概率及其隨機變量的分布列講義

1、概率、隨機變量及其分布列1概率（1）了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別。（2）了解兩個互斥事件的概率加法公式。（3）理解古典概型及其概率計算公式。（4）了解幾何概型的意義。（5）了解條件概率。2兩個事件相互獨立，n次獨立重復(fù)試驗（1）了解兩個事件相互獨立的概念；（2）理解n次獨立重復(fù)試驗的模型并能解決一些實際問題；3離散型隨機變量及其分布列（1）理解取有限個值的離散隨機變量及其分布列的概念。（2）理解二項分布，并解決一些簡單問題。4離散型隨機變量的均值、方差（1）理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念；（2）能計算簡單離散型隨機變量的均值、

2、方差，并能解決一些實際問題?！竞诵囊c突破】要點考向1：古典概型考情聚焦：1古典概型是高考重點考查的概率模型，常與計數(shù)原理、排列組合結(jié)合起來考查。2多以選擇題、填空題的形式考查，屬容易題?？枷蜴溄樱?有關(guān)古典模型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識。2在求基本事件的個數(shù)時，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性。3對于較復(fù)雜的題目，要注意正確分類，分類時應(yīng)不重不漏。例1：從1,2,3,4,5中隨機選取一個數(shù)為a，從1,2,3中隨機選取一個數(shù)為b，則ba的概率是（ ）

3、（A） (B （C） (D【命題立意】本題考查古典概型，熟練掌握求古典概型概率的常用方法是解決本題的關(guān)鍵?！舅悸伏c撥】先求出基本事件空間包含的基本事件總數(shù)，再求出事件“”包含的基本事件數(shù)，從而?！疽?guī)范解答】選D。，包含的基本事件總數(shù)。事件“”為，包含的基本事件數(shù)為。其概率。【方法技巧】列古典概型的基本事件空間常用的方法有：（1）列舉法；（2）坐標(biāo)網(wǎng)格法；（3）樹圖等。要點考向2：幾何概型考情聚焦：1幾何模型是新課標(biāo)新增內(nèi)容，預(yù)計今后會成為新課標(biāo)高考的增長點，應(yīng)引起高度重視。2易與解析幾何、定積分等幾何知識交匯命題，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題目?？枷蜴溄樱?當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域

4、為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解。2利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域。例2：在區(qū)間-1,2上隨即取一個數(shù)x，則x0,1的概率為 。【命題立意】以非常簡單的區(qū)間立意，運算不復(fù)雜，但能切中考查幾何概型的要害?！舅悸伏c撥】一元幾何概型長度之比【規(guī)范解答】-1，2的長度為3，0,1的長度為1，所以概率是.【方法技巧】一元幾何概型長度之比，二元幾何概型面積之比，三元幾何概型體積之比要點考向3：條件概率考情聚焦：1條件概率是新課標(biāo)新增內(nèi)容，在2007年山東高考重點亮相過，預(yù)計在今后課改省份高考

5、中會成為亮點。2常出現(xiàn)在解答題中和其他知識一同考查，當(dāng)然也會在選擇題、填空題中單獨考查?？枷蜴溄樱海?）利用公式是求條件概率最基本的方法，這種方法的關(guān)鍵是分別求出P（A）和P（AB），其中P（AB）是指事件A和B同時發(fā)生的概率。（2）在求P（AB）時，要判斷事件A與事件B之間的關(guān)系，以便采用不同的方法求P（AB）。其中，若，則P（AB）=P（B），從而例3：甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球。先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是_

6、（寫出所有正確結(jié)論的編號）。；事件與事件相互獨立；是兩兩互斥的事件；的值不能確定，因為它與中哪一個發(fā)生有關(guān)?！久}立意】本題主要考查概率的綜合問題，考查考生對事件關(guān)系的理解和條件概率的認(rèn)知水平【思路點撥】根據(jù)事件互斥、事件相互獨立的概念，條件概率及把事件B的概率轉(zhuǎn)化為可辨析此題?！疽?guī)范解答】顯然是兩兩互斥的事件，有，而，且，有可以判定正確，而錯誤?！敬鸢浮恳c考向4：復(fù)雜事件的概率與隨機變量的分布列、期望、方差考情聚焦：1復(fù)雜事件的概率與隨機變量的分布列、期望、方差是每年高考必考的內(nèi)容，與生活實踐聯(lián)系密切。2多以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題。例4：圖4是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（

