二次函數(shù)綜合復(fù)習(xí)講義

1、二次函數(shù)的復(fù)習(xí)講義資料知識點(diǎn)1.二次函數(shù)的定義1、一般地，如果y=ax2+bx+c (a, b, c是常數(shù)且a*0),那么y叫做x的二次函數(shù)，它是關(guān)于自變 量的 次式，二次項(xiàng)系數(shù)必須是非零實(shí)數(shù)時才是二次函數(shù)，這也是判斷函數(shù)是不是二次函數(shù)的重要依據(jù).2、當(dāng)b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù).練習(xí)(1)下列函數(shù)中，二次函數(shù)的是()A. y=ax2+bx+c B。y (x 2)(x 2) (x 1)2 C。y x2 - D。y=x(x 1) x 2練習(xí)(2)如果函數(shù)y (m 3)xm 3m 2 mx 1是二次函數(shù)，那么m的值為知識點(diǎn)2.二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)1、已知一個二次函數(shù)，確定它

2、的圖象名稱、開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減范圍、極值。 已知條件中含二次函數(shù)開口方向或?qū)ΨQ軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減范圍、極值，求解析中待定系數(shù)的 取值。(1)、二次函數(shù)y ax2 bx c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.(2)、二次函數(shù)y ax2 bx c ,當(dāng)a 0時 拋物線開口向上 頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)a 0時拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)(3)、對于y=ax2+bx+c而言，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,).對于y=a (x-h) 2+k而言其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)。二次函數(shù)y ax2 bx c用配方法或公式法(求h時可用代入法)可化成:y a(x h)2 k的形式，其中h=R 練習(xí)(3)拋物線y 2

3、x2 8x 1的圖象的開口方向是 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)是_.練習(xí)(4)若拋物線y (m 1)x2 2mx 3m 2的最低點(diǎn)在x軸上，則m的值為(4)、二次函數(shù)y ax2 bx c的對稱軸為直線x=- 運(yùn)用拋物線的對稱性求對稱軸，由于2a拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形， 所以對稱點(diǎn)的連線段的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).若拋物線上有兩點(diǎn)A (m,n)、B(p,n)的縱坐標(biāo)相等，則它的對稱軸為直線m p x=-2練習(xí)(5)已知A、B是拋物線y x2 4x 3上位置不同的兩點(diǎn)，且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可能是:(寫出一對即可)(5)增減性：二次函數(shù)y ax2 bx

4、c的增減性分對稱軸左右兩側(cè)描述(數(shù)形結(jié)合理解它的增減性)若a 0,當(dāng)x 時(在對稱軸 側(cè))，y隨x的增大而增大，當(dāng)x 時(在對稱軸側(cè)）力隨乂的增大而減小，若a 0,當(dāng)x 時（在對稱軸 側(cè)），y隨乂的增大而增大，當(dāng)x 時（在對稱軸 側(cè)），y隨x的增大而減小，練習(xí)（6）已知拋物線y ax2 bx c （ a >0）的對稱軸為直線x 1,且經(jīng)過點(diǎn) 1, y1，2, y2試比較y和y2的大?。簓i y （填“ >”，“ <”或"=）練習(xí)（7）二次函數(shù)y 4x2 mx 5,當(dāng)x 2時，y隨x的增大而減?。划?dāng)x 2時，y隨x的 增大而增大。則當(dāng) x 2時，y的值是。（6）最大（

5、小）值：若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在自變量的取值范圍內(nèi)當(dāng) a>0時，函數(shù)有最 值，并且當(dāng) x=時，y 最 值=當(dāng) a<0時，函數(shù)有最 值，并且當(dāng) x=時，y 最 值=若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)，只考慮在端點(diǎn)處是否取得最值。練習(xí)（8）二次函數(shù)y=n2x2-4x+1有最小值-3,則m等于（）1A.1 B.-1 C. ±1 D. ± 12練習(xí)（9）已知二次函數(shù)的圖象（0皮03如圖所示.關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（）A.有最小值0,有最大值3B.有最小值-1,有最大值0C.有最小值-1,有最大值3 D.有最小值-1,無最大值練習(xí)（10）填表:特函性數(shù)開

6、口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)最值增減性y 2(x 3)2 +42 2c.y x 2x 13練習(xí)（11）若二次函數(shù)y （x m）2 1 .當(dāng)x & l時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（A. m=l B. m>lC. m >l D. m <l練習(xí)（12）、若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x與y的部分對應(yīng)值如下表:X-7-6-5-4-3-2y-27-13-3353則當(dāng)x=1時，y的值為 （可用多種解法）2、畫二次函數(shù)的圖象：首先將一般式化為頂點(diǎn)式畫對稱軸確定頂點(diǎn)確定與y軸交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)確定與x軸的交點(diǎn)或另選一組較簡的對稱點(diǎn)連線練習(xí)(13)已知二次函數(shù)y 1x2 2x

