工程問題的數(shù)量關(guān)系對(duì)解決問題中數(shù)量關(guān)系教學(xué)的再思考

1、工程問題的數(shù)量關(guān)系對(duì)“解決問題”中數(shù)量關(guān)系教學(xué)的再思考 內(nèi)容摘要 本文從當(dāng)前“解決問題”教學(xué)過程中教師們熱議的 話題著手，理性地分析了傳統(tǒng)應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系教學(xué)的優(yōu)勢(shì)與不足， 結(jié)合當(dāng)前新課改對(duì)解決問題教學(xué)的價(jià)值取向， 對(duì)解決問題教學(xué)過程中 數(shù)量關(guān)系的剖析、 數(shù)量關(guān)系的提煉與概括以及分析數(shù)量關(guān)系的基本方 法這三個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)合自己的實(shí)踐談了自己的觀點(diǎn)和思考。 關(guān)鍵詞 解決問題 數(shù)量關(guān)系 數(shù)學(xué)教學(xué)從最近對(duì)不少一線教師的訪談中筆者發(fā)現(xiàn)， 對(duì)于傳統(tǒng)“應(yīng)用題” 教學(xué)與新課程“解決問題” 教學(xué)兩者關(guān)系的認(rèn)識(shí)不清是他們深感困惑 的問題。一方面，從過去我們熟悉的以培養(yǎng)學(xué)生解題能力為目的的 “應(yīng) 用題”教學(xué)到新課程以發(fā)

2、展學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力為核心的“解決問題” 的教學(xué)，許多教師面對(duì)教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容體系、編排呈現(xiàn)方式的巨大變 化而感到無所適從；另一方面，由于沒有準(zhǔn)確把握教材的編排體系， 不少教師在“解決問題”的教學(xué)中缺乏全局意識(shí)， 導(dǎo)致了教學(xué)的“脫 節(jié)”、 學(xué)生解題能力的下降。而作為曾經(jīng)是 “應(yīng)用題”教學(xué)核心的 “數(shù) 量關(guān)系”教學(xué)，自課改開始就備受關(guān)注， “解決問題要不要突出數(shù) 量關(guān)系 ? ?”“在解決問題教學(xué)中如何看待數(shù)量關(guān)系的作用 ? ?”“傳統(tǒng)數(shù)量關(guān)系教學(xué)的優(yōu)勢(shì)如何在當(dāng)前的教學(xué)中發(fā)揮其應(yīng)有的功能 ? ?”筆者 就這些問題，進(jìn)行了以下思考：一、對(duì)數(shù)量關(guān)系的剖析- 數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)要“從學(xué)生已有

3、的生活經(jīng)驗(yàn) 出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用 的過程”。這個(gè)過程就是數(shù)學(xué)化的過程，而讓學(xué)生具有數(shù)學(xué)化的能力 便是“解決問題”教學(xué)所要達(dá)成的目標(biāo)之一。1 1 重視解決問題過程中的兩次轉(zhuǎn)化。 (xx.3)(xx.3) 刊登了北京師范大學(xué)周玉仁教授關(guān)于“解決問題” 教學(xué)若干問題的思考，其中第一個(gè)觀點(diǎn)就足以讓我們靜下心來認(rèn)真審 視當(dāng)前的教學(xué)。文中指出，小學(xué)生在解決問題的過程中，實(shí)質(zhì)上是完 成了兩次認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化，第一個(gè)轉(zhuǎn)化是指從紛亂的實(shí)際問題中收集、 觀察、比較、篩選出有用的信息從而抽象出數(shù)學(xué)問題；第二個(gè)轉(zhuǎn)化是 根據(jù)已經(jīng)抽象出的數(shù)學(xué)問題， 全面分析其中的數(shù)量關(guān)系， 從而探索出

