大學物理習題解答5第五章穩(wěn)恒電流

1、第五章穩(wěn)恒電流本章提要1 電流強度-當導體中存在電場時，導體中的電荷會發(fā)生定向運動形成電流。 如果在.譏 時間內(nèi)通過導體某一截面的電量為.g，則通過該截面的電流 I 為At如果電流隨時間變化，電流 I 的定義式為qdqt dt2 電流密度導體中任意一點的電流密度 j 的大小規(guī)定為單位時間內(nèi)通過該點單位垂 直截面的電量，j 的方向規(guī)定為通過該點的正電荷運動的方向。根據(jù)電流密度的 定義，導體中某一點面元 dS 的電流密度為dl*對于宏觀導體，當導體中各點的 j 有不同的大小和方向，通過導體任意 截面 S的電流可通過積分計算，即I = j dSS3.歐姆定律-對于一般的金屬導體，在恒定條件下歐姆定律

2、有如下表達形式U,-U2其中 R 為導體的電阻，Ui-U2為導體兩端的電勢差歐姆定律的微分形式為j - E其中;:.-=1為電導率4電阻當導體中存在恒定電流時，導體對電流有一定的電阻。導體的電阻與導 體的材料、大小、形狀以及所處狀態(tài)(如溫度)有關。當導體的材料與溫度一定 時，對一段截面積均勻的導體，其電阻表達式為S其中 I 為導體的長度，S 為導體的橫截面積，為導體的電阻率5 電動勢非靜電力反抗靜電力移動電荷做功， 把其它種形式的能量轉(zhuǎn)換為電勢能， 產(chǎn)生電勢升高。A非s =-q當非靜電力不僅存在于內(nèi)電路中，而且存在于外電路中時，整個回路的 電動勢為 = Ekdll6.電源電動勢和路端電壓若電源

3、正負極板的電勢分別為U.和U_，電源內(nèi)阻為 r，電路中電流為 I， 則電源電動勢為：= (U . -U _) - lr路端電壓為U -U _一 ；- lr7.接觸電動勢因電子的擴散而在導體接觸面上形成的等效電動勢。.kT “AIn -e nB其中 e 為電子電量，k 為玻爾茲曼常數(shù)，T 為熱力學溫度8 含源電路的歐姆定律UA-UB十(IR lr )9.基爾霍夫定律基爾霍夫定律是求解復雜電路的基本方法。(1) 基爾霍夫第一定律：流入任一節(jié)點的電流和流出該節(jié)點的電流的代數(shù) 和等于零。1=0(2) 基爾霍夫第二定律：沿任一個閉合回路的電動勢的代數(shù)和等于回路中 電阻上電勢降落的代數(shù)和。、；_ IR思考

4、題5-1 電流是電荷的流動，在電流密度 j=0的地方，電荷的體密度T是否可 能等于零？答：有可能等于零。在金屬導體中電荷的定向移動形成電流，電荷的體密度等于零。而單獨的正離子或負離子的運動形成電流時電荷的體密度不等于零。5-2 如果通過導體中各處的電流密度不相同，那么電流能否是恒定的？為 什么？答：電流能夠恒定，因 I = j GS，雖然導體中各處的電流密度不相同，只S要電流密度 j 對導體各截面的通量相等，通過導體的電流就恒定。5-3 一銅線外涂以銀層， 兩端加上電壓后， 在銅線和銀層中通過的電流是 否相同？電流密度是否相同？電場強度是否相同？答：因I =U些，而兩種導線的橫向截面不同；長度

