2015年全國(guó)卷1文科高考真題數(shù)學(xué)卷(附答案)

1、.2015 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)1 卷）文一、選擇題：每小題5 分,共 60分1、已知集合 A x x3n 2, n N, B 6,8,10,12,14 ，則集合 A I B 中的元素個(gè)數(shù)為（A） 5（B）4（C） 3（D）2uuur4,3)uuur2、已知點(diǎn) A(0,1), B(3,2) ，向量 AC (，則向量 BC（A） ( 7,4)（ B） (7, 4)（C） (1,4)（D ）(1,4)3、已知復(fù)數(shù) z 滿足 ( z1)i 1i ，則 z（）（A） 2i（B） 2i（ C） 2 i（ D） 2 i4、如果 3 個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這 3 個(gè)

2、數(shù)為一組勾股數(shù)， 從 1,2,3,4,5 中任取 3 個(gè)不同的數(shù)，則這 3 個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）（ A ）3（B） 1（C） 1（D） 110510205、已知橢圓 E 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為1 ， E 的右焦點(diǎn)與拋物線C : y28x的焦點(diǎn)重合， A, B2是 C 的準(zhǔn)線與 E 的兩個(gè)交點(diǎn)，則AB（A） 3（B） 6（C）9（D）126、九章算術(shù) 是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問”積及為米幾何？ ”其意思為： “在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8 尺，米堆的高為5 尺，問米堆的體積和

3、堆放的米各為多少？ ”已知 1斛米的體積約為 1.62 立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）（A ）14斛（B） 22 斛（C） 36斛（ D） 66斛7、已知 an 是公差為 1 的等差數(shù)列， Sn 為 an 的前 n 項(xiàng)和，若 S84S4 ，則 a10（ ）1719（C） 10（D）12（A ）（ B ）228、函數(shù) f ( x)cos( x) 的部分圖像如圖所示，則f ( x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為（）（A ） ( k1, k3Z4), k4（B ） (2 k1 ,2 k3), k Z44.（C） (k13, k), k Z44（D ） (2 k1 ,2 k3), k Z449、執(zhí)行

4、右面的程序框圖，如果輸入的t 0.01n（），則輸出的（A） 5（B） 6（ C）7（D）82x 12, x110、已知函數(shù) f ( x)，log2 (x1),x 1且 f ( a)3，則 f (6a)（ A ）74（ B）54（ C）34（ D）1411、圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r ）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視.圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16 20 ，則 r ( )（ A ） 1（ B） 2（ C） 4（ D） 812、設(shè)函數(shù)yf (x) 的圖像與y2x a 的圖像關(guān)于直線 yx 對(duì)稱，且f ( 2)f ( 4) 1，則 a()（A） 1（B） 1

5、（C） 2（D） 4二、填空題：本大題共4 小題 ,每小題5 分13、數(shù)列n中 a12, an 12an , Sn 為n的前 n 項(xiàng)和，若 Sn 126 ，則 n.aa14.已知函數(shù) fxax3x1 的圖像在點(diǎn)1, f 1 的處的切線過點(diǎn) 2,7，則a.xy2015. 若 x,y 滿足約束條件x2 y10 ,則 z=3x+y 的最大值為2xy2016.已知 F 是雙曲線 C : x2y21 的右焦點(diǎn)， P 是 C 左支上一點(diǎn)， A 0,66，當(dāng)APF 周長(zhǎng)最小8時(shí)，該三角形的面積為三、解答題17. （本小題滿分 12 分）已知 a, b, c 分別是ABC 內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊， si

6、n 2 B2sin A sin C .（ I ）若 a b ，求 cos B;（ II ）若 B 90o，且 a2, 求 ABC 的面積 .18. （本小題滿分 12 分）如圖四邊形 ABCD 為菱形， G 為 AC 與 BD 交點(diǎn)， BE平面 ABCD ，（ I ）證明：平面AEC平面 BED ；.（ II ）若ABC120o ， AEEC , 三棱錐 EACD 的體積為6 ，求該三棱錐的側(cè)面積 .319. （本小題滿分12 分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x（單位：千元）對(duì)年銷售量y（單位： t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8 年的宣傳費(fèi)xi 和年銷售量

