專(zhuān)題1.2勾股定理章末重難點(diǎn)題型(舉一反三)(人教版)(原卷版)

1、專(zhuān)題1.2勾股定理章末重難點(diǎn)題型【人教版】4考點(diǎn)6利用勾股定理作圖考點(diǎn)7勾股定理的證明考點(diǎn)8勾股定理逆定理的應(yīng)用考點(diǎn)9旬股定理的實(shí)阮應(yīng)用考點(diǎn)10利用勾股定理解折疊問(wèn)題考點(diǎn)1利用勾股定理求面積考點(diǎn)2判斷直角三龜形考慮3利用勾股定理術(shù)最短跑徑考點(diǎn)4勾股數(shù)相關(guān)問(wèn)題考點(diǎn)5利用勾般是理求長(zhǎng)度鼠典附分沂】【考點(diǎn)1利用勾股定理求面積】【方法點(diǎn)撥】 解決此類(lèi)問(wèn)題要善于將面積中的平方式子與勾股定理中的平方式子建立聯(lián)系【例1】（2019春?鄂城區(qū)期中）在 Rt AED中， E 90 , AE 3, ED 4,以AD為邊在 AED的外側(cè)作正方形ABCD ,則正方形ABCD的面積是（）A. 5B. 25C. 7D.

2、10【變式1-1 （2019春?賓陽(yáng)縣期中）如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形E的邊長(zhǎng)為10,則四個(gè)正方形 A , B, C , D的面積之和為（）A. 24B. 56C. 121D. 100【變式1-2（2019春?武昌區(qū)校級(jí)期中）如圖，Rt ABC中， ACB 90 ,以AC、BC為直徑作半圓 S和S2 ,且S & 2 ,則AB的長(zhǎng)為（）C. 4D. 2【變式1-3（2019春？蘭山區(qū)期中）如圖，其中所有三角形都是直角三角形,所有四邊形都是正方形.S2, S3, S4和S分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且A. 25B. 31C. 32D. 40【考點(diǎn)

3、2判斷直角三角形】【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形【例2】（2019春?蕪湖期中）在以線段a, b, c的長(zhǎng)三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是A. a 4, b 5, c 6C. a J2 , b 屈，c v5【變式2-1 (2018春?淮南期中)a、b、B. a :b: c 5:12:13D. a 4 , b 5, c 3c為 ABC三邊，不是直角三角形的是 ()A. A: B: C 3:4:5-22,2C. a c b_53B. a , b 1 , c 44D. a 8k, b 17k, c 15k【變式2-2 （2018秋?金牛區(qū)校級(jí)期中

4、）下列說(shuō)法中，正確的有（）如果 A B C 0,那么 ABC是直角三角形;如果 A: B: C 5:12:13 ,則 ABC是直角三角形；如果三角形三邊之比為 "：而：肝7 ,則 ABC為直角三角形;如果三角形三邊長(zhǎng)分別是 n2 4、4n、n2 4（n 2）,則ABC是直角三角形;B, 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【變式2-3（2019春?壽光市期中）如圖：在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的方格稿紙上，有 A、B、C、D、E、F、七個(gè)點(diǎn)，則在下列任選三個(gè)點(diǎn)的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是A.點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C【考點(diǎn)3利用勾股定理求最短路徑】 【方法點(diǎn)撥】 解決此類(lèi)問(wèn)題需先將立體圖形進(jìn)行展開(kāi)，在平

5、面上利用兩點(diǎn)之間線段最短作圖，利用勾股 定理即可求解.【例3】（2018秋?福田區(qū)校級(jí)期中）如圖，一圓柱高BC為20cm,底面周長(zhǎng)是10cm, 一只螞蟻從點(diǎn) A爬到點(diǎn)P處吃食，且3PC -BC ,則最短路線長(zhǎng)為（）5A. 20cmB. 13cmC. 14cmD. 18cm【變式3-1（2018秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，三級(jí)臺(tái)階，每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為8dm、3dm、2dm. A和B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（）A. 15 dmB. 17 dmC. 20 dmD. 25 dm1cm和3cm ,高為6cm.如果

