【KS5U解析】河南省平頂山市魯山縣第一高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高二4月月考數(shù)學(xué)（理科）試題 Word版含解析

1、 理科數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1. 已知，則的最小值為（ ）a. 2b. 1c. 4d. 3【答案】c【解析】【分析】將的表達(dá)式構(gòu)造成可以利用基本不等式求解最小值的形式.【詳解】因?yàn)椋?，取等?hào)時(shí)即，故選c.【點(diǎn)睛】形如形式的函數(shù)，可利用基本不等式求解函數(shù)最小值：，取等號(hào)時(shí)有：. 2. 若，則的解集為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求得函數(shù)定義域，然后求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，.故選c.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查一元二次不等式的解法.在求函數(shù)導(dǎo)數(shù)前，要注意求函數(shù)的定義域.屬于基礎(chǔ)題. 3. 若命題，則命題的否定為（ ）a

2、. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得到結(jié)論【詳解】解：命題為全稱命題，則命題的否定為：，故選【點(diǎn)睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題 4. 如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（ ）.a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在軸上推出，且，解不等式求得的范圍【詳解】由題意方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得：，并且，解得：故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題時(shí)注意看焦點(diǎn)在軸還是在軸 5. 在正方體abcd-a1b1c1d1中，點(diǎn)m為棱c1d1的中點(diǎn)，則異面直線am與bd所成角的余弦值為（）a. b. c.

3、d. 【答案】c【解析】【分析】以d為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出a，m，b，d坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)向量，即可求出結(jié)果【詳解】解：正方體abcd-a1b1c1d1，m為a1b1的中點(diǎn)，設(shè)正方體abcd-a1b1c1d1棱長為1，以d為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，a（1，0，0），m（0，1），b（1，1，0），d（0，0，0），=（-1，1），=，所以異面直線am與bd所成角的余弦值為，故選c【點(diǎn)睛】本題考查向量法解異面直線所成的角，中檔題 6. 雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程得到，由此求得雙曲線離心率.【詳解】由

4、題可知，所以故選：d【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題. 7. 已知，均為實(shí)數(shù)，則下列說法一定成立的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】d【解析】【分析】利用特殊值代入法排除、，利用不等式的基本性質(zhì)，可得，從而得到，從而得出結(jié)論詳解】對(duì)于，不妨令，盡管滿足，但顯然不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于，不妨令，顯然滿足，但不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于，不妨令，顯然滿足，但不滿足，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則，即，故正確.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)與不等關(guān)系，在限定條件下，比較幾個(gè)式子的大小時(shí)，用特殊值代入法，能快把答案進(jìn)行排除是解此類問題的常用方法

5、 8. 的值為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】直接利用定積分公式計(jì)算得到答案.【詳解】故選a【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力. 9. 已知m是直線，是兩個(gè)不同平面，且m，則m是的（ ）a 充分不必要條件b. 必要不充分條件c. 充分必要條件d. 既不充分也不必要條件【答案】a【解析】【分析】分別判斷充分性和必要性得到答案。【詳解】當(dāng)時(shí)，已知?jiǎng)t，充分性；當(dāng)時(shí)，已知，可以得到，故不必要；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力。 10. 已知拋物線的焦點(diǎn)f是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交于a、b兩點(diǎn)，若是正三角形，則橢

6、圓的離心率為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)題意畫出幾何圖形,由橢圓和拋物線的對(duì)稱性可知ab與軸交于橢圓的另一焦點(diǎn),則.根據(jù)正三角形性質(zhì)可得結(jié)合橢圓定義,可由勾股定理求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可知,畫出幾何圖形如下圖所示:由橢圓與拋物線的對(duì)稱性可知, ab與軸交于橢圓的另一焦點(diǎn),則.由橢圓定義可知,且為正三角形所以則由正三角形性質(zhì)可知為直角三角形所以即,化簡可得所以 故選:c【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用,橢圓離心率的求法,屬于中檔題. 11. 如圖，正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為2，e是棱ab的中點(diǎn)，f是側(cè)面aa1d1

7、d內(nèi)一點(diǎn)，若ef平面bb1d1d，則ef長度的范圍為（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】過作，交于點(diǎn)，交于，根據(jù)線面垂直關(guān)系和勾股定理可知；由平面可證得面面平行關(guān)系，利用面面平行性質(zhì)可證得為中點(diǎn)，從而得到最小值為重合，最大值為重合，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】過作，交于點(diǎn)，交于，則底面平面，平面，平面平面，又平面 平面又平面平面，平面 為中點(diǎn) 為中點(diǎn)，則為中點(diǎn)即在線段上，則線段長度的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線段長度取值范圍的求解，關(guān)鍵是能夠確定動(dòng)點(diǎn)的具體位置，從而找到臨界狀態(tài)；本題涉及到立體幾何中線面平行的性質(zhì)、面面平行的判定與性質(zhì)等定理的應(yīng)用. 12.

