九年級(jí)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)初步的有關(guān)知識(shí)

1、初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)初步的有關(guān)知識(shí)一 . 本周教學(xué)內(nèi)容：復(fù)習(xí)統(tǒng)計(jì)初步的有關(guān)知識(shí)知識(shí)要點(diǎn)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等都是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本統(tǒng)計(jì)量。其中平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)是從不同角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)；方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)相對(duì)它們的平均數(shù)的離散程度的大小。（一）平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)1. 總體、個(gè)體、樣本和樣本容量?？傮w是考察對(duì)象的全體，總體中的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體。從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。2. 平均數(shù)。設(shè)樣本數(shù)據(jù)為 x1， x2 ， xn ，那么樣本平均數(shù)為： x1x2xn )( x1n加權(quán)平均數(shù)， xx1 f1 x2

2、f 2xi fi (其中， f 1 f 2fin)n3. 中位數(shù)、眾數(shù)。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)，（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。4. 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛。（二）方差與標(biāo)準(zhǔn)差1. 方差：（ 1）定義：樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)叫做該樣本的方差。（ 2）方差的計(jì)算公式：S21 ( x1x) 2( x2x) 2( xn x) 2 n（ 3）方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：S212222n( xx12xn) nx （ 4）數(shù)

3、據(jù)的規(guī)律變化對(duì)平均數(shù)、方差的影響。數(shù)據(jù)平均數(shù)方差，xnxS2x1 x2x1a， x2a， xnax aS2kx1， kx2 ， kxnk xk 2 S2kx1a， kx2a， kxnak x ak 2 S22. 標(biāo)準(zhǔn)差：樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差S1 ( x1nxx)2(2x) 2 ( xnx) 2 3.樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個(gè)樣本波動(dòng)大小的特征數(shù)，樣本方差、 標(biāo)準(zhǔn)方差越大， 表明樣本數(shù)據(jù)的波動(dòng)就越大，也就是說(shuō)穩(wěn)定性越差。（三）頻率分布：1. 頻率分布：頻率分布反映的是樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小，從而估計(jì)總體的分布規(guī)律。2. 獲得一組數(shù)據(jù)頻率分布的一般步驟：（ 1）計(jì)

4、算最大值與最小值的差。（ 2）決定組距和組數(shù)。（ 3）決定分點(diǎn)。（ 4）列頻率分布表。（ 5）畫頻率分布直方圖。3. 有關(guān)的名詞：在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)；每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率。頻數(shù)頻數(shù)即：頻率樣本容量數(shù)據(jù)總數(shù)在頻率分布直方圖里：頻率小長(zhǎng)方形的面積組距×頻率組距頻率1× 頻數(shù)小長(zhǎng)方形的高組距 ×數(shù)據(jù)總數(shù)組距例 1.為了考察北京市初中畢業(yè)升學(xué)數(shù)學(xué)考試的情況，從十二萬(wàn)五千考生中抽取了1200 名考生的成績(jī)，在下列說(shuō)法中正確的是（）A. 十二萬(wàn)五千名考生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的總和是總體B. 每個(gè)考生考試成績(jī)是個(gè)體C. 1200

5、名考生是樣本D. 1200名考生的成績(jī)是樣本容量分析： 本題主要考查對(duì)四個(gè)基本概念的理解，這里的考察對(duì)象是考生的“數(shù)學(xué)成績(jī)”，而不是“學(xué)生” 。因此，十二萬(wàn)五千名考生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)是總體，每個(gè)考生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)是個(gè)體。1200 名考生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)是總體的一個(gè)樣本，1200 是樣本容量，故選B。例 2.為制定本市初中一、二、三年級(jí)學(xué)生校服的生產(chǎn)計(jì)劃，有關(guān)部門準(zhǔn)備對(duì)180 名初中男生的身高作調(diào)查，現(xiàn)有三種調(diào)查方案：A.測(cè)量少年體校中180 名男子籃球、排球隊(duì)員的身高B.查閱有關(guān)外地180 名男生身高的統(tǒng)計(jì)資料C.在本市的市區(qū)和郊縣各任選一所完全中學(xué)、兩所初級(jí)中學(xué)，在這幾所學(xué)校有關(guān)年級(jí)的（1）班中

