高中數(shù)學平面向量測試題

1、平面向量板塊測試第I卷(選擇題共60分)、選擇題(123 5'= 60')1.下列五個命題：| a|2 = a2 ; a b - b :(a b)2 =a2 b2 ;(a b)2 = a2 2a b b2 ; a2 a若 a2 b=0,則 a =0 或 b=0.其中正確命題的序號是()A.B.C.D.2.若 ab =3e, cd =-5e 且 | ad |=| bc，則四邊形ABCD 是A.平行四邊形B.菱形C.等腰梯形3.將函數(shù)y=sinx按向量a = (1,-1)平移后，所得函數(shù)的解析式是A.y' =sin(x' -1)-1B.y' =sin(x&#

2、39; +1)-1C.y' =sin(x' +1)+1D.y' =sin(x' -1)+1)D.非等腰梯形()4.若有點M,(4, 3)和M2(2, -1),點M分有向線段M ! M 2的比入=-2,則點M的坐標57A.(0, -)B.(6, 7)C.(-2, -)D.(0, -5)335.若| a+b|=| a- b|，則向量a與b的關(guān)系是 ()A.a=0 或 b=0B.| a|=| b|C.ab=0D.以上都不對6.若| a|=1 , | b|=2 , | a+b|= 7，貝U a與b的夾角0的余弦值為()1A.-211B.-C.-D.以上都不對237.已知

3、 a=3 e! -4 e 2, b=(1-n) e 1+3n e 2,若 a / b 則 n 的值為 ()4 4A.B.C.4D.25 58.平面上三個非零向量a、b、c兩兩夾角相等，| a|=1 , | b|=3,| c|=7,則| a+b+c|等于( )A.11B.2 .7C.4D.11 或 2 7( )D.-29.等邊 ABC中,邊長為2,則AB 2 BC的值為A.4B.-4C.210.已知 ABC中，a4 -b4 -c4 =2c2(a2 b2)，則/ C等于A.30 °B.60°C.45° 或 135 °D.120°11. 將函數(shù)y=f

4、 (x)cosx的圖象按向量a=( ,1)平移，得到函數(shù)y=2sin2x的圖象，那么函 4數(shù)f (x)可以是 ()A.cosxB.2cosxC.sinxD.2si nx12. 平面直角坐標系中，0為坐標原點，已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足OC =a OA +3 0B，其中a、B R,且a + 3 =1,則點C的軌跡方程為()A.3x+2y-11=0C.2x-y=0D.x+2y-5=0第U卷(非選擇題共90分)二、填空題(43 4 '= 16')13. 已知| a|=3,| b|=5, a2 b=12，則a在b上的投影為 .2 114. 設(shè) a=(-4,3),

5、b=(5,2)，則 2| aI - 2 ab=.115. 已知a=(6,2),b=(-4,-)，直線l過點A(3,-1),且與向量a+2b垂直，則直線l的一般式2方程是.16. 把函 數(shù)y =2X2 -4X亠5的圖象按 向量a平移后，得到y(tǒng) = 2x 2的圖象，且a丄b,c=(1,-1),b2 c=4,則 b=.三、解答題(53 12' +14'= 74')17. 若向量a的始點為 A(-2, 4),終點為 B(2, 1).求：(1) 向量a的模.與a平行的單位向量的坐標.與a垂直的單位向量的坐標.18.設(shè)兩向量e!、e2滿足|e和=2, | e2 |=1,e!、e?的

6、夾角為60°,若向量2t科+7e2與向量 e<, +t ek的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.33xxit19.已知向量 a=(cos x,sinx),b=(cos ，-sin),且 x-，一、222234(1) 求 a 2 b 及 | a+b |;(2) 若 f (x)=a2 b-| a+b|,求f (x)的最大值和最小值.20. 設(shè) a=(-1-x)i,b=(1-x)i+yj(x、y R,j、j 分別是 x、y 軸正方向上的單位向量)，且 | a|=| b|.求點M (x,y)的軌跡C的方程；過點(4,0)作直線I交曲線C于A、B兩點，設(shè)OP =OA +OB，求證：四邊形

7、OAPB為AB上，且 am =3MB ，矩形.21. 已知 ABC的頂點為 A(0，0)，B(4，8)，C(6，-4).M點在線段P點在線段 AC上, APM的面積是厶ABC的面積的一半，求點 M、P的坐標.22. 如圖所示，有兩條相交成 60°角的直路XX'和YY',交點是O,甲、乙分別在 OX、 OY上，起初甲離 O點3 km,乙離O點1 km,后來兩人同時用 4 km/h的速度，甲沿 XX'方 向，乙沿Y' Y的方向步行.(1) 起初，兩人的距離是多少？第22題圖(2) 用包含t的式子表示t h后兩人的距離什么時候兩人的距離最短？參考答案1. B

8、2. C3.A由向量的數(shù)量積的定義即知./ AB / CD,且 AD=BCABM CD,故選 C. 點(x,y)按向量a =( 1, -1)平移后的點(x',y),4.Dx »1即y 二y -1+1 = sin(x' -1),即 y' =sin(x' -1)-1.42201-23-2( -1)51-2點M的坐標為(0,-5).5.C設(shè) a=(x1，yj, b=( x2 , y2)，由 | a+b|=| a-b|得(X1 - x2 / - (y1 y2)彳=(X1 - X2 r ( y - y2 /，即 x x? + y y 2 = °.又 a

