二次函數平行四邊形的存在性問的題目例的題目

1、實用標準文案二次函數平行四邊形存在性問題例題一解答題（共9 小題）1如圖，拋物線經過A（ 1，0），B（5，0）， C（ 0，）三點（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）在拋物線的對稱軸上有一點 P，使 PA+PC的值最小，求點 P 的坐標；（ 3）點 M 為 x 軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以 A，C， M，N 四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N 的坐標；若不存在，請說明理由2如圖，在平面直角坐標系中，直線y=3x3 與 x 軸交于點 A，與 y 軸交于點 C拋物線 y=x2+bx+c 經過 A，C 兩點，且與 x 軸交于另一點 B（點 B 在點 A 右側）（ 1）求拋物線

2、的解析式及點 B 坐標；（ 2）若點 M 是線段 BC上一動點，過點 M 的直線 EF平行 y 軸交 x 軸于點 F，交拋物線于點 E求 ME 長的最大值；（ 3）試探究當 ME 取最大值時， 在 x 軸下方拋物線上是否存在點 P，使以 M ，F，B，P 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P 的坐標；若不存在，試說明理由精彩文檔實用標準文案3已知：如圖，在平面直角坐標系xOy 中，直線與 x 軸、 y 軸的交點分別為 A、 B 兩點，將 OBA 對折，使點 O 的對應點 H 落在直線 AB 上，折痕交x 軸于點 C（ 1）直接寫出點 C 的坐標，并求過 A、B、C 三點的拋物線的解析

3、式；（ 2）若（ 1）中拋物線的頂點為 D，在直線 BC上是否存在點 P，使得四邊形 ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P 的坐標；若不存在，說明理由；（ 3）若把（ 1）中的拋物線向左平移3.5 個單位，則圖象與x 軸交于 F、N（點 F在點 N 的左側）兩點，交 y 軸于 E 點，則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使點 Q 到 E、N 兩點的距離之差最大？若存在，請求出點Q 的坐標；若不存在，請說明理由4已知：如圖，在平面直角坐標系xOy 中，直線與 x 軸、 y 軸的交點分別為 A、 B，將 OBA 對折，使點 O 的對應點 H 落在直線 AB 上，折痕交 x 軸于點 C（ 1）直

4、接寫出點 C 的坐標，并求過 A、B、C 三點的拋物線的解析式；（ 2）若拋物線的頂點為 D，在直線 BC上是否存在點 P，使得四邊形 ODAP為平行四邊形？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，說明理由；（ 3）設拋物線的對稱軸與直線BC 的交點為 T，Q 為線段 BT 上一點，直接寫出| QAQO| 的取值范圍精彩文檔實用標準文案5如圖， Rt OAB如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊OA 與 x 軸重合， OAB=90°，OA=4，AB=2，把 RtOAB繞點 O 逆時針旋轉 90°，點 B 旋轉到點 C的位置，一條拋物線正好經過點O，C，A 三點（ 1）求該拋物

5、線的解析式；（ 2）在 x 軸上方的拋物線上有一動點 P，過點 P 作 x 軸的平行線交拋物線于點M，分別過點 P，點 M 作 x 軸的垂線，交 x 軸于 E，F 兩點，問：四邊形 PEFM的周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由（ 3）如果 x 軸上有一動點 H，在拋物線上是否存在點 N，使 O（原點）、 C、 H、 N 四點構成以 OC為一邊的平行四邊形？若存在，求出 N 點的坐標；若不存在，請說明理由6如圖，直線 y=x+3 與 x 軸交于點 C，與 y 軸交于點 B，拋物線 y=ax2+x+c經過 B、C 兩點（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）如圖，