8、 函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】取化簡得到，設(shè)，求導(dǎo)確定函數(shù)圖像得到答案.【詳解】取設(shè)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減畫出函數(shù)圖像：根據(jù)圖像知：故選b【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵. 二、填空題 13. 設(shè)滿足約束條件，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過時(shí)，有最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題

9、思想方法，是中檔題 14. 設(shè)拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是_【答案】6【解析】【分析】先作出圖形，再結(jié)合拋物線定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,如圖所示,由拋物線的定義可得：.故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于常考題. 15. 記sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和若，則s5=_【答案】.【解析】【分析】本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，所以又，所以所以【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求

10、本題由于涉及冪的乘方運(yùn)算、繁分式分式計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤 16. 已知是函數(shù)的切線，則的最小值為_【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)切線的坐標(biāo)為（m，lnm+m），求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的方程，分析可得k1，blnm1，代入化簡得到lnm1，設(shè)g（m）lnm1，求出g（m），利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，分析可得g（m）的最小值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，直線ykx+b與函數(shù)f（x）lnx+x相切，設(shè)切點(diǎn)為（m，lnm+m），函數(shù)f（x）lnx+x，其導(dǎo)數(shù)f（x）1，則f（m）1，則切線的方程為：y（lnm+m）（1）（xm），變形可得y（1）x+lnm1

11、，又由切線的方程為ykx+b，則k1，blnm1，則2k+b2+lnm1lnm1，設(shè)g（m）lnm1，其導(dǎo)數(shù)g（m），在區(qū)間（0，2）上，g（m）0，則g（m）lnm1為減函數(shù)，在（2，+）上，g（m）0，則g（m）lnm1為增函數(shù)，則g（m）ming（2）ln2+2，即2k+b的最小值為ln2+2；故答案為ln2+2【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析切線的方程以及函數(shù)的單調(diào)性與最值，關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義 三、解答題 17. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用題目所給兩個(gè)已知條件求出首項(xiàng)和公差，由此求

12、得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）求得的表達(dá)式，再利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由題意可知，.又，.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知， ，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，考查裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的題目，往往會(huì)給兩個(gè)條件，將兩個(gè)條件解方程組，可求得，由此可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.如果數(shù)列是兩個(gè)等差數(shù)列乘積的倒數(shù)的形式，那么可以利用裂項(xiàng)求和法求得前項(xiàng)和. 18. 在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，證明四邊形為平行四邊形

13、得到答案.（2）證明平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，面的法向量，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，.因?yàn)椋?所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）取中點(diǎn)，連結(jié).因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，取中點(diǎn)，連結(jié)，則.以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由，則，.平面的法向量，設(shè)平面法向量，由，得.令，則，.由圖可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力. 19. 已知函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)， 且.(i)求的值;(ii)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.

14、【答案】（）4；（）最大值為，最小值為.【解析】【分析】(i)求出的導(dǎo)函數(shù)，把代入即可求解.(ii)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出最值. 【詳解】解: (i) ，, (ii) 由(i)可得:，令，解得，列出表格如下:極大值極小值又所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值、極值，屬于基礎(chǔ)題. 20. 己知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)（）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值【答案】（）：y21；（）m【解析】【分析】（）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和的關(guān)系可求得，從而得到橢圓方程；（）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)有兩個(gè)交點(diǎn)可得，求

15、得范圍；聯(lián)立后寫出韋達(dá)定理的形式，代入弦長公式求得，利用點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到直線的距離，從而利用構(gòu)造方程解得，驗(yàn)證符合的即為結(jié)果.【詳解】（）由題意知：，則 橢圓的方程為：（）設(shè)， 聯(lián)立得：，解得：，又點(diǎn)到直線的距離為：，解得：【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，需要注意的是聯(lián)立后要利用判別式大于零確定參數(shù)的取值范圍. 21. 已知函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1) 若，在上單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2) 【解析】【分析】（1）的定義域?yàn)椋?對(duì)實(shí)數(shù)分情況討論，得出單調(diào)性；（2） ，令，所以 令， ，再分情況討論，求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?