4、 解決問題的方法， 進(jìn)而在實(shí)踐中進(jìn)行檢驗(yàn)和運(yùn)用。 這兩個(gè)轉(zhuǎn)化是相輔 相成、缺一不可的。 傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的一大弊端就是過于重視第二次 轉(zhuǎn)化而忽視了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、 提出問題的過程； 而課改后的教學(xué)又將 關(guān)注的重心過多地放在對(duì)信息的收集、 上，對(duì)數(shù)量關(guān)系的形成與分析 顯得比較單薄，導(dǎo)致教學(xué)從“生活情境”直接走向“應(yīng)用”，忽視了 “數(shù)量關(guān)系形成”這個(gè)重要的數(shù)學(xué)建模的過程。這樣的教學(xué)，勢(shì)必會(huì) 削弱學(xué)生解決問題時(shí)的思考過程， 縮小學(xué)生的數(shù)學(xué)理解的空間， 這與 新課程要求“解決問題”教學(xué)所要達(dá)到的目標(biāo)相去甚遠(yuǎn)。因此，作為 一線的教師，我們應(yīng)該清晰地看到， 新課程中對(duì)解決問題的教學(xué)改革， 數(shù)量關(guān)系的教學(xué)仍是重

5、要環(huán)節(jié)，它承載著學(xué)生的認(rèn)知“由表及里”、 “由淺入深”的質(zhì)的飛躍。2 2 重視數(shù)量關(guān)系形成過程和運(yùn)用過程的有機(jī)統(tǒng)一。在以往的數(shù)量關(guān)系教學(xué)中， 由于教師過于重視學(xué)生對(duì)運(yùn)用數(shù)量 關(guān)系解決問題的牢固掌握， 就把課堂教學(xué)的大部分時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行辨 認(rèn)題型以及解決問題的操練， 以使學(xué)生在短期內(nèi)形成熟練的解題技巧。 但是，現(xiàn)實(shí)生活中，不可能出現(xiàn)問題情境正好與應(yīng)用題體系的某個(gè)題 型完全匹配的現(xiàn)象，也正是基于現(xiàn)實(shí)的需要，新課程才將“解決問題” 滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)始終，并降低了對(duì)信息素材的加工程度，還原數(shù)學(xué)問 題的生活原貌，力求通過讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)新情境中數(shù)學(xué)問題的解決過程， 發(fā)展他們的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)能力。因此，傳統(tǒng)應(yīng)用

6、題教學(xué)留下“熟悉 類型一一識(shí)別類型一一套用解題方法”的基本模式，以現(xiàn)在的眼光來 看，是有很大局限性的，類似這樣機(jī)械的數(shù)量關(guān)系教學(xué)并不可取。很 多研究表明，在良好的教學(xué)情境下，學(xué)生解決問題時(shí)不是把問題和類 型相聯(lián)系，而是將情境中的問胚與運(yùn)算意義相聯(lián)系。因而。我們必須 將數(shù)量關(guān)系的形成過程和運(yùn)用過程有機(jī)地結(jié)合起來， 在從“現(xiàn)實(shí)情境” 抽象出“數(shù)學(xué)問題”的數(shù)量關(guān)系形成過程中，不必要求學(xué)生在語言表 述上作過多精致的表述，而應(yīng)該提供相對(duì)真實(shí)的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生在 解決實(shí)際問題的過程中動(dòng)態(tài)探索、 理解感悟數(shù)量關(guān)系。這種明顯帶有 個(gè)體“數(shù)學(xué)思考”成分的數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的關(guān) 鍵所在，理應(yīng)被廣大

7、教師所重視。因此，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)不能厚此薄 彼，重“運(yùn)用”輕“形成”。而應(yīng)將它們有機(jī)地統(tǒng)一在解決問題的教 學(xué)過程中。、對(duì)數(shù)量關(guān)系的提煉與概括一一結(jié)構(gòu)化遷移的重要環(huán)節(jié)1 1 注重基本數(shù)量關(guān)系的原始積累新教材編寫的一大特色就是將“數(shù)與運(yùn)算”融入生活問題情境 中， 在解決問題過程中引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算意義，掌握算法。同時(shí)，又 通過對(duì)解決問題過程的回顧， 進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的內(nèi)化。 因 此，四則運(yùn)算的意義在解決問題中的作用是舉足輕重的， 是數(shù)量關(guān)系 最為基本的模型。 教師要充分領(lǐng)會(huì)教材編寫循序漸進(jìn)的原則。 引導(dǎo)學(xué) 生將情境中的問題與運(yùn)算意義相聯(lián)系，充分經(jīng)歷思考與體驗(yàn)的過程。 例如，同樣是教學(xué)加法，