6、點 E 是直線 BC上方拋物線上的一動點，當 BEC面積最大時，請求精彩文檔實用標準文案出點 E 的坐標和 BEC面積的最大值？（ 3）在（ 2）的結論下，過點 E 作 y 軸的平行線交直線點 Q 是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在， 請直接寫出點請說明理由BC于點 M，連接 AM，P，使得以 P、Q、A、MP 的坐標；如果不存在，7如圖，拋物線 y=ax2+bx+2 與坐標軸交于 A、B、C 三點，其中 B（4，0）、C（2，0），連接 AB、 AC，在第一象限內的拋物線上有一動點D，過 D 作 DE x 軸，垂足為 E，交 AB 于點 F（ 1

7、）求此拋物線的解析式；（ 2）在 DE 上作點 G，使 G 點與 D 點關于 F 點對稱，以 G 為圓心， GD 為半徑作圓，當 G 與其中一條坐標軸相切時，求 G 點的橫坐標；（ 3）過 D 點作直線 DH AC交 AB 于 H，當 DHF的面積最大時，在拋物線和直線 AB 上分別取 M 、N 兩點，并使 D、H、M、N 四點組成平行四邊形，請你直接寫出符合要求的 M 、N 兩點的橫坐標8已知直線y=kx+b（k0）過點 F（0，1），與拋物線y=x2 相交于B、C 兩精彩文檔實用標準文案點（ 1）如圖 1，當點 C 的橫坐標為 1 時，求直線 BC的解析式；（ 2）在（ 1）的條件下，點

8、M 是直線 BC 上一動點，過點 M 作 y 軸的平行線，與拋物線交于點 D，是否存在這樣的點 M ，使得以 M、D、O、F 為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由；（ 3）如圖 2，設 B（ mn）（ m0），過點 E（ 0 1）的直線 lx 軸， BRl于 R，CS l 于 S，連接 FR、FS試判斷 RFS的形狀，并說明理由9拋物線 y=x2+bx+c 經過 A（0，2），B（3，2）兩點，若兩動點D、E 同時從原點 O 分別沿著 x 軸、y 軸正方向運動，點 E 的速度是每秒 1 個單位長度，點 D 的速度是每秒 2 個單位長度（ 1）求拋物線與

9、x 軸的交點坐標；（ 2）若點 C 為拋物線與 x 軸的交點，是否存在點 D，使 A、B、C、D 四點圍成的四邊形是平行四邊形？若存在，求點 D 的坐標；若不存在，說明理由；（ 3）問幾秒鐘時， B、D、 E 在同一條直線上？精彩文檔實用標準文案2017 年 05 月 03 日 1587830199 的初中數學組卷參考答案與試題解析一解答題（共9 小題）1（2016?安順）如圖，拋物線經過A（ 1，0）， B（ 5， 0），C（0，）三點（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）在拋物線的對稱軸上有一點 P，使 PA+PC的值最小，求點 P 的坐標；（ 3）點 M 為 x 軸上一動點，在拋物線上是否存

10、在一點N，使以 A，C， M，N 四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N 的坐標；若不存在，請說明理由2【解答】 解：（1）設拋物線的解析式為y=ax +bx+c（a0），解得拋物線的解析式為： y=x22x；精彩文檔實用標準文案（ 2）拋物線的解析式為：y= x22x，其對稱軸為直線x=2，連接 BC，如圖 1 所示， B（ 5， 0），C（0，），設直線 BC的解析式為 y=kx+b（ k0），解得，直線 BC的解析式為 y= x，當 x=2 時， y=1 = ， P（ 2， ）；（ 3）存在如圖 2 所示，當點 N 在 x 軸下方時，拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，）， N1（

11、4， ）；當點 N 在 x 軸上方時，精彩文檔實用標準文案如圖，過點 N2 作 N2D x 軸于點 D，在 AN2D 與 M 2CO中， AN2 2（），DM COASA N2D=OC= ，即 N2點的縱坐標為 x22x = ，解得 x=2+或 x=2，N2（2+， ），N3（2， ）綜上所述，符合條件的點 N 的坐標為（4，），（2+， ）或（2， ）2（2016?十堰一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=3x3 與 x 軸交于點 A，與 y 軸交于點 C拋物線 y=x2+bx+c 經過 A，C 兩點，且與 x 軸交于另一點B（點 B 在點 A 右側）（ 1）求拋物線的解析式及點 B 坐標

