特殊高階微分方程

1、第12次課2學(xué)時(shí)課程安排：第二學(xué)期，周學(xué)時(shí)4,共64學(xué)時(shí).主要內(nèi)容：特殊髙階微分方程：高階線性微分方程的概念、二階常系數(shù)齊次線性微分方程。本次課題（或教材章節(jié)題目）：特殊髙階微分方程教學(xué)要求：1.理解髙階線性微分方程的概念；2.掌握線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)重點(diǎn)：1.線性微分方程的概念；2.線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)。難點(diǎn)：線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)。教學(xué)手段及教具：以講授為主，講、練結(jié)合，使用電子教案講授內(nèi)容及時(shí)間分配：1.二階線性微分方程舉例（30分鐘）2.線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)（70分鐘）課后作業(yè)1 二階線性微分方程舉例（30分鐘）2.線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)（70分鐘）參考資料第12講特殊高階微分方

2、程復(fù)習(xí)舊知：二階線性微分方程的引入【例1】設(shè)有一彈簧，它的上端固定，下端掛一個(gè)質(zhì)量為 的物體。當(dāng)物體處于 靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，作用在物體上的重力與彈性力大小相等，方向相反。這個(gè)位置就是 物體的平衡位置。如圖，取 軸鉛直向下，并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。如果使物體具有一個(gè)初始速度，那未物體便離開(kāi)平衡位置，并在平衡位置附近作上下振動(dòng)。在振動(dòng)過(guò)程中，物體的位置隨時(shí)間變化，即 是的 函數(shù)試確定物體的振動(dòng)規(guī)律。力學(xué)知識(shí)告訴我們： 彈簧使物體回到平衡位置的彈性恢復(fù)力和物體離開(kāi) 平衡位置的位移成正比，即其中為彈簧的彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)表示彈性恢復(fù)力方向和物體位移方向相反。另外，物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中還受到阻尼介質(zhì)（如空氣、油

3、等）的阻力作用，使得 振動(dòng)逐漸趨向于停止。山實(shí)驗(yàn)知道，阻力 總與運(yùn)動(dòng)方向相反，當(dāng)振動(dòng)不大時(shí), 其大小與物體運(yùn)動(dòng)的速度成正比，設(shè)比例系數(shù)為，則有根據(jù)上述關(guān)于物體受力情況的分析，山牛頓笫二定律得移項(xiàng)，并記則上式化為這就是在有阻尼的情況下，物體自由振動(dòng)的微分方程。如果物體在振動(dòng)過(guò)程中，還受到鉛直干擾力的作用，則有其中,這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程。觀察上述微分方程的特點(diǎn)，它可表示成一個(gè)更一般的形式方程叫做二階線性微分方程。當(dāng)方程的右端時(shí)，方程叫做齊次的;否則，方程叫做非齊次的。二、二階齊次線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)【定理一】如果函數(shù) 與 是二階齊次線性方程的常數(shù),使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有恒等式的兩個(gè)解，則也是方程

4、的解，其中，是任意常數(shù)。證明：將表達(dá)式代入式，有y + P(x)y + Q(x)y= lc1y1ff+c2y； + P(A-)lc1X+c2y,2Q(x)ciyl+c2y2=Ci y；+ P(x)y； +Q(x)yi + c2y；+P(x)yf2+ Q(x)y2=Cj 0 + c2 0=0故式是方程的解。這一性質(zhì)表明，齊次線性方程的解符合疊加原理。值得注意的是，疊加起來(lái)的解從形式上看含有兩個(gè)任意常數(shù)，但它不一定是方程的通解。例如，設(shè) 是的一個(gè)解，則也是的解，這時(shí)式成為可以把它寫(xiě)成(其中)這顯然不是的通解。這樣便提出了一個(gè)問(wèn)題，在什么情況下，式才是方程的通解呢？要解決這一問(wèn)題，我們還需引入一個(gè)新