8、一年級(jí)教材通過多種不同的呈現(xiàn)方式讓學(xué)生 感知：一上教材 4040 頁“3 3 個(gè)男生和 2 2 個(gè)女生在澆花，澆花的一共有 多少人？” 一一兩部分合并（靜態(tài)），“ 3 3 個(gè)人在澆花，又來了 2 2 個(gè)人， 現(xiàn)在有多少人？” 一一在原有的基礎(chǔ)上增加一部分（動(dòng)態(tài)）;二上教材 2626 頁的“紅花片有 1111 個(gè)，綠花片比紅花片多 3 3 個(gè),綠花片有幾個(gè)？”一一 在“比較”情境中求較大的量等。只有以各種方式不斷拓展對(duì)運(yùn)算本 質(zhì)的理解，才能逐步完善學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的建構(gòu)。在此過程中，學(xué)生 也會(huì)有意識(shí)地思考情境中的問題與數(shù)學(xué)意義的聯(lián)系。 基本數(shù)量關(guān)系的 教學(xué)也得到潛移默化的滲透，如：部分量 + +部

9、分量= =總量、較小量 + +相 差量= =較大量等，這種原始的積累，為學(xué)生解決問題能力的發(fā)展奠定 了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。2 2 注重常見數(shù)量關(guān)系的抽象概括。數(shù)量關(guān)系除了有按加、減、乘、除意義的基本數(shù)量關(guān)系，也有密切結(jié)合某些實(shí)際素材的常見數(shù)量關(guān)系。如“單價(jià)X數(shù)量二總價(jià)”、“工作效率X工作時(shí)間二工作總量”等。這些數(shù)量關(guān)系的得出，都必 須經(jīng)過一個(gè)梳理和歸納的過程。 而運(yùn)用數(shù)學(xué)語言來提煉數(shù)量關(guān)系是此 項(xiàng)過程中不可或缺的重要環(huán)節(jié)。 面對(duì)一個(gè)問題情境， 教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生 基于自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)自主構(gòu)建“原生態(tài)”的數(shù)量關(guān)系，在此基礎(chǔ) 上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步轉(zhuǎn)換思維視角，從而獲得更為簡(jiǎn)約、更 為概括的數(shù)量關(guān)系模型

10、，進(jìn)而通過對(duì)這一數(shù)量關(guān)系模型的變式運(yùn)用， 實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)化遷移。例如面對(duì)這樣一個(gè)問題情境： “做一個(gè)長(zhǎng) 6 6 厘米、寬 5 5 厘米、高 4 4 厘米的長(zhǎng)方體紙盒，至少需要用多少平方厘 米的紙板 ? ?”學(xué)生在理解長(zhǎng)方體的特征基礎(chǔ)上獨(dú)立探索并嘗試用自己 的語言表述數(shù)量關(guān)系： 長(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面面積相等，所以只要先求 3 3 組相對(duì)的面的面積，再相加。即長(zhǎng)X寬X2+2+寬X高X2+2+長(zhǎng)X高X2 2; 在教師的進(jìn) 一步引導(dǎo)下，學(xué)生可以轉(zhuǎn)換思考角度，將長(zhǎng)方體的 6 6 個(gè)面分為相同的 2 2 組，先可以求出每組相對(duì)的面中的一個(gè)面的面積， 相 加后乘上 2 2。由此產(chǎn)生了新的數(shù)量關(guān)系。即（長(zhǎng)X寬