5、是一樣；銅線與銀層R H的材料不同，電阻率不同；所以兩端施加同樣的電壓而通過的電流不相同；電流密度二U不相同，電場強度E二丄二丄也不相同。5-4 截面相同的鋁絲和鎢絲串聯(lián)，接在一直流電源上，問通過鋁絲和鎢絲 的電流強度和電流密度是否相等？鋁絲內(nèi)和鎢絲內(nèi)的電場強度是否相等？答：通過鋁絲和鎢絲的電流強度相等，又因二者截面積相同，根據(jù)j 二少,dS則通過的電流密度也相等。根據(jù)j=注=衛(wèi)，為導體材料的電阻率，兩種材料電阻率不相等，通過的P電流密度相等，所以兩材料內(nèi)的電場強度不相等。5-5 電源的電動勢和端電壓有什么區(qū)別？兩者在什么情況下才相等？答：電動勢是單位正電荷從負極經(jīng)電源內(nèi)部移到正極時非靜電力所

6、做的功，端電壓是指電源正負兩極之間的電壓，一般情況下電源的端電壓不等于電動勢， 兩者之差為 Ir，即電源電流與內(nèi)阻 r 之積，稱內(nèi)阻電位降。當電源內(nèi)阻為 0,即 Ir= 0 時，端電壓在數(shù)值上等于電動勢。對于有內(nèi)阻的電源，只要流過它的電流 為零（處于開路狀態(tài)的電源就如此），端電壓也與電動勢數(shù)值相等。練習題5-1 大氣中由于存在少量的自由電子和正離子而具有微弱的導電性。已知地 球表面附近空氣的電導率-=3 10塔2 m，場強 E =100NQ，地球半徑6R=6 10 m。若將大氣電流視為穩(wěn)恒電流，計算由大氣流向地球表面的總電流強度。解：已知：=3 10,4l2m，E=100NC，如 圖 5-1

7、所示，在地球表面取一微元曲面 dS，則由大氣 流向曲面 dS 的電流強度（1）對式積分即可得大氣流向地球表面的總電 流強度I 二 j dS 二 jdS = jSSS因j = E =3 1044100 =3 10_2(A m-2)又地球表面積為S =4兀R2=4兀冥(6工106j =4.521014(m2)l=jS=3 10*24.52 10141.4 103(A)即大氣流向地球表面的總電流強度為1.4 103Adl = j dS = jdS圖 5-15-2 截面積為 10mm2的銅線中，允許通過的電流是 60A，試計算銅線中的 允許電流密度。 設每個銅原子貢獻一個自由電子， 可算得銅線中的自由

8、電子密度 是 8.5 1028m；，試計算銅線中通有允許電流時自由電子的漂移速度。解：銅線截面積S=10mm2=1.0 10“m2，允許通過的電流 I =60A，貝 U 銅線 中允許電流密度又知銅線中的自由電子密度n -8.5 1028m，則銅線中通有允許電流時自由電子 的漂移速度5-3 有一靈敏電流計可以測量小到10JA的電流，當銅導線中通有這樣小的 電流時，每秒內(nèi)有多少個自由電子通過導線的任一截面？如導線的截面積是1mm2，自由電子的密度是8.5 1028mJ，自由電子沿導線漂移 1cm 需要多少時 間？解：銅導線中通有電流I =10J0A，則每秒內(nèi)通過導線任一截面的自由電子 數(shù)又知導線的

9、截面積S=1mm2=1 10m2，自由電子的密度n =8.5 1028m，則電子的平均漂移速率_10加加1 10“ 8.5 10281.6 1049自由電子沿導線漂移 l =1cm 需要的時間為l1 1012t肓:1.4 10 (s)v 7.35 105-4 一銅棒的截面積為 20 80mm2，長為2.0m，兩端的電勢差為50mV。已 知銅的電導率丁-5.7 107sm ，銅內(nèi)自由電子的電荷體密度為1031.36 10 C m。求：（1）它的電阻；（2）電流；（3）電流密度；（4）棒內(nèi)的 電場強度；（5）所消耗的功率；（6）棒內(nèi)電子的漂移速度。解：銅棒的截面積S=20 80mm 1. 602小