5、的概念，即所謂函數(shù)的線性相關(guān)與線 性無(wú)關(guān)。的常數(shù),使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有恒等式設(shè)為定義在區(qū)間 內(nèi)的 個(gè)函數(shù)，如果存在 個(gè)不全為零成立，那未稱這 個(gè)函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)線性相關(guān)；否則稱線性無(wú)關(guān)。就有恒等式乂例如，函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上是線性無(wú)關(guān)的。因?yàn)閷?duì)于不全為零的數(shù)，一元二次方程至多只有兩個(gè)實(shí)根。因此，它不會(huì)恒等于零。下面，我們尋找兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)的條件給定兩個(gè)函數(shù)，若它們線性相關(guān)，則存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)（不妨認(rèn)為），使得（常數(shù)）反過(guò)來(lái)，如果（常數(shù)）則即是線性相關(guān)的。因此，我們得到結(jié)論：函數(shù)與線性相關(guān)的充要條件是 恒等于常數(shù)。山于函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)是互逆的概念，因此，函數(shù) 與 線性例如，函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸

6、上是線性相關(guān)的。因?yàn)槿o(wú)關(guān)的充要條件是不恒等于常數(shù)。現(xiàn)在，我們給出二階線性齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)定理?！径ɡ矶咳绻c是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則（其中為任意常數(shù)）就是方程的通解。的兩個(gè)解，求該方程的通解。解：故與均為方程的解。又故是方程的通解。三、二階線性非齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)【定理三】設(shè) 是二階線性齊次方程的通解，而是二階線性非齊次線性方程【例1】驗(yàn)證：函數(shù)與是二階線性齊次方程的一個(gè)特解，那未是二階線性非齊次微分方程的通解。證明：將代入非齊次方程，有故是方程的解，由于齊次的通解 含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，故它是非齊次方程的通解。求非齊次方程的特解時(shí)，下述定理會(huì)經(jīng)常用到?！径ɡ硭摹吭O(shè)與分別

7、是二階線性非齊次微分方程與的特解，則是二階線性非齊次微分方程的特解。這一定理的證明較簡(jiǎn)單，只需將代入方程便可驗(yàn)證。這一結(jié)論告訴我們欲求方程 / +P(x)yf4-Q(x)y = fy(x) + f2(x)特解可分別求yn+ PMy,+ Q(x)y = fl(x)與yn+ P(x)yf+ Q(x)y = f2(x)的特解昇和甫，然后進(jìn)行疊加h = y； + y；最后指出，在本節(jié)，我們僅討論了二階線性齊次(非齊次)微分方程的通解之 結(jié)構(gòu)，并未給出求解二階線性微分方程的方法。一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的一般形式方程其中是常數(shù)，稱之為二階常系數(shù)齊次線性方程；如果不全為常數(shù)，則稱它為二階變系數(shù)齊次線

8、性微分方程。二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解由第八節(jié)的討論可知，要找微分方程的通解，可先求出它的兩個(gè)解 與,如果，即 與 線性無(wú)關(guān)，那未就是方程的通解。 12.8常系數(shù)齊次線性微:分方程對(duì)于指數(shù)函數(shù),若它是方程的解，則有就是微分方程的解。由于山此可見(jiàn)，只要 滿足代數(shù)方程，函數(shù) 我們把此代數(shù)方程叫做微分方程的特征方程。特征方程的兩個(gè)根,可用公式求出，它們有三種不同的情形：、當(dāng)時(shí)，是兩個(gè)不相等的實(shí)根:、當(dāng)時(shí)，是兩個(gè)相等的實(shí)根：、當(dāng)時(shí)，是一對(duì)共轆復(fù)根：其中 相應(yīng)地，微分方程的通解也就有三種不同的情形，現(xiàn)分別討論如下：(1)、特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：由上面的討論知道，與均是微分方程的兩個(gè)解，并

9、不是常數(shù)，因此微分方程的通解為這時(shí)，我們只得到微分方程的一個(gè)解，為了得到方程的通解,(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：我們還需另求一個(gè)解，并且要求。設(shè)，即，下面來(lái)求。相加，得約去， 整理得由于是特征方程的二重根，因此72斤 + /? =0 ,打_ +prx+ g = 0于是，因只要得到一個(gè)不為常數(shù)的解，可取，由此得到微分方程的另一個(gè)解從而得到微分方程的通解為(3).特征方程有一對(duì)共轆復(fù)根:是微分方程的兩個(gè)解，根據(jù)齊次方程解的疊加原理，有也是微分方程的解，且所以，微分方程的通解為綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟如下第一步寫(xiě)出微分方程的特征方程第二步求出特征方程的兩個(gè)根。第三步 據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情形，依下表寫(xiě)出微分方程的通解。特征方程的兩個(gè)根微分方程= O的通解【例1】求微分方程的通解。兩個(gè)不