7、勺.畫出它的圖象223、拋物線的平移、對稱、旋轉(zhuǎn)：首先化二次函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式，抓住關(guān)鍵點(diǎn)頂點(diǎn)的變化，頂 點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù) a相同，那么拋物線的形狀大小完 全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.反之，若幾條拋物線的形狀大小相同，則二次項(xiàng)系數(shù) a的絕對值相同。拋物線的平移、對稱、旋轉(zhuǎn)過程中，a的值不變。由上第>oi,下何令I(lǐng)M力單信面上仇 > 價,下我, 的平粗心!個單a作酣令口7即字八S -TI潤一,aKfi>vfi*M 券 Ae4±|-子卻 ,y=拋物線y=ax2+bx+C向上平移n (n>0)個單位后的解析式拋物線y=ax2+

8、bx+C向左平移n (n>0)個單位后的解析式y(tǒng)= 拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于X軸對稱的拋物線解析式是 (方法是將原解析式中的 不變，把 轉(zhuǎn)換為,再整理) 拋物線y=ax2+bx+c關(guān)于Y軸對稱的拋物線解析式是 (方法是將原解析式中的 不變，把 轉(zhuǎn)換為,再整理)練習(xí)(14)將拋物線y 3x2繞原點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，再分別向下、向右平移1個單位,此時該拋物線的解析式為()2222A. y 3(x 1)1 B. y 3(x 1)1 C. y 3(x 1)1 D. y 3(x 1)1 二次函數(shù)y x2 bx c的圖像向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)圖像的解

9、析式為y x2 2x 1 ,則b與c分別等于()A 6、4 B 、一 8、14 C、4、6 D、一 8、一 144、拋物線y=ax2+bx+c的位置與參數(shù)a、b、c及相關(guān)特殊代數(shù)式的符號的關(guān)系:a的符號判別一開口向上 a _0 ;開口向下 a 0 ;c的符號判別-由拋物線的與Y軸的交點(diǎn)來確定：若交點(diǎn)在y軸的正半軸c 0 ;若交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸c 0 ;若交點(diǎn)在原點(diǎn)c 0 ;b的符號由對稱軸來確定：（左同右異）對稱軸在Y軸的左側(cè)a、b同號；對稱軸在Y軸的右側(cè)a、b異號。a+b+c的符號由x=1時的點(diǎn)的位置決定；ab+c的符號由x= 1時的點(diǎn)的位置決定點(diǎn)(1, a+b+c)在 x 軸上方 a+b+

10、c 0 點(diǎn)(1, a+b+c)在 x 軸下方 a+b+c 0點(diǎn)(-1, a-b+c)在 x 軸上方 a-b+c 0 點(diǎn)(-1, a-b+c)在 x 軸下方 a-b+c 0 b+2a的符號由對稱軸與1的大小關(guān)系確定；b 2a或2a-b的符號由對稱軸與-1的大小關(guān)系確定的符號由拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)確定2個交點(diǎn) > 0拋物線與x軸有1個交點(diǎn)4=00個交點(diǎn)八<0練習(xí)（16）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，下列結(jié)論:a+b+c< 0a-b+c >0abc >0b=2a其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A 1 B 2 C 3 D 4知識點(diǎn)3:確定二次函數(shù)的解析式1、二次函數(shù)解析式常用的

11、有三種形式：（1）當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)（題設(shè)中直接或間接給出）時，通常設(shè)一般式y(tǒng) = ax2+bx+c形式。（2）當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時，通常設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x h）2+k形式。 當(dāng)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時，通常設(shè)為兩根式y(tǒng) = a（xx1）（x x2）練習(xí)（17）有一個運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入值為x時，其輸出值為y,且y是x的二次函數(shù)，已知輸入值為2,0, 1時，相應(yīng)的輸出值分別為5, 3, 4 .此二次函數(shù)的解析式是 練習(xí)（18）拋物線與x軸一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一2,頂點(diǎn)為（2,8）,它的關(guān)系式為練習(xí)（19）直線y 3x 3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過A B兩點(diǎn)的拋物

