因式分解地教材分析報(bào)告

1、實(shí)用文檔因式分解的教材分析沽十五中、知識結(jié)構(gòu)梳理塘王守娟提”二、本章在代數(shù)中的地位和作用因式分解是代數(shù)中又一種重要的恒等變形，而本章的因式分 解的容是多項(xiàng)式因式分解中一部分最基本的知識和基本方法， 它 包括因式分解的概念，整式乘法與因式分解的區(qū)別和聯(lián)系；因式 分解的四種基本方法，即提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法 和十字相乘法（本書中只介紹了二次項(xiàng)系數(shù)為 1 的二次三項(xiàng)式的 十字相乘法）多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)中一部分重要容，它是在學(xué)完有理 數(shù)和整式乘法之后給出的，它與前一章整式乘除和后一章分式聯(lián) 系極為密切。這部分容在將分式通分和約分時有著直接應(yīng)用， 在 解方程以及將三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形等方

2、面也經(jīng)常涉及到它的應(yīng) 用， 因此本章容對進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有重要的作用。三、教學(xué)目標(biāo)1、通過學(xué)習(xí)因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián) 系，提高對定義提公因式法兩項(xiàng)式Y(jié) 余三項(xiàng)的多項(xiàng)分組分解法套”*步驟分”四實(shí)用文檔代數(shù)式的辨別能力。2、學(xué)習(xí)提公因式法，了解提公因式法分解因式是乘法對加 法的分配律的逆用； 學(xué)習(xí)了公式法， 進(jìn)一步明確公式法分解因式 是乘法公式的逆用。從而提高代數(shù)式的恒等變形能力。3、在小學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)分解質(zhì)因數(shù)是為分?jǐn)?shù)運(yùn)算打基礎(chǔ)，進(jìn) 而計(jì)算算術(shù)應(yīng)用題。同樣道理，在代數(shù)中學(xué)習(xí)因式分解是為后面 學(xué)習(xí)分式運(yùn)算打基礎(chǔ)，進(jìn)而可以列方程解應(yīng)用題，從而提高分析 問題和解決問題的能力。4、 通過分組

3、分解法提高學(xué)生觀察問題、 分析問題、 解決問 題的能力。注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，提高合理選擇式子變形的 方法，注意提高綜合處理因式分解的能力。5、加強(qiáng)把一個式子看作一個字母的換元思想的練習(xí)，在因 式分解時對于比較復(fù)雜的問題能夠通過變形整理使之轉(zhuǎn)化為所熟 悉的因式分解的基本形式或把某一部分式子看作一個整體以適應(yīng) 某種基本方法， 從而了解等價轉(zhuǎn)化的思想和方法。6、尋求因式分解的方法具有探索性，要有猜想、試探、思 辨的過程，所以要培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和探索能力，提高解題的 靈活性和創(chuàng)造性。四、教學(xué)重點(diǎn)：多項(xiàng)式的因式分解的四種方法。五、教學(xué)難點(diǎn)：多項(xiàng)式因式分解方法靈活多變，分組方案的篩選技巧六、教學(xué)建議

4、1、對因式分解這一概念本人認(rèn)為不宜要求學(xué)生一次了解徹 底，可以通過舉例及后面的幾節(jié)課的因式分解過程逐步加深理 解。 特別是講授四個因式分解的基本方法時，結(jié)合具體例題的分 析過程、分解結(jié)果，說明因式分解的概念，以達(dá)到明確這個概念 的目的。2、提公因式法是因式分解的最基本的方法，也是最常用的 方 法，它的理論依據(jù)是乘法分配律。在講解時可以先復(fù)習(xí)單項(xiàng) 式乘以多項(xiàng)式，再把它逆轉(zhuǎn)過來運(yùn)算就是提公因式法。用這個方 法，首先對要分解的多項(xiàng)式認(rèn)真觀察，確定公因式是至關(guān)重要 的。3、運(yùn)用公式法的關(guān)鍵是熟悉各公式的形式和特點(diǎn)。對初學(xué) 者來說，如何根據(jù)要分解的多項(xiàng)式的形式特點(diǎn)（項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、指 數(shù)）來選擇用什么公式，

