【KS5U解析】江蘇省常州市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

1、江蘇省常州市教育學(xué)會20192020學(xué)年上學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)水平監(jiān)測高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共計60分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.如果，那么（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，對四個選項進行判斷，從而得到答案.【詳解】因為，所以，故a錯誤；因為，當(dāng)時，得，故b錯誤；因為，所以，故c錯誤；因為，所以，故d正確.故選：d.【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于簡單題.2.在等差數(shù)列中，已知，則（ ）a. 5b. 6c. 7d. 8【答案】c【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條

2、件，得到的值，求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得所以故選：c.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項中的基本量計算，屬于簡單題.3.經(jīng)過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）a. b. c. 或d. 無法確定【答案】c【解析】【分析】分情況設(shè)出拋物線的方程，代入已知點即可得到具體方程【詳解】由題設(shè)知拋物線開口向右或開口向上，設(shè)其方程為或，將點代入可得或，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.故選.【點睛】這個題目考查了拋物線方程的求法，可稱為待定系數(shù)法，較為基礎(chǔ).4.命題“，”的否定是（ ）a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】a【解析】【分析】根據(jù)命題的否定的要求，寫出原命題的否定，得到答案.【詳

3、解】原命題為命題“，”所以命題的否定為“，”故選：a.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于簡單題.5.橢圓的左、右頂點分別是，左右焦點分別是，若，成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)題意表示出，根據(jù)它們成等比數(shù)列，得到，的關(guān)系式，整理化簡得到答案.【詳解】由題意，因為，成等比數(shù)列，所以，即所以橢圓離心率.故選：b.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率，屬于簡單題.6.在下列函數(shù)中，最小值為2的是（ ）a. （且）b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)基本不等式的使用條件，對四個選項分別進行判斷，得到答案.【詳解

4、】選項a，當(dāng)時，所以最小值為不正確；選項b，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，而，所以等號不成立，所以不正確；選項c， 因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以正確；選項d，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，而，所以不正確.故選：c.【點睛】本題考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用條件，屬于簡單題.7.已知空間向量，則“”是“”的（ ）a. 必要不充分條件b. 充分不必要條件c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】b【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的點積運算得到x的值，進而得到結(jié)果.【詳解】，或-3.故x=1是的充分不必要條件.故答案為b.【點睛】這個題目考查了

5、向量垂直的坐標(biāo)表示，也考查了充分必要條件的判斷，題目基礎(chǔ). 判斷充要條件的方法是：若pq為真命題且qp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；若pq為假命題且qp為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；若pq為真命題且qp為真命題，則命題p是命題q的充要條件；若pq為假命題且qp為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系8.若，且，則下列說法中正確的是（ ）a. 當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值b 當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值c. 當(dāng)且僅當(dāng)為定值時取得最小值d. 當(dāng)且僅當(dāng)為定值且時取得最大值【答案】d【解

6、析】【分析】根據(jù)基本不等式的求積的最大值，以及基本不等式的使用條件，得到答案.【詳解】因為，且，根據(jù)基本不等式使用條件“一正二定三相等”當(dāng)且僅當(dāng)為定值，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.即當(dāng)且僅當(dāng)為定值且時取得最大值故選：d.【點睛】本題考查基本不等式求積的最大值，基本不等式的使用條件，屬于簡單題.9.周髀算經(jīng)中一個問題：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為：（ ）a. 尺b. 尺c. 尺d. 尺【答案】a【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式和前項和公

7、式列方程組，求出首項和公差，由此能求出結(jié)果.【詳解】從冬至起，日影長依次記為，根據(jù)題意，有，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有，而，設(shè)其公差為，則有，解得，所以冬至的日影子長為尺，故選a.【點睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用等差數(shù)列解決實際生活中的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項公式以及前項和的有關(guān)量的計算，屬于簡單題目.10.已知離心率為的雙曲線：的右焦點為，為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于、兩點若的面積為2，則實數(shù)的值為（ ）a. 2b. c. 4d. 8【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意，根據(jù)離心率為，求出雙曲線的漸近線，然后得到為等腰直角三角形，根據(jù)其面積為，得到的值，再得到的值.【