6、，用抽簽的方法分別選出10 名男生，然后測(cè)量他們的身高為了達(dá)到估計(jì)本市初中這三個(gè)年級(jí)男生身高分布的目的，你認(rèn)為采用上述哪一種調(diào)查方案比較合理，為什么？分析： 本題要求從所給的三種調(diào)查方案中選出合理的方案并闡釋理由，這需要領(lǐng)悟統(tǒng)計(jì)的基本思想，才能做出正確選擇及合理說(shuō)明。解： 方案 C 比較合理，因?yàn)榉桨?C 采用了隨機(jī)抽樣的方法，隨機(jī)抽樣比較具有代表性，符合用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想。例 3.求下列各組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。（ 1） 0.1 ， 0.3 ， 0.6 ， 0.2 ， 0.4（ 2） 39， 29， 31， 36，38， 37（ 3） 3.7 ， 3.5 ， 3.5 ， 3.6 ， 3.5 ，

7、 3.7 ， 3.7分析：（1）中有五個(gè)數(shù)據(jù)，大小比較分散，宜用定義法。（ 2）中的六個(gè)數(shù)據(jù)，都比較接近35，可用新數(shù)據(jù)法。（ 3）中一些數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)多次，可選擇加權(quán)平均數(shù)公式來(lái)求。解： (1)x1 ( . )0 10 30 60 20 451 ×0.6012.5（ 2）取 a=35，用原數(shù)據(jù)分別減去35，得到新數(shù)據(jù)是：4 ， 6， 4， 1， 3， 2 x'1(4 64132)06 原數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 x x' a 0 35 35（ 3）數(shù)據(jù)中 3.7 出現(xiàn) 3 次， 3.5出現(xiàn) 3 次，3.6 出現(xiàn) 1次則 x1 (3.7× 3 3.5× 3 3

8、6.)71 × 252. 3.67例 4. 某公司欲聘請(qǐng)一位員工，三位應(yīng)聘者A、 B、 C 的原始評(píng)分如下表評(píng)分項(xiàng)目原始評(píng)分儀表工作經(jīng)驗(yàn) 電腦操作 社交能力 工作效率應(yīng)聘人A45533B43344C33445如果按五項(xiàng)原始評(píng)分的平均數(shù)評(píng)分，誰(shuí)將被聘用？如果按儀表、工作經(jīng)驗(yàn)、 電腦操作、社交能力、工作效率的原始評(píng)分分別占10%、 15%、 20%、 25%、 30%綜合評(píng)分，誰(shuí)將被聘用？解： (1) 計(jì)算可得： x A4， x B3.6， xC38. 按原始評(píng)分的平均分，應(yīng)聘人 A 最高，將被錄用。（ 2）按第二種方法綜合評(píng)分，得xA=3.8 ， xB=3.65 ， xC=4.05 ，

9、故應(yīng)聘人 C 得分最高，將被錄用。注：按原始評(píng)分的平均數(shù)評(píng)分，突出了“工作經(jīng)驗(yàn)”和“電腦操作” ，按后一項(xiàng)方法綜合評(píng)分突出“社交能力”和“工作效率” ，各有所長(zhǎng)。例 5.一家鞋店在一段時(shí)間里銷售了某種女鞋20 雙，其中各種尺碼的鞋的銷售量如表所示：鞋的尺碼 (cm) 302820232125銷售量（雙）512354指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)。分析： 數(shù)據(jù)頻數(shù)最高的數(shù)就是眾數(shù)，由于20 是偶數(shù)，所以排在最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)。解： 這組數(shù)據(jù)中， 30、 21 出現(xiàn)的頻數(shù)都是5，最多，因此眾數(shù)是30cm，21cm，將這 20個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，最中間的兩個(gè)數(shù)為 23， 25，故中位數(shù)為 23