5、往往不是很容易，這也是運(yùn)用公式的難 點(diǎn)。因此在教學(xué)中應(yīng)注意分析實(shí)例，指明思路、交待方法，以便 克服難點(diǎn)。4、分組分解法是前兩種方法的綜合。教材中分兩類：一類 是分組后能直接提公因式的； 一類是分組后能運(yùn)用公式的。 由于 多項(xiàng)式的形式各異，分組的方法也比較靈活，要具體問題具體分 析，并且要預(yù)見到分組后是否能將整個多項(xiàng)式繼續(xù)分解，相對來 說分組分解法比前兩種方法難，教學(xué)時要根據(jù)教材的層次，先易 后難，最后講綜合性的因式分解。實(shí)用文檔5、運(yùn)用公式x2(a b)x ab (x a)(x b)進(jìn)行因式分解，讓學(xué)生注意觀察該二次三項(xiàng)式的特征：二次項(xiàng)系數(shù)為1；2常數(shù)項(xiàng)能分解成 ab :a b 恰好為一次項(xiàng)系

6、數(shù)，則一定能分 解為(xa)(x b)的形式，只有滿足這樣特征的二次三項(xiàng)式才能 用它進(jìn)行正確的因式分解。6綜合運(yùn)用以上四種方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解安排在本 章的最后，對這部分容的教學(xué)要根據(jù)不同的題目，進(jìn)行具體分 析，靈活地運(yùn)用各種方法來分解因式。通過這部分容可綜合地培 養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力。這部分容又是教 學(xué)的難點(diǎn)，要從教學(xué)要求學(xué)生水平出發(fā)安排這部分的例題和練 習(xí)。7、因式分解的一般步驟是總結(jié)各種分解方法后講述的， 教 學(xué)時要強(qiáng)調(diào)結(jié)合題目的形式和特點(diǎn)來選擇，確定采用哪種方法分 解。四種方法是彼此聯(lián)系的，并不是一種類型的多項(xiàng)式只能用一 種方法來分解因式，教學(xué)時要讓學(xué)生學(xué)會具體

7、問題具體分析的方 法。8、先分組分解，再最后完成整個分解的方法，既依賴于解 題能力的提高，也是解題能力的培養(yǎng)。要認(rèn)真組織學(xué)生討論，發(fā) 揮實(shí)驗(yàn)探索精神，養(yǎng)成探索習(xí)慣，以尋求分組途徑，所以這種解 法應(yīng)在學(xué)生的研討中產(chǎn)生，而不宜簡單地“傳授”給學(xué)生，讓學(xué) 生不僅享受正確分組的成功，也要經(jīng)歷錯誤分組的失敗，然后從 失敗中走向成功。七、課時安排： 8.1 提公因式法(5 課時) 8.2 運(yùn)用公式法(8 課時) 8.3 分組分解法(8 課時)八、具體安排： 8.1 提公因式法(第一課時)引出因式分解這一概念的方法很多。本人在課前先讓學(xué)生完 成如下的題目(課本第 7 頁練習(xí))1a3b3c abc abc（）

8、2m2x3m2x2m2xy m2x（）3I2a2b 3a2b2x 9a2b23a2b（）23434242322242x y z 14x y z 2x y z 2x y z（ ）更能體會整式乘法與因式分解互為逆變形，同時也為提公因 式法作準(zhǔn)備。實(shí)用文檔提公因式法分解因式的關(guān)鍵是確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，即 當(dāng)多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)為整數(shù)時， 應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與各項(xiàng) 相同因式的最低次幕的積。此種方法分解的步驟是：確定公因式，把它放在括號前。 確定另一個公因式（用提出的公因式去除原多項(xiàng)式，把所得的 商作為另一個因式，并把它寫在括號里）。安排例 1、6x23x3y（含一個字母）例 2、8a3b212ab

9、3c（含兩個字母）例 3、2a2bc24ab2c26abc3（含三個字母顯然例題是由易到難， 這樣安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律， 也使學(xué)生 易于掌握。（第二課時）講解課本上的例 3、3x26xy x（易出現(xiàn)漏 “ 1”的問題，此時可用整式乘法來檢驗(yàn)）。補(bǔ)充：已知 b a 6， ab 7，求a2b ab2的值。分析：學(xué)生先階段還不能從已知中求出a、b 的值， 因此就需要學(xué)生探索求解的方法，即先把多項(xiàng)式a2b ab2分解 因式得ab（a b），再把b a 6,ab 7代入。（第三課時）添括號法則及例 5 （將多項(xiàng)式的后兩項(xiàng)添括號）例 6、將多項(xiàng)式4m316m226m分解因式（在這里又一 次應(yīng)用了添括號法