7、yi i1,2,L ,8 數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.（ I ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，yabx 與 ycdx ，哪一個(gè)適宜作為年銷售量y 關(guān)于年宣傳費(fèi)x 的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（ II ）根據(jù)（ I ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y 關(guān)于 x 的回歸方程；（ III ）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z 與 x， y 的關(guān)系為 z0.2 yx ，根據(jù)（ II ）的結(jié)果回答下列問題：（ i）當(dāng)年宣傳費(fèi) x =49 時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少？（ ii ）當(dāng)年宣傳費(fèi) x 為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？20. （本小題滿分12 分）已知過點(diǎn) A 1,022且斜率為

8、 k 的直線 l 與圓 C： x 2y 31交于 M ，N 兩點(diǎn) .（ I ）求 k 的取值范圍；uuuur uuur（ II ）若 OMON12 ，其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MN .21. （本小題滿分12 分）設(shè)函數(shù)fxe2 xa ln x .（ I ）討論fx 的導(dǎo)函數(shù)fx 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；.2（ II ）證明：當(dāng) a 0 時(shí) f x 2a aln .a請(qǐng)考生在 22、 23、 24 題中任選一題作答,如果多做 ,則按所做的第一題計(jì)分,做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)22. （本小題滿分 10 分）選修 4-1：幾何證明選講如圖 AB 是 e O 直徑， AC 是 e O 切線， BC 交 e O 與點(diǎn) E

9、.（ I ）若 D 為 AC 中點(diǎn)，證明：DE 是 e O 切線；（II）若 OA3CE ，求ACB 的大小 .23. （本小題滿分10 分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線 C1 : x2 ，圓 C 2 : x 122y 21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) ,x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 .（ I）求 C1, C2 的極坐標(biāo)方程 .（ II ）若直線 C3,C3的交點(diǎn)為 M , N ，求C2 MN 的面積 .的極坐標(biāo)方程為R ，設(shè)C2424. （本小題滿分 10 分）選修 4-5：不等式選講已知函數(shù) fxx 12 xa , a0 .（ I ）當(dāng) a1時(shí)求不等式f x1的解集；

10、（ II ）若 fx的圖像與 x 軸圍成的三角形面積大于6，求 a 的取值范圍 .2015 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)1 卷）文答案一、選擇題（1） D（2）A（3）C（ 4）C（5）B（6）B（7） B（ 8）D（9）C（ 10）A（11）B（12） C二、填空題（13） 6（ 14）1（15） 4（16）12 6三、解答題17、解：（I ）由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.2221又 a=b，可得 cosB= a cb=6 分2ac4（II ）由（ I）知b2 =2ac.因?yàn)?B= 90o ，由勾股定理得a2c2 =b 2 .故 a2c2 =2ac ，的 c=a=2 .所以 A

11、BC的面積為 1.12 分18、解：（I ）因?yàn)樗倪呅?ABCD為菱形，所以 AC BD.因?yàn)?BE平面 ABCD,所以 ACBE, 故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC, 所以平面 AEC 平面 BED.5 分（ II ）設(shè) AB= x ，在菱形 ABCD 中，又 ABC= 120o ，可得AG=GC=3 x ， GB=GD=x .22因?yàn)?AE EC,所以在 Rt AEC中，可的 EG= 3x .2由 BE平面 ABCD,知 EBG為直角三角形，可得BE= 2 x.2由已知得，三棱錐 E-ACD的體積 VE ACD =1 × 1AC · GD· BE=6

