31二項式定理

1、江蘇省2014屆一輪復習數(shù)學試題選編26:二項式定理（教師版）填空題1 .二項式（x + y）5的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是 .（用數(shù)字作答）【答案】答案105r r5-r = 22 33 5X4X3解析 Tr+i=Cx- y（r=0,1,2,3,4,5）,由題意知, 含 xy 的系數(shù)為 C3=“” =10.r = 33 x 2X1.（用數(shù)字作答）2.（2£ ；）6的二項展開式中的常數(shù)項為【答案】-160【解析】（2 x-1 ）6的展開式項公式是JxTr 1二C；(2X)6(一 1 )xr =C626(-1)rx3由題意知T4 二 C：23(-1)3 760.-10,則10,解

2、得3 -r =0, r =3 ,所以二項展開式中的常數(shù)項為1 63 .在(X-)的二項展開式中，常數(shù)項等于 .x【答案】解析展開式通項Tr=(-1)rC6x6x=(-1)rC6x6'r,令6-2 r=0,得r=3,故常數(shù)項為- C； = -20 .4 . (2013上海高考數(shù)學 (文)設常數(shù)R .若i x2 a的二項展開式中x項的系數(shù)為I X丿a =.【答案】一2解：Tr 1 =C；(x2)5_u(a)r,2(5-r) r =7= r -1,x故 C；a = -10二 a = -2.5 . 若 C：+3C；+320?+32。：4+. + 3n_1=85,貝U n=【答案】4201322

3、013a1a2a20136 .右(2x1)=a()+®x+a?x +111+a2013X,則 a。+ 2+111+7 =.2 2 2【答 案】0 提示：在(2x -1)2013 = a0 ex a2x2 丨1丨 a2013x2013a20132 2013527 . （a+x）展開式中x的系數(shù)為10,貝U實數(shù)a的值為【答案】解析：（a ' x）5展開式中第k項為T5k = C；a5- kxk,令k = 2 , x2的系數(shù)為C；a3 =r a f8 .設常數(shù)a eR,若x?十一 的二項展開式中x7項的系數(shù)為-10,則玄=I X【答案】 解：Tri = C5 (x )()，2(5=

4、 7 r =1,故 C§a = -10= a - -2.x523459 .右(2x1) =a +a1a2x +a3x +a4x +a5x ,貝y a。+a<,+a2+a3+a4+a5 =.【答案】 11 8 210. (x+)的展開式中x的系數(shù)為.2x【答案】 答案7【命題意圖】本試題主要考查了二項式定理展開式通項公式的運用利用二項式系數(shù)相等，確定了 n的值,然后進一步借助通項公式，得到項的系數(shù).111【解析】根據已知條件可得(X一)8展開式的通項公式為Tr 4 =C；x8(一)r =c8(-)rx2 ,令2x2x223 1 38-2r =2= r = 3 ,故所求x的系數(shù)為C

5、s ( )7 .21111. 若(X )n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為 .xx【答案】答案56【解析】根據已知條件可知 C；二n = 2 6 = 8,所以(x )8的展開式的通項為Tr =C；x8_r,令8-2r = -2二r = 5x 所以所求系數(shù)為Cf = 56.12.如圖所示的數(shù)陣叫“萊布尼茲調和三角形”1數(shù)且兩端的數(shù)均為一(n _ 2),n，他們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個1 1 1 =一1.11 1A 1，則第12 2236,3412111-11136311114124111115-205每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如：n(n _ 3)行

6、第3個數(shù)字是.【答案】答:2n (n -1) (n -2)'(1 e13在2x2+丄 的二項展開式中，常數(shù)項是.IX丿【解】60.由通項公式 Tr 4 =C；26* X2 2 x =C626_rx12r ,令 12 -3r = 0,所以 r = 4.所以常數(shù)項是T5 =：C： 22 =60.14.設二項式（仮丄）5Jx的展開式中常數(shù)項為【答案】-105151.r 解：由 Tr ： =C；x 2 (-x 3)r =(-1)rC；x 2 3由已知得到所以 A =(-1)3c3 =10,所以填-10;15。 若（2x3）5 =比十qx+Ex2 a + aAX4 十耳5,則 + 2a2 + 3

7、a+ 4a4 + 5a5等于【答案】10解答題116. 已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1,a2,a3是（1汕x）m展開式的前三項的系數(shù).1（I）求（-x）m展開式的中間項；（n）當n色2時，試比較 + 與1的大小.an an 卅 an 七an23=1, a?1 m(m-1)m , a3 =2 81 1 1【答案】解：(i)(v2x)m =1 cmx)依題意£1由2a2 =a1 a3可得m =1(舍去),或m =81 135所以（1川一x）m展開式的中間項是第五項為：T5=c8（x）4： x4 ；2 28(n)由(I)知,an =3n -2,當n =2時,1anan 十1 川an 2當n

8、=3時川 1an an 11an 211111 1+ + =+ +%a2a3a44 71_ 111 .1a3a4a5a9110691403J 1 . 1 . 1 . 1 . 1 .7 10 13 16 19 22251013 16+ (丄+丄+丄)192225J 116 16 16X ! 13232132)J3 3 ! 3 118 16 32 8 16 16 3猜測：當n_2時,J：;，1;”anan 1an 22以下用數(shù)學歸納法加以證明n = 3時,結論成立，設當1 1ak ak 1Si；111則n = k 1時，a(k 1) a(k 1) 1a(k 1) 2akak 1)1 1+ a(k