10、則，即多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，在分解之 前應(yīng)先提出“-”號，再對對括號的多項(xiàng)式分解因式，這樣比較 簡單補(bǔ)充：按要求對多項(xiàng)式5a3b 2ab 3ab32b2添括號1將多項(xiàng)式的中間兩項(xiàng)放到前面帶有“一”的括號 里；2將多項(xiàng)式的四次項(xiàng)放到前面帶有“ +”的括號里， 二次項(xiàng)放到前面帶有“”的括號里。(例5 之后練習(xí))(第四課時)公因式是多項(xiàng)式(這里滲透換元思想)例 7、把2a(b c) 3(b c)分解因式例&把18b(a b)212(a b)3分解因式(課本例 9)(兩個例題中括號的多項(xiàng)式是相同的)(第五課時)公因式仍是多項(xiàng)式，但需在分解前變形，這也是 學(xué)生容易錯的地方?；谶@樣在講例題之

11、前讓學(xué)生先完成P12的練習(xí)第 1 題，并通過此題的練習(xí)讓學(xué)生歸納出(x y)n與(y x)n的關(guān)系：1當(dāng)n為偶數(shù)時(x y)n=(y x)n2當(dāng)n為奇數(shù)時(x y)n=(y x)n實(shí)用文檔從而為例 9、把6(x 2)x(3 x)分解因式例 10、把5(x y)310(y x)2分解因式作了鋪墊。(在這里盡量讓學(xué)生用不同的方法來分解) 8.2 運(yùn)用公式法(這種方法的關(guān)鍵是弄清公式的形式和特 點(diǎn)，熟練地掌握公式)平方差公式的特點(diǎn)：左邊：多項(xiàng)式為二項(xiàng)式；兩項(xiàng)的符號相反；每項(xiàng)都可 化為某數(shù)(或某式)的平方形式。右邊：這兩個數(shù)(或式)的和與這兩個數(shù)(或式)的差的積。即：()2()2= ( +)( )(第

12、一課時)應(yīng)充分重視引例x216與9m24n2的因式分解過程的分析。在講解例題之前先完成課后練習(xí) 1、練習(xí) 4 (判斷能否用平 方差公式分解，從而加深對公式的理解，同時也有助于學(xué)生邏輯 思維能力的培養(yǎng))。例 1、把下列各多項(xiàng)式分解因式：(1)1 25b2(2)x2y2 1(3)44m20.01 n69通過例題的講解歸納步驟先判斷能否用此公式，并確定a、b ;再套用公式分解；化簡。（第二課時）相當(dāng)于公式中的a、b 是多項(xiàng)式，又一次體現(xiàn) 了換元的思想，分析時就可以采用換元法。例 2、把下列多項(xiàng)式分解因式：（x p）2（x q）216（a b）29（a b）2（分解時讓學(xué)生注意系數(shù)、指數(shù)的變化）。（第

13、三課時）綜合運(yùn)用提公因式法和公式法分解多項(xiàng)式（有 助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力）初次讓學(xué)生體會到因式分解方法的 考慮順序是一“提”二“套”。例 3、分解下列多項(xiàng)式：x5x3x4y4（兩次運(yùn)用公式，強(qiáng)調(diào)分解要徹底。這里又一次體現(xiàn)換元的思想）（第四課時）完全平方公式：公式特點(diǎn)：（左邊）a、多項(xiàng)式為三項(xiàng)式；b、有兩個平方 項(xiàng)且同號，又能寫成兩數(shù)（或式）的平方形式；c、另一項(xiàng)是這 兩數(shù)（或式）的積的二倍，符號可正可負(fù)。實(shí)用文檔（右邊）這兩數(shù)（或式）的和或差的平方形式。運(yùn)用此公式的關(guān)鍵是會判斷一個三項(xiàng)式是否為完全平方式 即：（）22* * + （）2補(bǔ)充下面的練習(xí)：1、下列各式是否為完全平方式：2小x 2x

14、y2y4a24ab 2b2小x 2xy2yx24x42、 填空：2m4n22a22a22xy2y2完成以上練習(xí)后再講例1把多項(xiàng)式25x410 x21分解因式 及引例x26x9和4x220 x 25的分解因式。（第五課時）例 5、（首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，先提出“一”，使字母的平方項(xiàng)系 數(shù)為正）（x24y24xy）例 6、 （含公因式的）3ax26axy 3ay2（又一次體現(xiàn)一 “提”二“套”的步驟）（第六課時）例 7、把2（a b）220（a b） 50分解因式（此題中既含有公因式 2，又把 a b 看作整體，進(jìn)一步滲透換元 思想）補(bǔ)充：分解 （X2y2）24x2y2xn 1xn 3（第七課時）補(bǔ)充因式