10、2524cm。2注： 1.一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè)。2. 本題求中位數(shù)，在排列數(shù)據(jù)時(shí)，易犯如下錯(cuò)誤：排列數(shù)據(jù)20， 21， 23，25， 28，30中位數(shù)為 232524cm。2例 6.為 32，后有 14 個(gè)數(shù)據(jù)， 由小到大排列， 其平均數(shù)為 34，現(xiàn)在有一位同學(xué)求得這組數(shù)據(jù)前 8 個(gè)數(shù)的平均數(shù)為 36，求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。8 個(gè)數(shù)的平均數(shù)分析：這一組數(shù)據(jù)共有14 個(gè)數(shù)，且排列順序是由小到大排列的，那么中位數(shù)應(yīng)該是最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，只需求出最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)或它們的和即可。解： 設(shè)這組數(shù)據(jù)前6 個(gè)數(shù)據(jù)的和為x，中間兩數(shù)據(jù)的和為y，后6 個(gè)數(shù)據(jù)的和為z，由題意，得：xyz 34×

11、; 14 xy32× 8y z 36× 8，得y=68最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為34，故這 14 個(gè)數(shù)的中位數(shù)是34。例 7. 如圖所示，矩形零件，使矩形的一邊在ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成一個(gè)AB、 AC上，設(shè)該矩形的長(zhǎng)QM=y毫米，寬MN=x毫米。（ 1）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式。（ 2）當(dāng) x 與 y 分別取什么值時(shí)，矩形PQMN的面積最大？最大面積為多少？（ 3 ） 當(dāng) 矩形 PQMN的 面 積最 大 時(shí) ， 它 的長(zhǎng) 和 寬 是 關(guān) 于 t的一元二次方程t 210 pt200q 0的

12、兩個(gè)根，而 p、 q的值又恰好分別是 a， 10， 12， 13， b這 5個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)，試求a 與 b 的值。分析： 本題綜合性強(qiáng)，內(nèi)容涉及幾何、函數(shù)、方程、統(tǒng)計(jì)知識(shí)。解：（ 1）由題意知， APN ABC PNAE ，即y80 xy1203x， (0x80)BCAD120802（ 2）設(shè)矩形 PQMN的面積為 S則 Sxy x(1203 x)3 x 2120x3 (x40)22400， (0x)22280 當(dāng) x40時(shí)， S有最大值 2400，此時(shí) y24006040故當(dāng) x=40 毫米， y=60 毫米時(shí)，矩形 PQMN面積最大，最大面積為2400 平方毫米。406010pp10

13、(3) 由根與系數(shù)的關(guān)系，得q12×60200q40 a， 10， 12， 13， b 眾數(shù)為 10 a=10 或 b=10當(dāng) a10時(shí)，有 10 10 12 13 b12， b 155當(dāng) b=10 時(shí)，同理可得 a=15。例 8.從甲、乙兩種農(nóng)作物中各抽取10 株苗，分別測(cè)得它們的苗高如下（單位：cm）：甲： 9， 10， 11， 12， 7， 13， 10，8， 12，8；乙： 8， 13， 12， 11， 10， 12， 7，7， 9， 11。問(wèn)：（ 1）哪種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得比較高？（ 2）哪種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得比較整齊？分析： 比較兩種農(nóng)作物苗高的平均數(shù)可得出哪種農(nóng)作物長(zhǎng)得高，計(jì)算