9、1) 1a(k 1) 2a(k -1)2-)(1 1IUak2ak2 1 ak2 21>-31ak2 11+a(k 1)2丄)ak1(2k 1)3 3(k 1)2 -213k - 21 (2k 1)(3k-2)-3(k 1)2-2 13k2-7k-3 _33(k 1)2-23k-2- 3 3(k 1)2 -23k -2由 k 一 3可知，3k2 -7k -3 - 0即 11111a(k 1) a(k 1) 19(k 1) 2a(k 1)23綜合可得，當n 2時, 丄+丄+4屮+丄沁an an* an 七an2317.已知(x + 1)n + q(x1) + a2(x1)2 +丨丨丨+ a

10、.(x1)n(n N*).n求ao及Sn =7 ai ；i 二試比較Sn與(n -2)2n + 2n2的大小,并說明理由.nn【答案】令x=：1,則ao=2n,令X=2,則vai=3n ,所以Sx' a=3n-2ni =0=1要比較Sn與(n-2)2n + 2n2的大小，只要比 較3n與(n - 1)2n + 2n2的大小.當 n =1 時，3n (n -1)2n + 2n2;當 n =2 或 3 時,3n ： (n - 1)2n + 2n2,當 n =4 或 5 時，3n (n -1)2n + 2n2,猜想：當n > 4時，3n (n - 1)2n + 2n2.下面用數(shù)學歸納法

11、證明： 由上述過程可知，當n =4時,結論成立 假設當n -k(k > 4,k，N*)時結論成立，即3k (k -1)2k + 2k2,兩邊同乘以 3,得 3k+1 3(k -1)2k + 2k2=k2k+1 + 2(k + 1)2 +(k 3)2k + 4k24k2,而(k -3)2k + 4k2 _4k -2 =(k -3)2k + 4(k2 -k -2) + 6=(k -3)2k + 4(k -2)(k + 1) + 6 0,所以 3(k +1)-12+ 2(k + 1),即n = k +1時結論也成立.由可知,當n > 4時,3n (n -1)2n + 2n2成立綜上所述,

12、當 n=1時,3n(n -1)2n+ 2n2;當 n =2 或 3 時，3n： (n- 1)2n+ 2n2;18當 n > 4 時,3n (n -1)2n + 2n2已知函數(shù) f(xc0x2nl-C；x2n- c2x2n' (|cn(-1)rx2n川 cn(1)nxn,n N .當n > 2時，求函數(shù)f (x)的極大值和極小值；是否存在等差數(shù)列可,使得aQ0azC； 111 a.©二nf對一切n N都成立？并說明理由【答案】 f (x) =xncnxn c：xnc2xn，cn(1)rx2(1)nc： = xnA(x-1)n,f (x) =(n -1)xn(x -1

13、)nxnA -n(x-1)2=xnN(x_1)n(n 1)(x-1) nx,n 1令 f (x) =0 得為=0,x2,x3 =1,2n -1因為n > 2 ,所以人：:x2 : x3(：,0)0n -1(0, )x2n -1f (x)+0+無f(x)極值所以當X = n T時,y極大(n -1)n1 (-n)n2n 1-;當x =1時,2n 1(2 n -1)當n為偶數(shù)時f (x)的增減性如下表：y極小二0當n為奇數(shù)時f(x)的增減性如下表n -1,n T八(1,;)2n-1(2n -1,l)100+極大值極 小值x(-；0)0(0,n 1、2n -1)n _12n -1n -1(2n

14、-1,1)1(1,：)f (x)+00+0+極極小 值無f (x)大極值值所以x=o時，y極大=0；當n 1x =時,(n -1)'n 1n-(n)y極小一(2n-1)2nJ2n -1假設存在等差數(shù)列 a使a1C0 a2C： a3C2亠亠an1Cn = n -2nJ成立,由組合數(shù)的性質c -cn,把等式變?yōu)?an iCn anC； - anC； eC： = n 2nJ,兩式相加，因為:an / 是等差數(shù)列，所以ai +an半=a2 * an = a3 + an)=川=気屮*ai ,故(ai ani)(C0 C D) C)二 n 2n,所以a1 an勺=n再分別令 n =1，n =2 ,

15、得 ai - a2 =1 且 ai a3 =2 ,進一步可得滿足題設的等差數(shù)列faj的通項公式為an = n-1(nN )19.已知 f (x)二(2-'X)n,其中 n N*.3(1)若展開式中含X項的系數(shù)為14,求n的值；當x=3時,求證：f(x)必可表示成-sis-1® N )的形式.r r 8-r 236 n £【答案】解：(1)因為I-1二C82 x ,所以r=6,故x項的系數(shù)為Cn 2=14,解得n = 7(2)由二項式定理可知，(23)n =Cn02n(73 j +cn2nw'3 j +c22n'(后+c：20(島)"5設(2 + J3)n =x += Jx2 +73?,而若有(2 +T3)n+Vb , a, N*則(2 后)"=需*：b a,bN*( a ,b) ( a - b) =(2,3)n (2n =1.令 a =s,sN*,則必有 b = s 1(2 ： 3)必可表示成s -1的形式,其中s N ”注：用數(shù)學歸納法證明的，證明正確的也給相應的分數(shù)120.已知