11、+ +寬X高+ +長(zhǎng)X高）X2 2。兩種數(shù)量關(guān)系的形成都從不同的角度反映了數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián) 系。像這樣，讓學(xué)生經(jīng)歷從多角度思考問題， 對(duì)發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維、 提高思維的靈活性和敏捷性會(huì)起到很大的作用。 由此可見， 新課程并 沒有舍棄數(shù)量關(guān)系的抽象，而是要求創(chuàng)新數(shù)量關(guān)系的教學(xué)方法， 強(qiáng)調(diào) 在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)理解的前提下進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的抽象概括。三、分析數(shù)量關(guān)系的基本方法解決問題的基本策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)和利用數(shù)量關(guān)系是解決實(shí)際問題的途徑，通過信息明確把握數(shù)量關(guān)系。 既是可操作的方法， 也是解決問題的策 略。當(dāng)然，解決問題的策略是多種多樣的， 有些適合于解決常規(guī)問題， 有些適合于解決一些特殊問題。 教

12、師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過感悟、 體驗(yàn)不斷 形成具有個(gè)性的解題策略， 鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新， 但同時(shí)也應(yīng)重視學(xué)生對(duì)一 些基本解題策略的掌握。1 1 分析數(shù)量關(guān)系的基本方法需熟練運(yùn)用。對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)中仍有許多經(jīng)驗(yàn)值得我們借鑒。例如，分析法、綜合法、作圖法等等，這些對(duì)提高學(xué)生思維能 力和解決問題能力十分有幫助。 并且，這些基本的方法有別于針對(duì)解 決某類典型題的單項(xiàng)技能技巧， 具有廣泛的基礎(chǔ)性、 遷移性和普適性， 是解決任何問題都需要具備的最基本的能力。因此，在教學(xué)中。我們 仍要重視讓學(xué)生運(yùn)用“綜合思維”及“分析思維”對(duì)一些常規(guī)問題進(jìn) 行比較完整的“說理訓(xùn)練”，即結(jié)合對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析說出解題思路，

13、通過這種“出聲的思維”來暴露學(xué)生的思維過程、強(qiáng)化思維成果，從 而發(fā)展思維能力。 由于上述兩種思維模型都是對(duì)事物之間本質(zhì)聯(lián)系的 把握，為學(xué)生指明了思考問題的方向，因此，學(xué)生解決問題就有了最 基本的方法。2 2 分析數(shù)量關(guān)系的基本方法應(yīng)與解決問題策略相互滲透?，F(xiàn)實(shí)情況的紛繁復(fù)雜有時(shí)也為學(xué)生將具體問題抽象成數(shù)學(xué)問題 設(shè)置了不小的障礙，有些問題結(jié)構(gòu)還很特殊。因此，并非所有的問題 都能通過上述兩種基本方法輕易找到其隱含的數(shù)量關(guān)系。 除了最基本 的分析問題的方法之外， 學(xué)生還很有必要具備相應(yīng)的解決問題的多種 策略。為了發(fā)展學(xué)生的策略意識(shí)，教材也在第二學(xué)段每?jī)?cè)均開辟“解 決問題的策略”這一獨(dú)立單元。通過教材

14、循序漸進(jìn)的介紹，一些如列 表、枚舉、還原、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等基本的解題策略也為師生們熟知和應(yīng) 用。在具體的解決問題的過程中， 我們不能僅以數(shù)量關(guān)系的分析來代 替學(xué)生個(gè)性不一的解題策略的運(yùn)用， 而應(yīng)將分析數(shù)量關(guān)系的基本方法 和解決問題的策略有機(jī)結(jié)合， 在它們的共同作用下找到解決問題的途 徑和方法：首先， 運(yùn)用分析與綜合的方法，弄清現(xiàn)實(shí)情境中的條件和問題之間的數(shù)量關(guān)系，選擇一些解決問題的有效策略并構(gòu)建恰當(dāng)?shù)臄?shù) 學(xué)模型，用數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形簡(jiǎn)潔、清晰地表 達(dá)出來，接著，在建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)演算， 求出問題的解，最后，把數(shù)學(xué)模型中得到的解返回到問題中去，檢驗(yàn) 是否使問題得到了解決。有時(shí)，在解決問題的過程中，為了能夠幫助 學(xué)生理解信息中隱含