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1、ODEPP P到到OAOA的距離的距離P P到到OBOB的距離的距離角平分線上的點(diǎn)角平分線上的點(diǎn)幾何語言描述:幾何語言描述: OC OC平分平分AOBAOB, 且且PDOAPDOA, PEOBPEOB PD= PEPD= PEACB 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì):角平分線的性質(zhì):不必再證全等不必再證全等 如圖,由如圖,由 于點(diǎn)于點(diǎn) D , 于點(diǎn)于點(diǎn) E,PD= PE , 可以得到什么可以得到什么結(jié)論結(jié)論 ? OBPE PD OA 已知:如圖,已知:如圖, , ,垂足分別是,垂足分別是 A、B,PD=PE , 求證:點(diǎn)求證:點(diǎn)P在在
2、的角平分線上。的角平分線上。AOBOAPD OBPE BADOPE 已知:如圖,已知:如圖, , , 垂足分別是垂足分別是 D、E,PD=PE, 求證:點(diǎn)求證:點(diǎn)P在在 的角平分線上。的角平分線上。AOB OAPD OBPE 證明: 90PEOPDO作射線OP 點(diǎn)點(diǎn)P在在 角的平分線上角的平分線上AOB 在 RtPDO 和RtPEO 中,( HL)BOPAOP (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等) OP = OP (公共邊公共邊)PD = PE ( 已已 知知 )PEORt PDORt 角平分線角平分線的判定的判定BADOPEOAPD OBPE 角平分線的判定角平分線的判定的應(yīng)用書寫格式的應(yīng)用書寫格式:
3、OP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE PD= PE (到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn), 在這個(gè)角的平分線上)DEOPAB角平分線的性質(zhì):角平分線的性質(zhì):角平分線的判定角平分線的判定BADOPECPD = PEOP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE OP 是是 的平分線的平分線AOBPD = PEOAPD OBPE 用途:證線段相等用途:證線段相等用途:判定一條射線是角平分線用途:判定一條射線是角平分線練一練練一練填空:填空:(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)ACDEB121= 2DC=DE到一個(gè)
4、角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角平分線上。到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角平分線上。在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等例例1.1.如圖,在如圖,在ABCABC中,中,DD是是BCBC的中點(diǎn),的中點(diǎn),DEABDEAB,DFACDFAC,垂足分別是,垂足分別是E E、F F,且且BEBECFCF。求證:。求證:ADAD是是ABCABC的角平分線。的角平分線。A AB BC CE EF FDD已知:如圖,已知:如圖,BEBEACAC于于E E, CFCFABAB于于F F,BEBE、CFCF相交于相交于DD, BD=CD BD=CD 。求證:求證: ADA
5、D平分平分BAC BAC 。ABCFED課堂練習(xí)課堂練習(xí)拓展與延伸3、已知:BDAM于點(diǎn)D,CEAN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在A的平分線上.A A A A A A ADNE BFMCA3、已知、已知PA=PB, 1+ 2=1800, 求證:求證:OP平分平分AOBAOBP12EFABCPEDFMN例題例題2.2.如圖,如圖,ABCABC的角平分線的角平分線BMBM、CNCN相交相交于點(diǎn)于點(diǎn)P P。求證:點(diǎn)。求證:點(diǎn)P P也在也在A A的平分線上。的平分線上。證明:過點(diǎn)證明:過點(diǎn)P P作作PDABPDAB于于DD,PEBCPEBC于于E E, PFACPFAC于于F F
6、證明:過點(diǎn)證明:過點(diǎn)P作作PD 、PE、PF分別垂直分別垂直于于AB、BC、CA,垂足為,垂足為D、E、F BM是是ABC的角平分線,點(diǎn)的角平分線,點(diǎn)P在在BM上(已知)上(已知) PD=PE (在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等) 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)即點(diǎn)P到邊到邊 AB、BC、CA的距離相等的距離相等隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)3 已知:如圖,已知:如圖,ABC的的B的外角的平分的外角的平分線線BD和和C的外角平的外角平分線分線CE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P。求證:點(diǎn)求證:點(diǎn)P在在BAC的的平分線上。平分線上。CA B P DE練習(xí):練習(xí): 8
7、、如圖,三條公路相交,現(xiàn)在要修、如圖,三條公路相交,現(xiàn)在要修建一加油站,使加油站到三條公路的距建一加油站,使加油站到三條公路的距離相等,問加油站該選在什么位置上?離相等,問加油站該選在什么位置上?3、 如圖,在直線l上找出一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到AOB的兩邊OA、OB的距離相等 (第 3 題) 在一個(gè)角的內(nèi)部且在一個(gè)角的內(nèi)部且到角到角的兩邊距離相等的兩邊距離相等的的點(diǎn)點(diǎn),在在這這個(gè)個(gè)角角的的角平分線上角平分線上1、如圖所示,、如圖所示,BF與與CE相交于相交于D,BD=CD,BFAC于于F,CEAB于于E。求證:點(diǎn)。求證:點(diǎn)D在在BAC的角平分線上。的角平分線上。EABDCF例、如圖,例、如圖,AB
8、C的角平分線的角平分線BM,CN相交于點(diǎn),求證:相交于點(diǎn),求證:點(diǎn)到三邊點(diǎn)到三邊B,BC,CA的距離相等。的距離相等。ABCMNPEFD證明:過點(diǎn)證明:過點(diǎn)P作作PD,PE,PF分別垂直于分別垂直于AB,BC,CA,垂足為,垂足為D,E,F(xiàn)。是是ABC的角平分線,的角平分線,點(diǎn)點(diǎn)P在在BM上上PD=PE同理同理PD=PE=PF即點(diǎn)即點(diǎn)P到三邊,到三邊,CA的距離相等。的距離相等。證明:三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)證明:三角形三條角平分線相交于一點(diǎn) 4 4、如圖,已知如圖,已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的的平分線相交于點(diǎn)平分線相交于點(diǎn)F F,求證:點(diǎn)求證:點(diǎn)F F在在D
9、AEDAE的平分的平分線上線上 GHP2、如圖:、如圖:AD是是ABC的角平分線,的角平分線,DEAB、DFAC,垂足分別為,垂足分別為E、F連接連接EF,EF與與AD交于交于G,AD與與EF垂直嗎?垂直嗎?ACBEFGD課內(nèi)拓展延伸 如圖,如圖,ABC中,點(diǎn)中,點(diǎn)O是是BAC與與ABC的平分線的的平分線的交點(diǎn),過交點(diǎn),過O作與作與BC平行的直線分別交平行的直線分別交AB、AC于于D、E已已知知ABC的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為15,BC的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為6,求,求ADE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). CBAEDOCBAEDO1 1:畫一個(gè)已知角的角平分線;:畫一個(gè)已知角的角平分線;及畫一條已知直線的垂線;及畫一條已知直線的垂線;2 2:角平分線的性質(zhì):角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等3 3:角平分線的判定結(jié)論:角平分線的判定結(jié)論:到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上。到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上。判定:到角的兩邊的距離相判定:到角的兩邊
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