12、；（ 2）若點 M 是線段 BC上一動點，過點 M 的直線 EF平行 y 軸交 x 軸于點 F，交拋物線于點 E求 ME 長的最大值；（ 3）試探究當 ME 取最大值時， 在 x 軸下方拋物線上是否存在點 P，使以 M ，F，B，P 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P 的坐標；若不存在，試說明理由精彩文檔實用標準文案【解答】 解：（1）當 y=0 時， 3x3=0，x=1 A（ 1，0）當 x=0 時， y=3， C（0， 3）， ，拋物線的解析式是： y=x2 2x3當 y=0 時， x22x 3=0，解得： x1=1，x2=3B（3，0）（ 2）由（ 1）知 B（3， 0），C

13、（0， 3）直線 BC的解析式是： y=x3，設 M （x，x3）（ 0 x 3），則 E（x， x22x 3） ME=（x3）（ x22x 3） = x2+3x=（ x ）2+ ；當 x= 時， ME 的最大值為（ 3）答：不存在由（ 2）知 ME 取最大值時 ME=，E（，）， M （，） MF= ，BF=OBOF= 設在拋物線 x 軸下方存在點 P，使以 P、M、F、B 為頂點的四邊形是平行四邊形，則 BP MF， BFPMP1（0，）或 P2（3，）精彩文檔實用標準文案2當 P1（0，）時，由（ 1）知 y=x 2x3= 3當 P2（3，）時，由（ 1）知 y=x22x3=0 P2 不

14、在拋物線上綜上所述：在 x 軸下方拋物線上不存在點 P，使以 P、M、 F、B 為頂點的四邊形是平行四邊形3（2016?義烏市模擬）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy 中，直線與 x 軸、 y 軸的交點分別為 A、B 兩點，將 OBA對折，使點 O 的對應點 H 落在直線 AB 上，折痕交 x 軸于點 C（ 1）直接寫出點 C 的坐標，并求過 A、B、C 三點的拋物線的解析式；（ 2）若（ 1）中拋物線的頂點為 D，在直線 BC上是否存在點 P，使得四邊形 ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P 的坐標；若不存在，說明理由；（ 3）若把（ 1）中的拋物線向左平移3.5 個單位，則圖象與x 軸交

15、于 F、N（點 F在點 N 的左側）兩點，交 y 軸于 E 點，則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使點 Q 到 E、N 兩點的距離之差最大？若存在，請求出點Q 的坐標；若不存在，請說明理由【解答】 解：（1）連接 CH由軸對稱得 CHAB， BH=BO，CH=CO在 CHA中由勾股定理，得AC2=CH2+AH2直線與 x 軸、 y 軸的交點分別為A、B 兩點當 x=0 時， y=6，當 y=0 時， x=8精彩文檔實用標準文案 B（0，6），A（8，0） OB=6， OA=8，在 RtAOB中，由勾股定理，得AB=10設 C（a，0）， OC=a CH=a， AH=4，AC=8a，在 Rt

16、AHC中，由勾股定理，得（ 8 a）2=a2+42 解得a=3C（3，0）設拋物線的解析式為： y=ax2+bx+c，由題意，得解得：拋物線的解析式為：（ 2）由（ 1）的結論，得D（） DF=設 BC的解析式為： y=kx+b，則有解得直線 BC的解析式為： y=2x+6設存在點 P 使四邊形 ODAP是平行四邊形， P（m，n）作 PEOA 于 E，HD 交 OA 于 F精彩文檔實用標準文案 PEO=AFD=90°，PO=DA，PODA POE=DAF OPE ADF PE=DF=n=× =P（）當 x= 時，y=2×+6=1點 P 不再直線 BC上，即直線

