2決賽二試試題4

1、第二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽二試試題（小學(xué)組）1. 有 50名學(xué)生參加聯(lián)歡會(huì)，第一個(gè)到會(huì)的女生同全部男生握過手，第二個(gè)到會(huì) 的女生只差 1個(gè)男生沒握手，第三個(gè)到會(huì)的女生只差 2 個(gè)男生沒握手，如此等等， 最后一個(gè)到會(huì)的女生同 7 個(gè)男生握過手，問這 50名同學(xué)中有多少男生？2. 分子小于 6 而分母小于 60 的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？3. 已知五個(gè)數(shù)依次是13, 12, 15, 25, 20它們每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得四個(gè)數(shù)， 這四個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得三個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得兩個(gè) 數(shù)，這兩個(gè)數(shù)相乘得一個(gè)數(shù)，請(qǐng)問最后這個(gè)數(shù)從個(gè)位起向左數(shù)， 可以連續(xù)地?cái)?shù)到 幾個(gè)0 （參見圖）？4

2、. 用 1 分、2 分和 5分的硬幣湊成一元錢，共有多少不同的湊法？5. 有兩個(gè)班的小學(xué)生要到少年宮參加活動(dòng)，但只有一輛車接送，第一班的學(xué)生 坐車從學(xué)校出發(fā)的同時(shí)， 第二班學(xué)生開始步行； 車到途中某處， 讓第一班學(xué)生下 車步行， 車立刻返回接第二班學(xué)生上車并直接開往少年宮，學(xué)生步行速度為每 小時(shí) 4 千米，載學(xué)生時(shí)車速每小時(shí) 40 千米，空車每小時(shí) 50 千米，問：要使兩班 學(xué)生同時(shí)到達(dá) 少年宮，第一班學(xué)生步行了全程的幾分之幾？（學(xué)生上下車時(shí)間 不計(jì)）Ill-41x11b H6. 下面是兩個(gè)1989位整數(shù)相乘！ii問乘積的各位數(shù)字之和是多少？參考答案1. 28名男生2.共有197個(gè)3.可以連續(xù)

3、地?cái)?shù)到10個(gè)04.共有541種湊法5.第£一班學(xué)生步行了全程的6. 17, 9011. 【解】可以設(shè)想每個(gè)女生與最后一個(gè)與她握手的男生一同跳舞，不再與其他 人握手.這樣，一對(duì)對(duì)舞伴離開后，最后留下 6（二7- 1）名男生，所以男生比女 生多6名，由和差問題的解法立即得到男生有（50 + 6） -2= 28名.2. 【解】分子的取值范圍是從1到5.當(dāng)分子為1時(shí)，分母可從2到59.共有58個(gè)真分?jǐn)?shù).它們當(dāng)然都是不可約分?jǐn)?shù) 由于2, 3, 5都是質(zhì)數(shù)，因此當(dāng)分子分別為2, 3, 5時(shí)，分母必須而且只須適合 下列二個(gè)條件：1）分母大于分子且小于60.2）分母不是分子的倍數(shù). 經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算可

4、以知道：當(dāng)分子為2時(shí)，適合條件的分母有29個(gè)；當(dāng)分子為3時(shí)，適合條件的分母有38個(gè)；當(dāng)分子為5時(shí)，適合條件的分母有44個(gè)；最后來看分子為4的情形，與分子為2基本相同，分母不能為偶數(shù)，此外分母不 能為3所以共有28（ = 29- 1）個(gè).總之。符合要求的分?jǐn)?shù)共有： 58 + 29+ 38+ 44 + 28= 197（個(gè)） 答：分子小于6而分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)共有197個(gè).3. 【解】幾個(gè)整數(shù)的乘積，如果要確定它后面的幾個(gè)0,可以用這樣的辦法： 把每個(gè)乘數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，把分解中2的重?cái)?shù)加起來，5的重?cái)?shù)也加起來，看哪一 個(gè)小，哪一個(gè)就是乘積尾部0的個(gè)數(shù)。我們可以分別計(jì)算質(zhì)因數(shù)2和5的重?cái)?shù)。為此我

5、們畫兩個(gè)圖（如下）：圖中的數(shù)是這樣填的：以2的重?cái)?shù)為例，第一行第一個(gè)數(shù)13不含因數(shù)2,在這 個(gè)位置填O,第二個(gè)數(shù)12含2個(gè)因數(shù)2（12 = 2X 2X 3），在這個(gè)位置填2,等等。 下面各行的數(shù)都是肩上兩數(shù)的和（因?yàn)槌朔e的因數(shù)2的重?cái)?shù)等于各乘數(shù)的因數(shù)2 的重?cái)?shù)的和）這樣我們就把題中每個(gè)圈中數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中的 2的重?cái)?shù)和5的重?cái)?shù)分別標(biāo)在兩 個(gè)圖中了。特別地，最下面一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中 2的重?cái)?shù)是10, 5的重?cái)?shù)是 15,所以它尾部應(yīng)該有10個(gè)0。答：可以連續(xù)地?cái)?shù)到1O個(gè)0.4. 【解】全部是5分的硬幣，20枚可湊成一元錢.拿出1枚5分的硬幣換成1 分和2分的，有3種換法（2個(gè)2分的，1個(gè)2分的和

6、0個(gè)2分的）；拿出2枚5分的硬幣換成1分和2分的，有6種換法；拿出3枚5分的硬幣換成1分和2 分的，有8種換法.依此類推，當(dāng)拿出的5分硬幣為奇數(shù)n時(shí)，換法為(nx 5+ 1) 寧2,當(dāng)拿出的5分硬幣為偶數(shù)n時(shí)，換法為nx 5十2+ 1,所以，用1分、2分 和5分的硬幣湊成一元錢，共有1+( 1 + 3+ 5+.+ 19)x 5+ 10)十2+( 2+ 4+ 6+ 20)x 5-2+ 10= 541種不同的湊法.5. 【解】首先注意，由于兩個(gè)班的同學(xué)都是一段路步行一段路乘車，而乘車的 速度比步行快，中間又沒有停留，因此耍同時(shí)到達(dá)少年宮.兩個(gè)班的同學(xué)步行的 路程一定要一樣長(zhǎng).A E rC B我們畫

7、一個(gè)圈(見上圖)來分析，圖中A是學(xué)校，B是少年宮，C是第一班學(xué)生下 車的地點(diǎn)，D是第二班學(xué)生上車的地點(diǎn)，由上所述 AD和CH樣長(zhǎng).設(shè)第一班同 學(xué)下車時(shí)，第二班同學(xué)走到E處由于載學(xué)生時(shí)車速為每小時(shí)40千米，而步行的丄速度為每小時(shí)4千米.是車速的1，因而AE是AC的丄。在第一班學(xué)生下車后, 汽車從C處迎著第二班學(xué)生開車速是每小時(shí) 50千米，而第二班學(xué)生從E處以 每小時(shí)4千米的速度向前走，汽車和第二班學(xué)生在 D點(diǎn)相遇不難算出ED是EC彳丄的J。由于EC是 AC的1 一二=可見ED是AC的I X丄=二，這樣AD就是AC的1】+二= 1 1最后，由于AD= CB AD就是AB的云-(1 +云)=.2答：第一班學(xué)生步行了全程的.111 11999-99闿酣忖 x 9=龍艸？= 101989 1lib-11 m-n因此亠;.x 八=012345679X (10 1989一 1)000- 00123456790 -012345679=】宀' 一=123456790 7654320