(2)=pp=|0.610.39 四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為|0.52 0.480.57490.5668°.4251,從而得到今0.4332解：設fN(t),t _0?是顧客到達數(shù)的泊松過程， =

8、2，3271PN(2) _3 PN(2)=0 ?+P :N(2)=1 ?+P：N(2)=2 ?+P：N(2)= - e-4 4e-4 8e-4e-4e-4333設明天是否有雨僅與今天的天氣有關，而與過去的天氣無關。又設今天下雨而明天也下雨的概率為：，而今天無雨明天有雨的概率為：；規(guī)定有雨天氣為狀態(tài)0，無雨天氣為狀態(tài)1。設:-=0.7,7 =0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。#5#5天有雨且第四天仍有雨的概率為哦=0.5749。4一質(zhì)點在1,2,3三個點上作隨機游動，1和3是兩個反射壁，當質(zhì)點處于2時，下一時刻處于1,2,3 是等可能的。寫出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，判斷此鏈是否具有遍歷性，若有，

9、求出極限分布。-0101丄 _in33 1P=111p(2)= p2 =_1971993331丄丄433 _-010一解：一步轉(zhuǎn)移概率矩陣二 31由P>0知，此鏈有遍歷性；設極限分布二=二1,二2,二3，01十兀2 +讓3 =1#55設有四個狀態(tài)1=9 , ,2,3/的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=12 12 14 O12 12 14 Oo O 14 O0 0 14 1(1) 畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；(2) 對狀態(tài)進行分類；(3) 對狀態(tài)空間I進行分解。解：(1)圖略；(2) p33 =1,而P30, p31, p32均為零，所以狀態(tài)3構(gòu)成一個閉集，它是吸收態(tài)，記 C1 = 3: ; 0, 1兩個狀態(tài)互通，且它們不能到達其它狀態(tài)，它們構(gòu)成一個閉