7、單位：噸）的頻率分布直方圖（）求直方圖中x的值（II）若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望。【命題立意】以實際生活為背景，考查頻率分布直方圖的認(rèn)識，進(jìn)而考查分布列和期望等統(tǒng)計知識.【思路點撥】頻率分布直方圖矩形的面積表示頻率反映概率；隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣）是三個獨立重復(fù)實驗計算概率時遵循貝努力概型.【規(guī)范解答】（1）依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.（2）由題意知，XB(3，0.1.因此P(x=0= P(X=1=P(X=2= P(X=3=故隨機變

8、量X的分布列為X0123P0.7290.2430.0270.001X的數(shù)學(xué)期望為EX=30.1=0.3.【方法技巧】1、統(tǒng)計的常用圖：條形圖，徑葉圖；直方圖，折線圖等。要學(xué)會識圖.2、概率問題的解題步驟：首先思考實驗的個數(shù)、實驗關(guān)系和實驗結(jié)果，然后思考目標(biāo)時間如何用基本事件表示出來，最后利用對立事件、對立事件和互斥事件進(jìn)行運算.3、在求期望和方差時注意使用公式.注：（1）求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解。（2）一個復(fù)雜事件若正面情況比較多，反而情況較少，則一般利用對立事件進(jìn)行

9、求解。對于“至少”，“至多”等問題往往用這種方法求解。（3）求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率。（4）求隨機變量的均值和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式求解?！靖呖颊骖}探究】1兩個實習(xí)生每人加工一個零件加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（ ）（A） (B (C (D 【命題立意】本題考查獨立事件同時發(fā)生的概率，【思路點撥】恰有一個一等品，包含兩類情況，【規(guī)范解答】選B.所求概率為?！痉椒记伞?、要準(zhǔn)確理解恰

10、有一個產(chǎn)含義，2、事件A、B相互獨立，則P(ABP(AP(B3、本題也可用對立事件的概率來解決。所求概率p=1-.2某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪。假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于 ?！久}立意】本題主要考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求解?！舅悸伏c撥】 分析題意可得：該選手第一個問題可以答對也可以答錯，第二個問題一定回答錯誤，第三、四個問題一定答對，進(jìn)而求解“相互獨立事件同時發(fā)生的概率”?！疽?guī)范解答】依題意得：該選手第一個問題可以答對也

11、可以答錯，第二個問題一定回答錯誤，第三、四個問題一定答對，所以其概率.3盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是_ _.【命題立意】本題考查古典概型的概率求法?！舅悸伏c撥】先求出從盒子中隨機地摸出兩只球的所有方法數(shù)，再求出所摸兩只球顏色不同的方法數(shù)，最后代入公式計算即可?！疽?guī)范解答】從盒子中隨機地摸出兩只球，共有種情況，而摸兩只球顏色不同的種數(shù)為種情況，故所求的概率為【答案】【命題立意】本題主要考查獨立重復(fù)試驗及互斥事件的概率，考查考生的分類討論思想和運算求解能力【思路點撥】“4個病人服用某種新藥”相當(dāng)于做4次獨立重復(fù)試驗，“至少3人被治愈”即“3

12、人被治愈”，“4人被治愈”兩個互斥事件有一個要發(fā)生，由獨立重復(fù)試驗和概率的加法公式即可得出答案.【規(guī)范解答】4個病人服用某種新藥3人被治愈的概率為：；4個病人服用某種新藥4人被治愈的概率為：，故服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為.【答案】0.9477.【方法技巧】求多個事件至少有一個要發(fā)生的概率一般有兩種辦法：1、將該事件分解為若干個互斥事件的“和事件”，然后利用概率的加法公式求解；2、考慮對立事件。如:本題也可另解為5加工某一零件經(jīng)過三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為、，且各道工序互不影響，則加工出來的零件的次品率為 .【命題立意】本小題考查概率、相互獨立試驗等基礎(chǔ)知識