6、用一根細(xì)線【變式3-2 （2018春?涼州區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B,那么所用細(xì)線最短需要（）A. 12cmB. 11cmC. 10cm【變式3-3（2019秋?松滋市期末）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋）高6厘米，底面周長(zhǎng)16厘米,在杯口內(nèi)壁離杯口 1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁,A的相對(duì)方向有一小蟲(chóng)P ,小蟲(chóng)離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲(chóng)爬到蜜糖 A處的最短距離是（A. “73厘米B. 10厘米C. 84萬(wàn)厘米D. 8厘米【考點(diǎn)4勾股數(shù)相關(guān)問(wèn)題】【方法點(diǎn)撥】勾股數(shù)的求法:如果a為1個(gè)大于1的奇數(shù),b, c是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且有

7、a2=b+c,則a,b,c為一組勾股數(shù);(2)如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na, nb, nc也是一組勾股數(shù)，其中 n為自然數(shù).【例4（2018秋？新密市校級(jí)期中）卜列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有組.（填寫(xiě)數(shù)量即可）6, 8, 10 1.5, 2,2.5(3) 32, 42 , 52 (4) 7, 24, 25【變式4-1 （2019春？閩侯縣期中）勾股定理 a2 b2 c2本身就是一個(gè)關(guān)于a ,b, c的方程，顯然這個(gè)方程有無(wú)數(shù)解，滿足該方程的正整數(shù)（a, b, c）通常叫做勾股數(shù).如果三角形最長(zhǎng)邊2c 2n 2n 1 ,其中一短邊a 2n 1 ,另一短邊為b ,如果a , b , c是勾股數(shù)，

8、則b（用含n的代數(shù)式表示，其中n為正18整數(shù)）【變式4-2 （2018春?襄城區(qū)期中）觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律:4, 3, 5;6, 8, 10;8, 15, 17; 10, 24, 26請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出第 組勾股數(shù):【變式4-3 （2019春?永城市期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律:52 12 ，32 1觀察下列各組數(shù)：(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (9, 40, 41)可發(fā)現(xiàn)，4 ,122721 上 r人工。24 7-1請(qǐng)寫(xiě)出第5個(gè)數(shù)組:【考點(diǎn)5利用勾股定理求長(zhǎng)度】BC 4 cm,求AD, CD的長(zhǎng).【變式5-1 （2018秋?濱湖區(qū)期中）在等

9、腰（1）若 A 48 ,求 CBD的度數(shù)；（2）若 BC 15, BD 12,求 AB 的長(zhǎng).ABC 中，已知 AB AC , BD AC 于 D .【變式5-2（2018春?興義市期中）如圖，在 ABD中,D 90 , C是BD上一點(diǎn)，已知BC 9【變式5-3 （2018秋？東明縣期中）如圖，在 Rt ABC中,ABC 90 , AB 16cm,正方形BCEF的面【例5】（2018春?港南區(qū)期中）如圖，在 ABC中， ACB 90 , CD AB于點(diǎn)D , AC 3cm,積為144cm2 , BD AC于點(diǎn)D ,求BD的長(zhǎng).【考點(diǎn)6利用勾股定理作圖】【例6】（2018秋?越城區(qū)期中）在如圖所

10、示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位.（1）請(qǐng)你在圖1中畫(huà)一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，面積為 6個(gè)平方單位的等腰三角形；【變式6-1 （2018春?安慶期中）在下面的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫(huà)出一個(gè)周長(zhǎng)為2展 2/0的ABC ,并求它的面積.【變式6-2 （2018春?石家莊期中）正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，（1）在圖中，畫(huà)一個(gè)面積為10的正方形；(2)在圖、圖中，分別畫(huà)兩個(gè)不全等的直角三角形，使它們的三邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù).【變式6-3 (2018秋?高新區(qū)期中)如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,

11、每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別按下列要求回三角形:(1)在圖中，畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù);(2)在圖中，畫(huà)一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為3, 21/2 , J5的三角形，一共可畫(huà)這樣的三角形個(gè).【考點(diǎn)7勾股定理的證明】【方法點(diǎn)撥】勾股定理又稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理，通常利用面積來(lái)證明【例7】(2019春?洛陽(yáng)期中)下列兩圖均由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，且它們的兩條直角邊分別為a, b,斜邊為c, a b.請(qǐng)選擇一個(gè)你喜歡的圖形，利用等面積法驗(yàn)證勾股定理.你選擇的是 圖，寫(xiě)出你的驗(yàn)證過(guò)程.【變式7-1 (2018秋?興化市期中)我們剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理是一個(gè)基本的平面幾何定理，也是數(shù)學(xué)中最