12、線交x軸于另一點(diǎn)C（3,0）.拋物線的解析式為練習(xí)（20）已知拋物線y x2 bx c經(jīng)過點(diǎn)（0, 3）,請你確定一個b的值，使該拋物線與x軸的一個交點(diǎn)在（1, 0）和（3, 0）之間你所確定的b的值是.練習(xí)（21）拋物線y ax2 bx c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x ,縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表:x-21012y04664你能得到拋物線的哪些特征？(至少寫出四條)解析式是什么?知識點(diǎn)4:二次函數(shù)與一元二次方程1、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a w0)值等于m的自變量x的值就是一元二次方程 ax2+bx+c=m(即 ax2+bx+c-m=0)的解。反過來，解方程ax2

13、+bx+c=0(a w0)看作已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c值為0時求 自變量x的值.(2)二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程ax2 bx c 0的根.練習(xí)(24)已知二次函數(shù)yx2 2x m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于次方程 x2 2x m 0的解為x的二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a w0)一元二次方程 ax2+bx+c=0(a w0)關(guān)系.一X一次方程ax2+bx+c=0根的情況二次函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)情況b2-4ac>0后兩個不相等的根有兩個不同的父點(diǎn)b2-4ac=0后兩相等的根只有怕的一個交點(diǎn)b2-4ac<0無實(shí)數(shù)根無

14、交點(diǎn)練習(xí)（25）已知函數(shù)y ax2 bx c的圖象如圖所示，那么關(guān)于方程ax2 bx c 2 0的根的情況是（）A.無實(shí)數(shù)根B.有兩個相等實(shí)數(shù)根C.有兩個異號實(shí)數(shù)根D.有兩個同號不等實(shí)數(shù)根練習(xí)（26）已知二次函數(shù)y=x2+x+m,當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時，都有y>0,則m的取值范圍是（）.1A.mi> 一;4B.m> -;4C.m< 1; D.m< - 44練習(xí)（26）已知關(guān)于x的函數(shù)y= （ m- 1） x2 + 2x+m圖像與坐標(biāo)軸有且只有2個交點(diǎn)，則練習(xí)（26）已知拋物線y 2x2mx 2m的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)為（x1,0）,侔,0）,且x-2 x225,m=練習(xí)

15、（27）已知拋物線y= x2+mx 2.（1）若拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且 A氏 凡 試求m的值;（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn) M N,并且 MNC勺面 積等于27,試求m的值.練習(xí)（28）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=1,它與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A、 C的坐標(biāo)分別是（-1 , 0） （0, 1.5）（1）求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式。（2）若點(diǎn)P是此拋物線上位于x軸上方的一個動點(diǎn)，求三角形 ABP面積的最大值。（3）問：此拋物線位于x軸的下方是否存在一點(diǎn)Q,使4ABQ的面積與 ABP的面積相等? 如果有，求出該點(diǎn)坐標(biāo)，如

16、果沒有請說明理由。知識點(diǎn)5:二次函數(shù)的應(yīng)用:1、解決實(shí)際問題時的基本思路：（1）分析理解問題；（2）分析問題中的變量和常量； 設(shè)誰為自變量x,誰為函數(shù)y,找到變量間的相等關(guān)系，用函數(shù)表達(dá)式表示出 y與x之間的關(guān) 系；利用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解；（5）檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，對問題加以拓展等2、二次函數(shù)常用來解決最優(yōu)化問題，這類問題實(shí)際上就是求函數(shù)的最大 （小）值，運(yùn)用二次函數(shù)的 性質(zhì)求實(shí)際問題的最大為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2） ?問題的求解依靠方配法或最值公式， 而不是解方程。值或最小值的一般步驟 ：（1）列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量

17、的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或通過配方求出二次函數(shù)的最大值或最小值。（3 ）檢查求得的最大值或最小值對應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi)。練習(xí)（29）某賓館客房部有60個房間供游客居住，當(dāng)每個房間的定價為每天 200元時，房間可以 住滿.當(dāng)每個房間每天的定價每增加 10元時，就會有一個房間空閑.對有游客入住的房間，賓館 需對每個房間每天支出20元的各種費(fèi)用.設(shè)每個房間每天的定價增加 x元.求：（1）房間每天的入住量y （間）關(guān)于x （元）的函數(shù)關(guān)系式.（2）該賓館每天的房間收費(fèi)p （元）關(guān)于x （元）的函數(shù)關(guān)系式.（3）該賓館客房部每天的利潤 w （元）關(guān)于x （元）的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)每個房間的定價為每天多 少元時，w有最大值？最大值是多少?3、利用二次函數(shù)的關(guān)系式求解實(shí)際問題的一般步驟：（1） .建立適當(dāng)?shù)闹苯窍担⒁阎獥l件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)（2） .合理設(shè)出所求的函數(shù)的表達(dá)式，并代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式，（3）.利用關(guān)系式，解決 相關(guān)問題拋物線y x2 2x 3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A C兩點(diǎn)，其中圖g1 C（20