10、長1=2.0m,電導率、=5.7 107s m4，貝 UI 60S 一 1.0 10,-6.0 106(Am)八丄ne6.0如如068.5 10281.6 10J9= 4.4 10*(m s)Itn =10“ 11.6 10498 -1= 6.3 10 (s )- Iv =Sne= 7.35 10J5(m s-1)3罟小10Am棒內(nèi)的電場強度E二丄二1.4 107=2.5 10, Vd 5.7x1052 jP二廣R=2.3 102.2 101.1 10 W又自由電子的電荷體密度ne=1.36 1010cm，則電子的漂移速度6j 1.4 10V10ne 1.36 105-5 大多數(shù)生物細胞的形狀

11、類似圓球，這類細胞的細胞膜可視為一個同心球 殼體系，如圖 5-2 所示。由于活體細胞內(nèi)外均有許多帶電粒子，這些粒子可通過 細胞膜進行交換，形成跨膜電流。設細胞膜內(nèi)半徑為Ra,外半徑為 Rb,膜中介質(zhì)的電阻率為。求（1）細胞膜電阻；（2）若膜內(nèi)外的跨膜電勢為 Uab，求跨膜電流的電流密 度與半徑 r 的關系。解：（1）設想細胞膜是由許多個圓球組成，以 r 代表其中任意薄層圓球的半徑，其面積dS=4二r2，以 dr 表示此薄層的厚度，由題意可知電流沿徑向方向, 則長度即為dr，該薄層的電阻應為dR=p卩丹，則細胞膜電阻RbRbdr1P1 L dR = JRp2=PRaRa4 兀 r24兀RaRb丿

12、R =(1)銅棒電阻為l1 lR 二 p二一S5 S5.7 1071.6 10；2.2 10(3)銅棒兩端的電勢差為電流密度為U =50mV =5 10，V，則電流5 10b:2.3 103A2.2 10“(5)所消耗的功率(6)= 1.0 10* m s（2）若膜內(nèi)外的跨膜電勢為 Uab，跨膜電流PRbRa4-RaRbI _Uab _Uab_4-RaRbUabab RP（ Rb-Ray4nRaRbP（RbRa）由于在距離球心 r 處總電流Iab所通過的“截面積”s = 4：r2，則跨膜電流的電流 密度與半徑 r 的關系由下式得出：1ab4江RaRbUabUabRaRbj2 2sRb-Ra4二

13、r；-rR Ra5-6 電纜的芯線是半徑為 r 0.5cm 的銅線，在銅線外面包一層同軸的絕緣 層，絕緣層的外半徑為D -1.0cm，電阻率T=1.0 101 m。在絕緣層外面又 用鉛層保護起來（見圖 5-3）。求（1）長 L = 1000m 的這種電纜沿徑向的電阻；（2）當芯線與鉛層間的電 勢差為 100V 時，在這電纜中沿徑向的電流多大？解：（1）設想電纜芯線與絕緣層之間是由許多薄圓柱層所組成， 以 r 代表其 中任意薄層截面的半徑，其面積 S =2rl，以 dr 表示此薄層的厚度，則該薄層的 徑向電阻應為drP2 二 rl長 I = 1000m 的這種電纜沿徑向的電阻為代入數(shù)據(jù)后，得1

14、0漢108In( - ) =1.1 108 f 10.5 102RdRjpd丿In空2二rl 2二I r1121.0 102二1000U _100R 1.1 10!-9.1 10 (A)圖 5-2圖 5-3（2）當芯線與鉛層間的電勢差 U =100V 時，根據(jù)歐姆定律求得徑向電流5-7 一個蓄電池在充電時通過的電流為 3.0A，此時蓄電池兩極間的電勢差為4.25V。當這蓄電池在放電時，通過的電流為 4.0A，此時兩極間的電勢差為 3.90V(b)圖 5-5求這蓄電池的電動勢和內(nèi)阻d=3.90V，I =4.0A 解得-4.10 V ，r=0.05即蓄電池的電動勢為 4.10V,內(nèi)阻為 0.05Q