12、重要的定理之一.勾股定理其實(shí)有很多種證明方法.下圖是1876年美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德(Garfield)證明勾股定理所用的圖形：以 a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示梯形形狀，使 C、B、D三點(diǎn)在一條直線上.(1)求證： ABE 90 ;(2)請(qǐng)你利用這個(gè)圖形證明勾股定理(即證明：a2 b2 c2).C q B 力?！咀兪?-2 (2018秋？東臺(tái)市期中)如圖，將Rt ABC繞其銳角頂點(diǎn) A旋車(chē)9 90得到Rt ADE ,連接BE ,延長(zhǎng)DE、BC相交于點(diǎn)F,則有 BFE 90 ,且四邊形 ACFD是一個(gè)正方形.(1)判斷 ABE的形狀，并證明你的結(jié)論；

13、(2)用含b代數(shù)式表示四邊形 ABFE的面積；(3)求證：a2 b2 c2.【變式7-3 （2019春?東光縣期中）ADE和ACB是兩直角邊為a, b ,斜邊為c的全等的直角三角形,按如圖所示擺放，其中DAB 90 ,求證：a2 b2 c2 .Cg【考點(diǎn)8勾股定理逆定理的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形例8 （2018春?賓陽(yáng)縣期中）如圖，已知在四邊形ABCD中，AB 20cm, BC 15cm, CD 7cm ,AD 24cm , ABC 90 .(1)連結(jié)AC ,求AC的長(zhǎng);(2)求 ADC的度數(shù)；【變式8-1 （2019春?長(zhǎng)白縣期中）

14、如圖，在四邊形 ABCD中，已知 AB 12, BC 9, ABC 90 ,且CD 39 , DA 36 .求四邊形 ABCD的面積.【變式8-2（2018春?豐臺(tái)區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中,ABC 90 , AB 3, BC 4 , DC 12 ,AD 13,求四邊形 ABCD的面積.【變式8-3 （2019春?鄂城區(qū)期中）如圖，四邊形 ABCD中，AB BC CD AD 4,1DAB B C D 90 , E、F分別是BC和CD邊上的點(diǎn)，且CE - BC , F為CD的中點(diǎn)，問(wèn) AEF 4是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)9勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形，利

15、用勾股定理求解即可【例9】（2019春?東湖區(qū)校級(jí)期末）數(shù)學(xué)綜合實(shí)驗(yàn)課上，同學(xué)們?cè)跍y(cè)量學(xué)校旗桿的高度時(shí)發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當(dāng)把繩子的下端拉開(kāi) 8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學(xué)們準(zhǔn)確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計(jì)算出來(lái)的嗎？【變式9-1 （2019春？?jī)?nèi)黃縣期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子BC的長(zhǎng)為17米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動(dòng)到點(diǎn) D的位置，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了多少米?（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）【變式9-2（2019春?道里區(qū)期末）某地區(qū)為了開(kāi)發(fā)農(nóng)業(yè)，決定在公路上相距 25km的A、B兩站之

16、間E點(diǎn)修建一個(gè)土特產(chǎn)加工基地，使E點(diǎn)到C、D兩村的距離相等，如圖， DA AB于點(diǎn)A, CB AB于點(diǎn)B,E應(yīng)建在距離 A站多少km的地方?DA 15km , CB 10km ,求土特產(chǎn)加工基地【變式9-3 （2019春?商南縣期末）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用.請(qǐng)你嘗試應(yīng)用勾股定理解決下列問(wèn)題：一架2.6m長(zhǎng)的才子AB斜靠在一豎直的墻 AO上，這時(shí)AO為3.15 1.77)2.4m,如果梯子的頂端 A沿墻下滑0.5m ,那么梯子底端 B向外移了多少米？（注意:【考點(diǎn)10利用勾股定理解折疊問(wèn)題】【例10】（2019春?番禺區(qū)期末）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC 6cm, BC 8cm,將紙片沿AD折疊，直角邊 AC恰好落在斜邊上，且與 AE重合，求 BDE的面積.【變式10-1】 （2018秋?建鄴區(qū)期末）如圖，把長(zhǎng)為 12cm的紙條ABCD沿EF , GH同時(shí)折疊，B、C兩 點(diǎn)恰