7-1二重積分概念及性質(zhì)

1、一、二重積分的概念攸！|1求由2 = /（兀）（0且連續(xù)）二=0，兀=1，y =1所圍成的立體圖形的體積iy0X柱體體積=低面咼ftV =佝）兄tO心1例2設(shè)有界閉區(qū)域）內(nèi)有一張平面薄片（不計(jì)厚度）面密度沏（3）（連續(xù)），求其質(zhì)量m =為 f （$州）人6兄一0 f=i定義設(shè)門兀鳧定義在區(qū)域D上的二元函數(shù)V分害IJD: AorvV取點(diǎn)(乙，心)£ 叭m ”作和工 丫lAcr. Ii=i >1求極限 HmXA a. (rf =maxrf.)1=1 j=iiJJ若此極限存在，則稱之為門兀)在n上的二重積分(常數(shù)) 記為JJ f(x,y)da直角坐標(biāo)系下，記做dJf f(x,y)dx

2、dyDX積分變量被積函數(shù)E積分區(qū)域積分和 、面積元素 被積表達(dá)式在直角坐標(biāo)系下用平當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域上連續(xù)或分片連續(xù)時(shí)，定 義中和式的極限必存在，即二重積分必存在.行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃 分區(qū)域D,則面積元素為dcr = dxdy故二重積分可寫為DD二重積分的幾何意義： 設(shè)門工)在D上連續(xù) (l)/(x9j)>09 f(x,y)da=Vz = f(x,y)設(shè)b為D的面積，口=DD卩-/（兀）db=yD此時(shí)JJ/（工，刃-VDz = -f（x,y）zz=m）二重積分的幾何意義： 設(shè)門工）在D上連續(xù)（1）/（x9j）09 f（x,y）da=VD（2）/（兀）0, -/（兀，刃AO（3）般

3、情況：JJ7（工）db = "i-DIII即曲面與xoy面之間上下方體積之差02DD對(duì)區(qū)域具有可加性(D = 0 +。2 )二、二重積分的性質(zhì)前提設(shè)下列函數(shù)在D上可積 性質(zhì)1：若/*(*) =1,D的面積為CT。,則D性質(zhì)2(線性性質(zhì))Vs卩已RJf of(x,y)±/3g(x,y)daD=町“ (x)db±0jj g(x,y)daD性質(zhì)3J“( x,y)da = JJ f(x,y)da + JJ/(x,j>ZcrDDD.性質(zhì)4若在D上f(x,y) <0(兀)則有 dD推論 1)若在D上/(x,j)<0 (/(x,j)>0)則有 JJ/(兀

4、Wb<0 (JJ/(x,y)dbnO)DDf(x,y)da < jj|/(x,j)|rfcr（3） 設(shè)門工）在上的最值為M、m貝InibS jJ/（x,jMcr <McrD（二重積分估值不等式）性質(zhì)5（二重積分中值定理）設(shè)/* （兀）在£>上連續(xù)至少日一點(diǎn)（g，9）wD,使得 f（x,y）da =/（g,?7）bD<M=/（仙）bD中值定理的幾何意義:曲頂柱體的體積可以用平頂柱體的體積代替z = f（x.v2 2 DD:與 + 真 <1 (0<b <a) a bab7r< JJe(xW)db <ab7Ka解m<j<

5、;<M(jD0<x2 + j2a2m =1 = e° < +J < ea =Ma = abn例 判斷Jf ln(x2 + j2)的符號(hào)(r>0)r<|x|+|j|<l解 0< x2 +y2 < (|x| + |j|)2 < 1ln(x2 +j2) < 0當(dāng)X| + |y|vl時(shí)，ln(x2+j2)<0故fj Yn(x2 + y2)dxdy <0r<x+y<l例 比較 JJ In(兀 + y)dxdy 與JJ ln(x + y)dxdyDD的大D：兀nl,y、O,兀+ y<2解 l<x +J<2 <e0<