17、BC上不存在滿足條件的點P（ 3）由題意得，平移后的解析式為：對稱軸為： x=2，當 x=0 時， y=當 y=0 時， 0=解得：F在 N 的左邊F（，0），E（0，），N（， 0）連接 EF交 x=2 于 Q，設 EF的解析式為： y=kx+b，則有解得：精彩文檔實用標準文案 EF的解析式為： y= x解得：Q（2，）4（2016?深圳模擬）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy 中，直線與x 軸、 y 軸的交點分別為 A、B，將 OBA 對折，使點 O 的對應點 H 落在直線 AB 上，折痕交 x 軸于點 C精彩文檔實用標準文案（ 1）直接寫出點 C 的坐標，并求過 A、B、C 三點的拋物線

18、的解析式；（ 2）若拋物線的頂點為 D，在直線 BC上是否存在點 P，使得四邊形 ODAP為平行四邊形？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，說明理由；（ 3）設拋物線的對稱軸與直線BC 的交點為 T，Q 為線段 BT 上一點，直接寫出| QAQO| 的取值范圍【解答】 解：（1）點 C 的坐標為（ 3，0）（1 分）點 A、B 的坐標分別為 A（ 8， 0），B（0，6），可設過 A、B、C 三點的拋物線的解析式為y=a（x 3）（x8）將 x=0，y=6 代入拋物線的解析式，得（2 分）過 A、B、C 三點的拋物線的解析式為（3 分）（ 2）可得拋物線的對稱軸為直線，頂點 D 的坐標為，設

19、拋物線的對稱軸與x 軸的交點為 G直線 BC的解析式為 y=2x+6.4 分）設點 P 的坐標為（ x， 2x+6）解法一：如圖，作OPAD 交直線 BC于點 P，連接 AP，作 PM x 軸于點 M OPAD， POM= GAD，tanPOM=tan GAD，精彩文檔實用標準文案即解得經檢驗是原方程的解此時點 P 的坐標為（5 分）但此時，OMGA， OPAD，即四邊形的對邊 OP與 AD 平行但不相等，直線 BC上不存在符合條件的點 P（ 6 分）解法二：如圖，取OA 的中點 E，作點 D 關于點 E 的對稱點 P，作 PN x 軸于點 N則 PEO=DEA，PE=DE可得 PEN DEG

20、由，可得 E 點的坐標為（ 4，0）NE=EG= ，ON=OENE= ， NP=DG=點 P 的坐標為（5 分） x= 時，點 P 不在直線 BC上直線 BC上不存在符合條件的點P（6 分）精彩文檔實用標準文案（ 3） | QAQO| 的取值范圍是（8 分）當 Q 在 OA 的垂直平分線上與直線BC的交點時，（如點 K 處），此時 OK=AK，則| QAQO| =0，當 Q 在 AH 的延長線與直線 BC交點時，此時 | QAQO| 最大，直線 AH 的解析式為： y= x+6，直線 BC的解析式為： y=2x+6，聯(lián)立可得：交點為（ 0，6）， OQ=6，AQ=10， | QAQO| =4，

21、 | QAQO| 的取值范圍是： 0| QAQO| 45（2016?山西模擬）如圖， RtOAB 如圖所示放置在平面直角坐標系中，直角邊 OA 與 x 軸重合， OAB=90°，OA=4， AB=2，把 RtOAB 繞點 O 逆時針旋轉90°，點 B 旋轉到點 C 的位置，一條拋物線正好經過點O， C，A 三點（ 1）求該拋物線的解析式；（ 2）在 x 軸上方的拋物線上有一動點 P，過點 P 作 x 軸的平行線交拋物線于點M，分別過點 P，點 M 作 x 軸的垂線，交 x 軸于 E，F 兩點，問：四邊形 PEFM的精彩文檔實用標準文案周長是否有最大值？如果有，請求出最值，并