15、5-8 圖 5-5 中兩個電源都是化學電池，=6V ,遼=4V，內(nèi)阻 * =0 =0.1 門。求：（1）充電電流；（2）每秒內(nèi)電源；1消耗的化學能；（3）每 秒內(nèi)電源；2獲得的化學能。解：（1）如圖 5 所示，對閉合回路 ABCDA 應用基爾霍夫第二定律得：2-；iTRi2IRii二0帶入數(shù)據(jù)1=6V，遼=4V，口 = 0 二 0.V1，解得I -10 A（2）每秒內(nèi)電源“消耗的化學能W（=；t=6 10 1=60J（3）每秒內(nèi)電源 j 獲得的化學能解： 作圖 5-4所示的電路示意圖, B端， 應用一段含源電路的歐姆定律得 當蓄電池充電時，有設所選定的積分路徑是自 A 端經(jīng)蓄電池到AB 兩端的

16、電勢差；o=UA-UB二；I r當蓄電池放電時，有；0二UA-UB丨 一IrE、rA - *- |- B 充電E、rIA - - - B 放電帶入數(shù)據(jù)圖 5-4Dr2W2二；2lt =4 10 1 =40 JC(a)圖 5-6VR5-9 電動勢為；i=8V和邊=1.4V的兩電池與外電阻 R 以兩種方式連接（如圖 5-6所示），圖（a）中伏特計的讀數(shù)為 Va=0.6V。問：（1）圖（b）中伏 特計的讀數(shù)將為多少（伏特計的零點刻度在中央）？ （2）討論電池在兩種情形中的能量轉(zhuǎn)換關系。解：（1）設電動勢為；i、；2的兩電池內(nèi)阻分別為ri、2，兩電路中的電流Ii、I2及方向如圖 5-6 所示：對電路（

17、a）有UAB UA_U_2Iir2對回路 ABCA 應用基爾霍夫第二定律得11r1r2R =0對電路（b）有UAB，=UA-UB二；2，122對回路 ABCA應用基爾霍夫第二定律得：112r1r2R =0代入數(shù)據(jù)；1=1.8V，邊=1.4V，Va=0.6V 即UAB=0.6V，解得UAB=1.5V因伏特計的零點刻度在中央，在電路（a）中UAUB讀數(shù)為 0.6V，則在電路（b） 中UA，UB讀數(shù)應為-1.5V。（2）在（a）電路中“、；2均消耗能量，化學能轉(zhuǎn)化為電勢能，在（b）中“ 消耗能量，化學能轉(zhuǎn)化為電勢能；遼獲得能量，電勢能轉(zhuǎn)化為熱能。5-10 利用安培計和伏特計來測量電阻（已知安培計的電

18、阻RA=0.03,】，伏特 計的電阻RV=1000門） ， 有下列兩種方法： （1） 按圖 （a） 的接法， 安培計的讀 數(shù)為J =0.32A，伏特計的讀數(shù)為 V1=9.60V。試求在計算電阻值時因未將安培 計的電阻計算在內(nèi)而造成的相對誤差。如J =7.00A, V2.10V，作同樣的計算。（2）按圖（b）的接法，安培計的讀數(shù)為丨2=2.40 A，伏特計的讀數(shù)為V2=7.20V。試求在計算電阻值時因未將通過伏特計中的電流計算在內(nèi)而造成的相對誤差。如12=20mA , V2、7.20V，作同樣 的計算。（3）通過上面的計算，討 論所得的結(jié)果。解： （1）對圖（a），考慮到安 培計的電阻，則流經(jīng)