9、2 b= x1 x2 + y1 y2 , ab= 0.2 2 26. B | a+b| | = | a |- |b | -2 | a | | b | cos :-,1 1 7=1+4-4cosa即cos a =- - , a與b的夾角0的余弦值為 -.2 24 ,7. A / a=(3,-4),b=(1-n,3n),. 9n= -4(1-n), n=-，故選 A.58. D 若兩兩夾角為 0° ,則| a+b+©=| a|+| b|+| c|=11;若兩兩夾角為120 °，則| a+b+c|2=| a |2+| b|2+| c|2 +2| a| b|cos120

10、° +2| b| c|cos120 ° +2| a| c|cos120 =1+9+49+23 (-)3 (13 3+33 7+13 7)=28,| a+b+c|=2 > 7 .2 *9. DAB 2 BC = 22 2 COS120° =-2.故選 D._r4,4,4221210. C 由 a 亠b 亠c 2c (a 亠b ),2 2 2 2 2 2得(a 亠b c)2a b ,222廠J? a 亠b - c =±2 ab=2abccosC,. cosC=±, /. C=45°或 135° .2，一，.、，2 ，兀11

11、. D 由平移公式，應(yīng)有 2 sin (x ) 1 = f (x) cos x .42-2m+3n=0,直線l的斜率16.(3,-1) a=(-1,-3),x0 =3y0 _ -1設(shè) b=(x0 , y0),則 <x0- 3 y 0 =° y° =4即c o s2(x ) =s i n2x = f (x) c o s< , /. f (x)=2sinx.212.D 設(shè) C(X,y),T OC = a OA +3 OB ,二(X,y)= a (3,1)+ 3 (-1,3)=(3 a , a )+(- 3 ,3 3 )=(3 a - 3 , a +3 3 ).&qu

12、ot;x =3q( - P門又t a + 3 =1,二 x+2y-5=0.y =O(十3呂1213.512 t a 2 b=| a |2 | b|2 cosQ , a 在 b 上的投影為514.572 112| a | -2 a2 b=2(16 + 9)-(-20+6)=50+7=57.2215.2x-3y-9=0 設(shè)I的一個方向向量為(m,n).a+2b=(-2,3)，直線l與向量 a+2b垂直，即n 22k=,直線 I 的方程為 y+1=(x-3),即 2x-3y-9=0.m332 2y =2x 4n-5 y -3=2(x - 1),2217.解(1)a= AB =( 2, 1) - (-

13、2, 4) = (4, - 3), | a| = J”42 + (_3)2 =5 .與a平行的單位向量是土丄=±|a |15(4，4-3)=(;，5-3)或(-,-).555(3)設(shè)與a垂直的單位向量是m 3e=(m,n),貝U a2 e= 4m-3n = 0, n 4又 t | e| = 1,-n234八=1.解得m= ,n= 或5534m=-, n=_ .55223 434e= (5，5)或(-5，-7).18. 解e, =4,e2=1,e1 e2 =23 13 cos60 =1, - (2t e1 +7 e2 )2 ( e1 +t e2 )=2t e" +(2 t2

14、+7) e1 2 e2+7t e； =2*+15t+7.- 2t2 +15t+7<0,. -7<t<-丄.2=2t=7 t=-設(shè) 2te1 +7e2 =入(e+te2)(入 <0)n2t 一兒J =tZ-入=-'.14 .當t=- 14時，2t ei +7 e2與點丄+ e2的夾角為n ,2.t的取值范圍是(-7,-止)U(-，-丄).2 2 23x3x19. 解(1)a2 b=cos xcos -sin xsin =cos2x.2222| a|=| b|=1,設(shè)a與b的夾角為0 ,cos 0 =cos 2x=cos 2 x.|a | b |11.| a+b |

15、2 = a2 +2a2 b+ b2 =1+23 13 12 cos2x+1=2+2cos2x=4 cos2 x cos2x,TT TT-上，上,cosx>0,. |a+b| =2cosx.3 ' 421 23(2)f (x)=cos2x-2cosx=2 cos x 2 cos x 1 = 2(cos x -一)2 2/ x1< cosxw 1.21 3 當cosx= 時，f (x)取得最小值-;當cosx=1時，f(X)取最大值-1.2 220.(1)解由已知 | a|=| b|，即,(_1 X)2 =(1 X)2 y2 ,整理得y2 =4x(2)證明由已知只需證 OA丄O

16、B即可，即證 OA 2 OB =0.設(shè) A(X , y1 ),B 區(qū),y?),當 I 丄 x 軸時,A (4,4),B (4,-4), x1 x2 +y1 y2 =0,即 OA 丄 OB .當I不與x軸垂直時，設(shè)I的斜率為k,I的方程為y=k(x-4)(kz 0),將代入得k2x2 x(8k24)16k2 x1 x2 =84 , x1 x2 =16. k2y1 y2 =k (X1-4)( x2 -4) =k 216 -4(842)16k=一16.22 X1 X2+ y1 y =0,. OA 丄 OB .故得證.XM21.解 如圖，M分AB的比入=3,則M的坐標為03431 - 3038yM21

17、 AM AP sin A2 1S ABC21 AB2AC sin A2.AM3.AP2AB 一 4 'AC -3 *AP 2，即P分AC所成的比入=2得0 - 2 6又s由二.AMP.PC 11，Xp=4yp02 ( 4)8戸r8則 M(3, 6), P(4，-)為所求.322.解（1）設(shè)甲、乙兩人起初的位置是A、B,則由余弦定理 AB 2 =OA 2 OB 2 _2OA OB cos 60 = 3? - 1 2 23 33 13= 7.2所以甲、乙兩人的距離是 AB= ,7 km.(2)設(shè)甲、乙兩人t h后的位置分別是P、Q,貝U AP= 4t,BQ= 4t.3當 0w t w 時，由