22、寫出解答過程；如果沒有，請說明理由（ 3）如果 x 軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使 O（原點）、 C、 H、N 四點構成以 OC為一邊的平行四邊形？若存在，求出N 點的坐標；若不存在，請說明理由【解答】 解：（1）因為 OA=4，AB=2，把 AOB繞點 O 逆時針旋轉 90°，可以確定點 C 的坐標為（ 2， 4）；由圖可知點 A 的坐標為（ 4，0），又因為拋物線經過原點，故設y=ax2+bx 把（ 2，4），（ 4， 0）代入，得，解得所以拋物線的解析式為y=x2+4x；（ 2）四邊形 PEFM的周長有最大值，理由如下：由題意，如圖所示，設點 P 的坐標為 P（ a

23、，a2+4a）則由拋物線的對稱性知OE=AF， EF=PM=42a， PE=MF=a2+4a，則矩形 PEFM的周長 L=2 4 2a+（ a2+4a） =2（a1）2+10，（ 3）在拋物線上存在點 N，使 O（原點）、C、H、N 四點構成以 OC為一邊的平行四邊形，理由如下： y=x2+4x=（ x2）2+4 可知頂點坐標（ 2，4），精彩文檔實用標準文案知道 C 點正好是頂點坐標，知道C 點到 x 軸的距離為 4 個單位長度，過點 C 作 x 軸的平行線，與 x 軸沒有其它交點，過 y= 4 作 x 軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N 點坐標所以有 x2+4x= 4 解

24、得 x1=2+， x2=2N 點坐標為 N1（2+，4），N2（2， 4）6（2015?葫蘆島）如圖，直線y=x+3 與 x 軸交于點 C，與 y 軸交于點 B，拋物線 y=ax2+x+c 經過 B、C 兩點（ 1）求拋物線的解析式；（ 2）如圖，點 E 是直線 BC上方拋物線上的一動點，當 BEC面積最大時，請求出點 E 的坐標和 BEC面積的最大值？（ 3）在（ 2）的結論下，過點 E 作 y 軸的平行線交直線 BC于點 M ，連接 AM，點 Q 是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點 P，使得以 P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在， 請直接寫出點 P 的坐標；如果不

25、存在，請說明理由精彩文檔實用標準文案【解答】 解：（1）直線 y=x+3 與 x 軸交于點 C，與 y 軸交于點 B，點 B 的坐標是（ 0， 3），點 C 的坐標是（ 4， 0），拋物線 y=ax2+x+c 經過 B、 C 兩點，解得 y= x2+ x+3（ 2）如圖 1，過點 E 作 y 軸的平行線 EF交直線 BC 于點 M，EF交 x 軸于點 F，點 E 是直線 BC上方拋物線上的一動點，2則點 M 的坐標是（ x，x+3），精彩文檔實用標準文案 EM= x2+ x+3（ x+3）= x2+ x， S BEC=S BEM+S MEC= ×（ x2+ x）× 4 =

26、x2+3x= （ x 2）2+3，當 x=2 時，即點 E 的坐標是（ 2，3）時， BEC的面積最大，最大面積是 3（ 3）在拋物線上存在點P，使得以 P、Q、A、M 為頂點的四邊形是平行四邊形如圖 2，由（ 2），可得點 M 的橫坐標是 2，點 M 在直線 y=x+3 上，點 M 的坐標是（ 2，），又點 A 的坐標是（ 2，0），AM=， AM 所在的直線的斜率是：； y= x2+ x+3 的對稱軸是 x=1，設點 Q 的坐標是（ 1，m），點 P 的坐標是（ x，x2+ x+3），精彩文檔實用標準文案則解得或， x0，點 P 的坐標是（ 3，）如圖 3，由（ 2），可得點 M 的橫坐標

