不留有用只留必需

1、說起數(shù)學(xué)史上嚴謹?shù)牡浞?，自然少不了歐幾里得和他的幾何原本，歷經(jīng)2000多年而不衰，前無古人后無來者。有時候覺得，歐幾里得的這種嚴謹簡直到了令人發(fā)瘋的程度，全本書只用簡單的幾條公理和公設(shè)，便推導(dǎo)出洋洋灑灑的這么大一部奇書。想要體驗其嚴謹?shù)某潭?，只需要細看歐幾里得給出的幾條公理即可。一：嚴謹?shù)牡浞恫荒苡玫墓斫^對不用，哪怕這條公理是多么的顯而易見以至于“驢都想得到”，只要沒有必要或是能用現(xiàn)成的公理代替，歐幾里得就堅決不要。比如我們都知道，對于圓規(guī)，除了具有畫圓的功能，還具有“搬運有限線段”的功能即用圓規(guī)在其他地方畫出與已知線段相同的長度的線段。我想大家都知道這事情是很容易辦到的，這個功能也是如此的

2、顯而易見。但是在歐幾里得的幾何里卻是不允許的，除非你能證明圓規(guī)的這一功能。原因很簡單，因為歐幾里得用不著圓規(guī)的這一功能，如果涉及要用這條性質(zhì)的，歐幾里得完全可以用另外的方式來代替?？傊?，他不允許在自己的邏輯體系里有絲毫的累贅。又比如在證明“AAS”三角形全等判定定理時，竟然沒用上“三角形的內(nèi)角之和為180”這個結(jié)論，當(dāng)各位在證明“AAS”時，是否會本能地將其化成“ASA”？原因其實也很簡單，因為在介紹有關(guān)三角形全等的章節(jié)中，還沒有推導(dǎo)出“內(nèi)角之和為180”這一結(jié)論，而歐幾里得不希望將全等判定留到后面。二：對畢達哥拉斯定理的證明歐幾里得將畢氏定理的證明放在第一篇最后，僅僅用了46個命題便證明出該

3、定理，不能不說是神來之筆。在眾多證明方法中，要數(shù)歐幾里得的證明最為簡單。要知道，此時的歐幾里得還未曾提及任何有關(guān)圓、相似性的命題，四邊形也僅僅提到平行四邊形。我想歐幾里得不是不知道用相似原理來證明勾股定理，因為他對相似原理的描述已經(jīng)非常全面，他煞費苦心地構(gòu)造這么一種方法來證明畢氏定理，原因大概只有一個他不希望把這么漂亮的定理留到后面。也就是在這些命題中，有著很明顯的層層遞推關(guān)系。三：幾何原本的些許遺憾這里所說的遺憾，不是其內(nèi)容很多有些過時，畢竟我們已經(jīng)過了兩千多年，而是其邏輯結(jié)構(gòu)并非十全十美。最著名的大概就是第五公設(shè)，該公設(shè)自提出便充滿爭議，直到19世紀初，才由三位科學(xué)家（高斯，約翰鮑耶，黎曼）徹底解決第五公設(shè)問題，并從中發(fā)展出非歐幾何，大大拓展了人們的視野。除了第五共設(shè)，少有人知道的是，幾何原本的第一個命題便是有問題的：【11】在一條已知的有限線段上做等邊三角形。歐幾里得的方法是：以A為圓心，AB線段為半徑做圓，再以B為圓心，AB為半徑做圓，連接兩圓交點和AB兩點，便得到等邊三角形。該問題自然是正確無疑的，但是卻是有邏輯漏洞的，因為我們無法知道兩圓為何一定相交。要知道這可是該書的第一條命題，他所能基于的就只有幾大公設(shè)和公理，而沒有任何一條公設(shè)能證明這一點。我們只能憑感覺說兩圓一定相交，而這