15、分解的一些應(yīng)用（如簡便計(jì)算：196216證明數(shù)的整除：n為整數(shù)，則（2n1）2（2n 1）2）能被 8 整除等問題）（第八課時）公式法的小結(jié)課，綜合運(yùn)用兩個公式和提公因 式法。從而培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、解決問題的能力。 8.3 分組分解法（關(guān)鍵是分組后能繼續(xù)分解）一）分組后直接提公因式（等項(xiàng)分組）分組的原則是：可按相同的系數(shù)或相同的系數(shù)比進(jìn)行分組 女口：多項(xiàng)式3ax 4by 4ay 3bx可有兩種分組方法，（方法一）（3ax 3bx） （4ay 4by）（也可說是按x、y 分組） （方法二）（3ax 4ay） （3bx 4by）（也可說是按a、b 分組）可根據(jù)字母的次數(shù)來分組（如x2y22xy 3

16、x 3y 2可把二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)分別分組即(x22xy y2)(3x3y)2， 當(dāng)然它還有其它的分組方法這里就不介紹了）（第一課時）例 1、a2abacbe例 2、實(shí)用文檔2ax 10ay5bybx（第二課時）例 3、3ax 4by 4ay 3bx例 4、m25n mn 5m（例 1例 4 由同學(xué)們互相討論尋求）二）分組后直接運(yùn)用公式（第三課時） 例 5、x2y2ax ay（還是分組后提公因式，只是前兩項(xiàng)為一組需用平方差公式）（第四課時） 例 7、x3x2y xy2y3（啟發(fā)學(xué)生用多 種方法分解）（第五課時）分組分解法的小結(jié)課補(bǔ)充打散原有組合重新分組例如4a23b a（3b 4），要 想

17、對它分解須先去掉括號得4a23b 3ab 4a，再按前面的例 1 那樣類似地分組。（x22x）（x22x 2） 3（書中這樣的題目還有如 P37B 組的第 3 題、P43的第 6 題）三）十字相乘法形如x2px q形式，若q ab且p a b貝U x2px q= （ x a）（ x b）實(shí)用文檔（第六課時）常數(shù)項(xiàng)為正數(shù) 例 8 把下列各式分解因式:（1）x23x 2（2）x27x 6（第七課時）常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)例 9、把下列各式分解因式：（1）x2x 2（2）x22x 15（3）m2x22mx 15由此總結(jié)x2px q分解因式的規(guī)律即a、b 與常數(shù)項(xiàng) q、次項(xiàng)系數(shù) p 的關(guān)系（盡量由學(xué)生說出）：b

18、 同為正；b 同為負(fù)；b 異號且絕對值較大的數(shù)為正；b 異號且絕對值較大的數(shù)為負(fù)。222255x y 5x y 6x81x y 16xy綜合運(yùn)用前面幾種方法及前幾節(jié)的學(xué)習(xí)總結(jié)步驟如下（P34黑體 字），本人把它總結(jié)成如下“順口溜”：首先要提公因式，然后 考慮用公式；十字相乘試一試，分組分得要合適；四種方法反復(fù) 試，結(jié)果應(yīng)是連乘式。補(bǔ)充說明:1 對形如ax2bx c型的多項(xiàng)式分解因式的方法（十字相a2C2a2C1a1C2b代數(shù)學(xué)習(xí)質(zhì)量監(jiān)測P17第 8 題（這種方法需要大膽嘗試）2 配方法（P37讀一讀應(yīng)給予重視，因在今后的二次函數(shù)中 仍有應(yīng)用）3.拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法1p 0, q 0 時，a、2p v 0, q 0 時，a、3p 0, q v 0 時，a、4p v 0, q v 0 時，a、（第八課時）通過例題乘法應(yīng)給學(xué)生介紹）其原理：則ax2bx c=（a1x通常借助十字交叉線：a 玄丄a?, cGC2且a2C1a1C2cJ(a2X C2)、/a1C1/X實(shí)用文檔（1）拆項(xiàng)法（即把某一項(xiàng)拆成兩個同類項(xiàng)）例如：a47a21 a42a21 9a2然后分組分解（2）添項(xiàng)法（添出兩個系數(shù)互為相反數(shù)的同類項(xiàng)）例如：x3y3x3x2y x2y y34 4 2 2 4 2 2x 4 x 4x 4x 4 (x 4x 4) 4x4待定系數(shù)法5因式分解的應(yīng)用整除性(