19、R 的電流為丨1，R 上的電壓降U- XRA，則圖 5-7R UV1-11RA=17 = T若不考慮安培計的電阻，則 （考慮內(nèi)阻與否的電流值不一樣）R上li則相對誤差帶入數(shù)據(jù)|1=0.32A，V9.60V，RA= 0.03門，解得 E =0.10%。如 l 7.00A，V, = 2.10V，作同樣的計算得 E、10%。（2）對圖（b）,考慮到伏特計的電阻，則流經(jīng)待測電阻R 的電流為V2V2V2RV|VT=I2RV-V212V =3.0011I2則相對誤差如I2=20mA , V；= 7.20V，作同樣的計算得 E 丄 36%（3）討論：通過以上計算可知使用安培表內(nèi)接法測電阻時，由于安培表內(nèi) 阻

20、有分壓作用，因而在未考慮安培表內(nèi)阻時使待測電阻的測量值比真實值偏大， 且加在待測電阻兩端的電壓越小，相對誤差越大；使用安培計外接法測電阻時， 由于伏特計內(nèi)阻的分流作用，使得測量值比真實值偏小，且通過的電流越小，相 對誤差越大。5-11 在圖 7 所示的電路中，已知i=1.0V，；2=20V，飛=3.0 V，R1=1.0門，R=3.0，r,和2=3=1 0門。求：（1）通過；3的電流；（2）R2消 耗的功率；（3）；3對外供給的功率。（圖中缺標R1=1.0）解：（1）設各支路中的電流強度分別為 J、I?、丨3，其指向如圖所示，電R-R廠100% =I1RAV1100%RRV帶入數(shù)據(jù)丨2=2.40

21、A,V2= 7.20 V,若不考慮伏特計的電阻，則RV=1000，解得R =3.009門。R -R00% = 0.30% R路中有兩個節(jié)點 A、B,但只能列出一個獨立的電流方程，現(xiàn)對節(jié)點A 應用基爾霍夫第一定律可得IrI2- I3= 0對閉合回路 A1B3A （繞行方向為順時向）和A2B3A（繞行方向為順時向）分別應用基爾 霍夫第二定律可得三彳-；3- 111Ri-131-R2r3- 0；2 -；3 -I22- I3R2 3= 0將數(shù)據(jù)1=1.0V，；2=2.0V，；3=3.0V，R-l= 1.0i.】，R2= 3.0； ：，1=2=3= 1.0 1代入回路方程、中并與電流方程聯(lián)立求解可得到I

22、 -0.43A,I2=0.14A,l3=-0.29A此結(jié)果中丨1、I3為負值，說明它們的實際電流指向與圖中假定方向相反，I為正值，說明實際電流方向與原假定方向相同。所以通過；3的電流大小為 0.29A。(2)R2消耗的功率P=I；R2=0.2923 = 0.24(W)(3)；3 對外供給的功率P2=13；3=0 29 3.0=0.87(W)圖 5-95-12 在如圖 5-9 所示的電路中，已知；1=2.0V，；2=6.0V， -2.0V，I1名，T 11R11 *R3圖 5-8I2R圖 5-10R4I2R2R1=1.01，R2=5.0門，R3=3.0 門，R4 =2.0。求通過電阻 R2的電流

23、的大 小和方向。解：設各支路中的電流強度分別為 J、I?、丨3，其指向如圖 5-9 所示，電 路中有兩個節(jié)點 A、B,但只能列出一個獨立的電流方程，現(xiàn)對節(jié)點 A 應用基爾 霍夫第一定律可得對閉合回路 A1B2A（繞行方向為順時向）和 A2B3A（繞行方向為順時向）分別應 用基爾霍夫第二定律可得；i 11RiR4- 12R2 = 0-；2；3I2R2- I3R3= 0帶入數(shù)據(jù)；1=2.0V,；2=6.0V，；3=2.0V，Ri=1.0，R2=5.0門，R3=3.0 門，R4=2.0解得11= -0.10A，I2- 0.46A，13= -0.56A此結(jié)果中I2為正值，說明它們的方向與原假定方向相同，丨1、丨3為負值，說 明實際電流指向與圖中假定方向相反， 則