14、出兩種農(nóng)作物苗高的方差，通過(guò)比較可得出哪種農(nóng)作物長(zhǎng)得比較整齊。解： (1) x 甲1(9 10 118)101 (810x 乙13 1211)1010x甲x 乙兩種農(nóng)作物的苗平均高度相同。( 2)21 () 2() 2(8)2 .S甲109 101010103 61S乙2(810)2(1310) 2(1110)24.210S甲2S乙2甲種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得比較整齊。答：甲、乙兩種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得一般高，甲種農(nóng)作物的苗長(zhǎng)得比較整齊。例 9. 一組數(shù)據(jù) 1， 2， 3， x， 1， 2， 3，其中 x 是小于 10 的正整數(shù)，且數(shù)據(jù)的方差是整數(shù)，求該數(shù)據(jù)的方差。分析： 本組數(shù)據(jù)中有未知數(shù)據(jù)，要求方差，必

15、須先求出未知數(shù)據(jù)，而建立方差與未知數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。1(1 23x12x解： x3)77S21 122232x 2( 1)2( 2)2( 3)22 x71 ( 28 x2 )(x ) 246x 27749又 x 是小于10 的正整數(shù)， S2 是整數(shù) x=7x7S246× 721049例 10. 在對(duì)某班的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析中，各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)如圖所示（分?jǐn)?shù)取正整數(shù)，滿分為 100 分），請(qǐng)觀察圖形，并回答下列問(wèn)題：（ 1）該班有 _名學(xué)生；（ 2） 69.579.5 這一組的頻數(shù)是 _ ，頻率是 _；（ 3）請(qǐng)估算該班這次測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)。分析： 圖表反映了每一分

16、數(shù)段所對(duì)應(yīng)的人數(shù)，這是理解圖表語(yǔ)言的關(guān)鍵。解：（ 1）該班人數(shù)為：6+8+10+18+16+2=60（人）(2) 分?jǐn)?shù)為 69.5 79.5這一組的有18人，故頻率為 180.360( 3)(x1 45×655×865×10 75×18 85×1695× 2) 71(分 )60該班這次測(cè)驗(yàn)的平均成績(jī)約為71 分。1. 一組數(shù)據(jù) 2， 4， 6， a，b 的平均數(shù)為 10，（ 1）求 a， b 的平均數(shù)。（ 2）求 4a+7，4b+10 的平均數(shù)。2. 有 10 個(gè)樣本數(shù)據(jù)， 2 出現(xiàn)過(guò) 4 次， 2.5 出現(xiàn)過(guò) 4 次， 3 出現(xiàn)過(guò)

17、2 次，求樣本平均數(shù)和方差。3. 已知數(shù)據(jù) a， a， b， c，d， b， c， c，且滿足 a<b<c<d，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)。4.已知一組數(shù)據(jù)的方差為S2，將這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都乘以R，證明所得的一組新數(shù)的方差是R2S2。5. 已知一組數(shù)據(jù) 4， 8， x， 5， 9 的平均數(shù)為 y，且 x、 y 是方程 Z210Z 240 的兩根，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)。6.某班有 48 名學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，此班學(xué)生中最高得分100 分，最低得分51 分，分?jǐn)?shù)只取整數(shù)，統(tǒng)計(jì)其成績(jī)，繪制出頻率分布直方圖如圖，圖中從左到右的小長(zhǎng)方形的高度比是1： 3：6：

18、4： 2，求分?jǐn)?shù)在 70.5 到 80.5 之間的人數(shù)。7. 一次科技知識(shí)競(jìng)賽，兩組學(xué)生成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：分?jǐn)?shù)5060708090100人甲組251013146數(shù)乙組441621212已經(jīng)算得兩個(gè)組的人均分都是 80 分，請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)， 進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組這次競(jìng)賽中成績(jī)誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣，并說(shuō)明理由。 參考答案 1. （ 1）19（ 2） 84.52.x2 4，S2014.3.眾數(shù) c；中位數(shù) bc ；平均數(shù) 2a2b 3c d 。285.解： x、 y 是方程 Z 210Z 240 的兩根。x4x66或4yyx6又當(dāng) x=6 時(shí)，數(shù)據(jù) 4， 8， x， 5， 9 的平均數(shù)不可能為4，故舍去。y4x4原數(shù)據(jù)為4，8， 4， 5，9y6眾數(shù)為4，中位數(shù)為5，平均數(shù)