13、，考查運算求解能力，考查分類討論的思想.【思路點撥】加工零件需要完成三道工序，考慮問題的對立事件，加工出合格零件則需要三道工序都是合格品.【規(guī)范解答】 因為第一、二、三道工序的次品率分別為、，所以第一、二、三道工序的正品率分別為，所以加工出來的零件的次品率為【答案】.【方法技巧】當(dāng)所求事件的情形較多時，它的對立事件的情形較少，采用對立事件求解就是“正難則反易”的方法.6在甲、乙等6個單位參加的一次“唱讀講傳”演出活動中，每個單位的節(jié)目集中安排在一起.若采用抽簽的方式隨機確定各單位的演出順序（序號為1,2,6），求：（1）甲、乙兩單位的演出序號均為偶數(shù)的概率；（2）甲、乙兩單位的演出序號不相鄰的

14、概率. 【命題立意】本小題考查排列、組合、古典概型的基礎(chǔ)知識及其綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，及分類討論的數(shù)學(xué)思想.【思路點撥】先求出事件的總的基本事件的個數(shù)，再求出符合題意要求的基本事件的個數(shù)，最后計算概率.【規(guī)范解答】（方法一）考慮甲乙兩個單位的排列順序，甲乙兩個單位可以排列在6個位置中的任意兩個位置，有種等可能的結(jié)果；（1）設(shè)A表示“甲、乙的演出序號均為偶數(shù)”，則事件A包含的基本事件的個數(shù)是,所以；（2）設(shè)B表示事件“甲乙兩單位的演出序號不相鄰”，則表示事件“甲乙兩單位的演出序號相鄰”，事件包含的基本事件的個數(shù)是,所以（方法二）不考慮甲乙兩個單位的排列順序，甲乙兩個單位可以在6個位置中的任

15、選兩個位置，有種等可能的結(jié)果；（1）設(shè)A表示“甲、乙的演出序號均為偶數(shù)”，則事件A包含的基本事件的個數(shù)是,所以；（2）設(shè)B表示事件“甲乙兩單位的演出序號不相鄰”，則表示事件“甲乙兩單位的演出序號相鄰”，事件包含的基本事件的個數(shù)是5,所以.（方法三）考慮所有單位的排列位置，各單位的演出順序共有(種情形；（1）設(shè)A表示“甲、乙的演出序號均為偶數(shù)”，則事件A包含的基本事件的個數(shù)是,所以；（2）設(shè)B表示事件“甲乙兩單位的演出序號不相鄰”，則表示事件“甲乙兩單位的演出序號相鄰”，事件包含的基本事件的個數(shù)是,所以.【跟蹤模擬訓(xùn)練】一、選擇題（每小題6分，共36分）1鍋中煮有芝麻餡湯圓6個，花生餡湯圓5個，

16、豆沙餡湯圓4個，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取4個湯圓，則每種湯圓都至少取到1個的概率為 ( （A） （B） （C） （D） 2已知函數(shù)、都是定義在上的函數(shù)，且(且，在有窮數(shù)列(中，任意取正整數(shù)，則其前項和大于的概率是( A. B. C. D.3先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子，記骰子落地后朝上的點數(shù)分別為x、y，則的概率為（ ） A B C D4一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下表:組別頻數(shù)1213241516137則樣本數(shù)據(jù)落在 上的頻率為 A0.13 B0.39 C0.52 D 0.645從足夠多的四種顏色的燈泡中任選六個安置在如右圖的6個頂點處，則相鄰頂點處燈

17、泡顏色不同的概率為 （ ）A B C D6將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別為，則方程 有實根的概率為 A B C D二、填空題（每小題6分，共18分）7某班有36名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)課外興趣小組，每名同至多參加兩個小組，已知參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)小組的人數(shù)分別為26，15，13，同時參加數(shù)學(xué)和物理小組的有6人，同時參加物理和化學(xué)小組的有4人，則同時參加數(shù)學(xué)和化學(xué)小組的有 人8從5名世博志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導(dǎo)游、保潔三項不同的工作，每人承擔(dān)一項，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有 種.9.已知集合A=(x,y|x|2,|y|2,x,yZ,集合B=(x,y|(x-22+(y-224,x,yZ,在集合A中任取一個元素p,則pB的概率是_.三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分10.一個口袋中裝有n個紅球(n5且nN和5個白球，一次摸獎從中摸出兩個球，兩個球顏色不同則為中獎.(1試用n表示一次摸獎中獎的概率P;(2若n=5,求三次摸獎(每次摸獎后放回恰有一