8、詳解】因為雙曲線的離心率為，所以，所以得到，所以所以雙曲線：的漸近線為取，傾斜角為，為直徑，所以，所以為等腰直角三角形所以，解得所以.故選：a.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線的離心率求漸近線方程，雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于簡單題.11.如圖，在三棱錐中，平面，點、分別為，的中點，點在線段上若，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點的坐標(biāo)，然后得到和的坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公式，得到異面直線與所成角的余弦值.【詳解】因，平面，所以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，點、分別為，的中點所以，因為，所以所以，所以異

9、面直線與所成角的余弦值為故選：b.【點睛】本題考查利用空間向量求異面直線所成的角，屬于中檔題.12.已知為橢圓：的右焦點，點，為橢圓上三點，當(dāng)時，稱為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有（ ）a. 0個b. 1個c. 3個d. 無數(shù)個【答案】d【解析】【分析】根據(jù)得到為的重心，設(shè)，則得到邊中點的坐標(biāo)，要求在橢圓內(nèi)，且為弦中點，即存在滿足要求的“和諧三角形”，從而得到答案.【詳解】因為為橢圓：的右焦點，所以因為，所以為的重心，設(shè)邊的中點為，則所以，所以設(shè)，所以將，代入橢圓方程得兩式相減，得到整理得到所以方程為當(dāng)在橢圓內(nèi)時，得，而所以得到所以當(dāng)時，直線與橢圓：一定有兩個交點和，滿足為的重心，即滿足，

10、使得為“和諧三角形”，因此滿足要求的情況有無數(shù)種，所以“和諧三角形”有無數(shù)個.故選：d.【點睛】本題考查三角形重心的性質(zhì)，點差法求弦中點所在的直線，點與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.二、填空題（本大題共4小題， 每小題5分，共計20分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】首先將所給的不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式，然后再轉(zhuǎn)化為二次不等式求解其解集即可.【詳解】題中所給的不等式即：，該不等式等價于：，求解二次不等式可得：，則不等式的解集為.故答案為【點睛】本題主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法 ，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計

11、算求解能力.14.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)，利用基本不等式得到的范圍，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，得到的最小值.【詳解】因為正數(shù)，滿足，根據(jù)基本不等式得所以，設(shè)則在上單調(diào)遞減所以最小值為.故答案為：【點睛】本題考查基本不等式求積的最大值，對勾函數(shù)的性質(zhì)，屬于簡單題.15.若數(shù)列的通項公式為，數(shù)列滿足 ，則數(shù)列的前10項和為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)的通項，得到的通項，利用分組求和和裂項相消法，求出的前10項和.【詳解】因為，所以所以的前10項和.故答案為：【點睛】本題考查求數(shù)列的通項，分組求和法和裂項相消求和，屬于簡單題.16.點為橢圓上一點，、分別是

12、圓和上的動點，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程，得到焦點，所以到兩圓的圓心距離之和為，從而得到，最小值為，最大值為.【詳解】橢圓，焦點，而圓和的圓心為，所以到兩圓圓心的距離之和為，而、分別是圓和上的動點所以.所以取值范圍是.故答案：.【點睛】本題考查橢圓的定義，點到圓的距離的范圍，屬于簡單題.三、解答題（本大題共6小題，共計70分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知：，：，其中（1）求使得為真命題的實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)為真命題，解不等式，得到的取值

13、范圍；（2）根據(jù)是的充分不必要條件，得到關(guān)于的不等式組，解得的取值范圍.【詳解】解：（1）因為為真命題，所以，解得：.（2）由（1）得：，：解得：所以：，因為是的充分不必要條件，所以且等號不能同時成立.解得：，所以實數(shù)的取值范圍.【點睛】本題考查根據(jù)命題的真假求變量的范圍，根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)的范圍，屬于簡單題.18.已知數(shù)列的前項和為，且是與2的等差中項數(shù)列中，點在直線上（1）求和的值；（2）求數(shù)列，的通項公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）， （2）， （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，分別令，得到，；（2）當(dāng)時，再驗證時，得到的通項，根據(jù)點在直線上，得，得到為等差數(shù)列