27、是 2，點 M 在直線 y=x+3 上，點 M 的坐標是（ 2，），又點 A 的坐標是（ 2，0），AM=， AM 所在的直線的斜率是：； y= x2+ x+3 的對稱軸是 x=1，設點 Q 的坐標是（ 1，m），點 P 的坐標是（ x，x2+ x+3），精彩文檔實用標準文案則解得或， x0，點 P 的坐標是（ 5，）如圖 4，由（ 2），可得點 M 的橫坐標是 2，點 M 在直線 y=x+3 上，點 M 的坐標是（ 2，），又點 A 的坐標是（ 2，0），AM=， y= x2+ x+3 的對稱軸是 x=1，設點 Q 的坐標是（ 1，m），點 P 的坐標是（ x，x2+ x+3），則精彩文檔實

28、用標準文案解得，點 P 的坐標是（ 1，）綜上，可得在拋物線上存在點 P，使得以 P、Q、 A、 M 為頂點的四邊形是平行四邊形，點 P 的坐標是（ 3， ）、（5， ）、（ 1， ）7（2015?梧州）如圖，拋物線 y=ax2+bx+2 與坐標軸交于 A、B、C 三點，其中 B （ 4，0）、C（ 2，0），連接 AB、AC，在第一象限內的拋物線上有一動點 D，過 D 作 DEx 軸，垂足為 E，交 AB 于點 F（ 1）求此拋物線的解析式；（ 2）在 DE 上作點 G，使 G 點與 D 點關于 F 點對稱，以 G 為圓心， GD 為半徑作圓，當 G 與其中一條坐標軸相切時，求 G 點的橫坐

29、標；（ 3）過 D 點作直線 DH AC交 AB 于 H，當 DHF的面積最大時，在拋物線和直線 AB 上分別取 M 、N 兩點，并使 D、H、M、N 四點組成平行四邊形，請你直接寫出符合要求的 M 、N 兩點的橫坐標【解答】 解：（1） B，C 兩點在拋物線 y=ax2+bx+2 上，解得：所求的拋物線為： y=精彩文檔實用標準文案（ 2）拋物線 y=，則點 A 的坐標為（ 0，2），設直線 AB 的解析式為 y=kx+b，解得：直線 AB 的解析式為 y=x+2，設 F 點的坐標為（ x，x+2），則 D 點的坐標為（ x，），G點與 D 點關于 F 點對稱， G 點的坐標為（ x，），若

30、以 G 為圓心， GD 為半徑作圓，使得 G 與其中一條坐標軸相切，若 G 與 x 軸相切則必須由DG=GE，即x2+x+2（）=，解得： x=，x=4（舍去）；若 G 與 y 軸相切則必須由DG=OE，即解得： x=2，x=0（舍去）綜上，以 G 為圓心， GD 為半徑作圓，當 G 與其中一條坐標軸相切時， G 點的橫坐標為 2或 （ 3） M 點的橫坐標為 2±2，N 點的橫坐標為±2精彩文檔實用標準文案8（2015?資陽）已知直線y=kx+b（ k 0）過點 F（0，1），與拋物線 y=x2 相交于 B、C兩點（ 1）如圖 1，當點 C 的橫坐標為 1 時，求直線 B

31、C的解析式；（ 2）在（ 1）的條件下，點 M 是直線 BC 上一動點，過點 M 作 y 軸的平行線，與拋物線交于點 D，是否存在這樣的點 M ，使得以 M、D、O、F 為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由；（ 3）如圖 2，設 B（ mn）（ m0），過點 E（ 0 1）的直線 lx 軸， BRl于 R，CS l 于 S，連接 FR、FS試判斷 RFS的形狀，并說明理由【解答】 解：（1）因為點 C 在拋物線上，所以 C（1， ），又直線 BC過 C、F 兩點，故得方程組：解之，得，所以直線 BC的解析式為： y=x+1；（ 2）要使以 M 、D、O、F 為頂點的四邊形為平行四邊形，則 MD=OF，如圖 1 所示，設 M （x，x+1），則 D（x，x2）， MDy 軸， MD= x+1 x2，由 MD=OF，可得 | x+1x2