12、 x36.32243故 x =29 分從而可得 AE=EC=ED= 6 .所以 EAC的面積為3， EAD的面積與 ECD的面積均為 5 .故三棱錐 E-ACD 的側(cè)面積為 3+25 .12 分19、解：（I ）由散點(diǎn)圖可以判斷， y=c+dx 適宜作為年銷售量y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸方程式類型 .（II ）令 wx ，先建立 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程式.由于8)(wiw)( yiy)i 1108.868 ,d=821.6( wi w)i 1)y)56368 6.8 100.6 ，cd w所以 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程為)y=100.6 68w ,因此 y 關(guān)于 x 的回歸方程為)

13、100.668 xy（）（ i ）由（ II ）知，當(dāng) x =49 時(shí)，年銷售量y 的預(yù)報(bào)值)y100.66849=576.6 ，年利潤(rùn) z 的預(yù)報(bào)值)0.2 4966.329 分z=576.6（ii ）根據(jù)（ II ）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z 的預(yù)報(bào)值)x )-x=- x13.6 x20.12 .z=0.2(100.6+68所以當(dāng) x13.6)=6.8 ，即 x =46.24 時(shí)， z 取得最大值 .2故年宣傳費(fèi)為46.24 千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大 .12 分20、解：（I ）由題設(shè)，可知直線l的方程為 ykx1 .2k31因?yàn)?l 與 C 交于兩點(diǎn)，所以k 21 .14747.解得k33所以

14、 k 的取值范圍為 ( 47 , 47 ) .5 分3 3（ II ）設(shè) M x1 , y1 , N ( x2 , y2 ) .將 ykx1代入方程 ( x2) 2( y 3)21，整理得(1k2 ) x24(1 k) x 70 .所以 x14(1k )72 .x2k2 , x1x21 k1OMONc1x2y1 y21 k2 x1 x2k x1 x214k1k8.1k 2由題設(shè)可得4k 1 k8 =12，解得 k=1，所以 l的方程是 y=x+1.1k 2故圓心 C 在 l上，所以 MN2 .12 分21、解：（ I ） fx的定義域?yàn)?, fx2e2xa (x 0) .x當(dāng) a 0 時(shí)， f

15、x0，fx沒有零點(diǎn)；當(dāng) a 0時(shí)，因?yàn)?e2x單調(diào)遞增，a 單調(diào)遞減，所以 fx在 0,單調(diào)遞增，又f a 0 ，x當(dāng) b 滿足 0 b a 且 b 1 時(shí)， f(b) 0，故當(dāng) a 0 時(shí) fx存在唯一零點(diǎn) .446 分（ II ）由（ I ），可設(shè) fx 在 0,的唯一零點(diǎn)為 x0 ，當(dāng) x0， x0時(shí)， fx 0；當(dāng) xx0，時(shí)， fx 0.故 f x 在0，單調(diào)遞減，在x0，單調(diào)遞增，所以xx0 時(shí)， f x取得最小值，最小值為f x0 .由于 2e2x0a0 ，所以 fx0a2ax0a1n 22aa1n 2.x02x0aa故當(dāng) a0 時(shí)， fx2aa1n 2.12 分a22、解：（

16、I ）連接 AE ，由已知得， AE BC,AC AB.在 Rt AEC 中，由已知得， DE=DC, 故 DEC= DCE.連結(jié) OE，則 OBE= OEB.又 OED+ ABC= 90o ，所以 DEC+ OEB= 90o ，故 OED= 90o ， DE 是 e O 的切線 . 5 分.（ II ）設(shè) CE=1，AE= x ，由已知得 AB= 2 3 ， BE=12x22CE BE，.由射影定理可得， AE所以 x212x2 ，即 x4x2120 .可得 x3 ，所以 ACB= 60o .10 分23、解：（ I ）因?yàn)?xcos, ysin，所以 C1 的極坐標(biāo)方程為cos2 ，C2 的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40 .5 分（II）將代入22cos4 sin40，得23 24 0，解得4122,22.故 122，即 MN2由于 C2 的半徑為 1，所以110 分C2MN 的面積為 .224、解：（ I ）當(dāng) a1 時(shí)， fx 1化為x