14、，從而得到其通項；（3）根據(jù)，得到的通項，然后利用錯位相減法，得到前項和.【詳解】解：（1）由當(dāng)時，得，即，解得；當(dāng)時，得，即，解得.（2）由得；（）將兩式相減得，即，所以，因為，所以，所以，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.數(shù)列中，點在直線上，得，所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以.（3），所以上式減下式得所以.【點睛】本題考查由和的關(guān)系求數(shù)列通項，等差數(shù)列基本量計算，錯位相減法求和，屬于中檔題.19.如圖，兩鐵路線垂直相交于站，若已知千米，甲火車從站出發(fā)，沿方向以千米小時的速度行駛，同時乙火車從站出發(fā)，沿方向，以千米小時的速度行駛，至站即停止前行（甲車扔繼續(xù)行駛）（兩

15、車的車長忽略不計）.（1）求甲、乙兩車最近距離（用含的式子表示）；（2）若甲、乙兩車開始行駛到甲，乙兩車相距最近時所用時間為小時，問為何值時最大？【答案】（1）；（2）時，最大.【解析】【分析】（1）先設(shè)行駛小時后，甲乙兩車的距離最近，記此時甲車行駛到點，乙車行駛到點，根據(jù)題意，得到，由勾股定理，表示出，再由配方法，即可得出結(jié)果；（2）先由（1）得，根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)行駛小時后，甲乙兩車的距離最近，記此時甲車行駛到點，乙車行駛到點，則，則，因為，所以當(dāng)時，取到最小值，即取到最小值，此時海里；所以甲、乙兩車的最近距離為；（2）由（1）知，當(dāng)甲、乙兩車開始行駛到甲，乙兩

16、車相距最近時所用時間為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，最大.【點睛】本題主要考查函數(shù)模型的應(yīng)用，以及由基本不等式求最值，熟記二次函數(shù)性質(zhì)，以及基本不等式即可，屬于?？碱}型.20.如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，（1）求二面角的正弦值；（2）點是線段的中點，點為線段上點，若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)，求出平面的法向量，平面的法向量，根據(jù)公式得到兩個法向量之間的夾角余弦，再求出二面角的正弦值；（2）設(shè)，得到，根據(jù)公式，表示出與之間的夾角余弦，即直線和平面所成角的正弦值，從而得到關(guān)于的方程，求出的值，得到線段的長.【詳解】

17、（1）證明：如圖，以為坐標(biāo)原點，以、所在直線分別為、軸建系，則，又因為分別為的中點，所以.，設(shè)是平面的法向量，由，得，取，得，設(shè)是平面的法向量，由，得，取，得.，設(shè)二面角的平面角為，所以，所以二面角的正弦值為.（2）由題意可設(shè)，其中，又因為是平面的一個法向量，所以，設(shè)直線和平面所成角為，整理，得，所以，解得或（舍）.所以線段的長為.【點睛】本題考查利用空間向量求二面角，根據(jù)直線與平面所成的角求線段長，屬于中檔題.21.已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，焦距為6.（1）求橢圓的方程.（2）過橢圓左頂點的兩條斜率之積為的直線分別與橢圓交于點.試問直線是否過某定點？若過，求出該點的坐標(biāo)；若不過，

18、請說明理由.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到解得，再由a,b,c的關(guān)系得到結(jié)果；（2）設(shè)出直線am，聯(lián)立直線和橢圓，表示出點m的坐標(biāo)，設(shè)直線的斜率為，則，即，把點坐標(biāo)中的替換為，得到點n的坐標(biāo)，利用兩點坐標(biāo)表示出直線mn即可得到直線過定點.【詳解】（1）由題意知解得.又，橢圓方程為.（2）設(shè)左頂點，根據(jù)已知得直線的斜率存在且不為零，設(shè)，代入橢圓方程，得，設(shè)，則，即，即.設(shè)直線的斜率為，則，即，把點坐標(biāo)中的替換為，得.當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)不相等，即時，直線的方程為，即，該直線恒過定點.當(dāng)時，、的橫坐標(biāo)為零，直線也過定點.綜上可知，直線過定點.【點睛】圓錐曲線中的定點、定值問題是考查的重點，一般難度較大，計算較復(fù)雜，考查較強的分析能力和計算能力.求定值問題常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時，要將問題合理的進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成易于計算的方向.22.已知數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，且（1）求，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，若 對任意的正整數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）， （2