(完整版)勾股定理思維導圖+題型總結

1、7（一）勾股定理1：勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么a2+b2二c2較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”要點詮釋：2、勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系， 是直角三角形的重要性質之一，其主要應用:（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在 ABC中，C 90，則c . a2 b2，b . c2 a2， ab）（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題3:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是 圖形經

2、過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變 根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法4SS正方形EFGH綣方形ABCD14 ab2(ba)2，化簡可證.方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S 4 -ab c222ab c222大正方形面積為S （a b） a 2abb22 2 2所以a b c方法三:2(a b) (a b)S梯形2S ADES ABE1ab2c，化簡得證ba4:勾股數2 2 2 能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即a b c中，a, b, c為正

3、整數時，稱a，b， c為一組勾股數 記住常見勾股數可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ； 8,15,17 ； 9,40,41等 用含字母的代數式表示n組勾股數:2 2n 1,2n,n 1（ n 2, n 為正整數）；2 22n 1,2n 2n,2 n 2n 1（ n 為正整數）22小22m n ,2 mn,mn （ m n, m， n 為正整數）5、注意:(1) 勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的(2) 勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關 系的題目。的主要錯誤。(4)

4、推理格式:(3) 勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯 ABC為直角三角形 AC2+bC=aB.(或 a2+b2=c2)(二)勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長分別為：a、b、c,且滿足a2+b2= c2,那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：(1) 首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c ；(2) 驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2= a2+b2,則厶ABC是以/ C為直角的直角三 角形(若c2>a2+b2,

5、則厶ABC是以/ C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2,則厶ABC為銳角三角形)999（定理中a , b , c及a b c只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長 a ,2 2 2b，c滿足a c b ,那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是 b為斜邊）3:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。4:互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆

6、命題。六、隨堂練習C的對邊分別為a、b和c1 .在 Rt ABC 中，C 90， A、 B、若a 2，b 4，則c= ;斜邊上的高為:若b 3，c 4,則a=.斜邊上的高為.a 3若b ，且c "0，則a= ，b .斜邊上的高為_b 1若c 2，且a 3.3，則c= ，b .斜邊上的高為_.2. 正方形的邊長為3,則此正方形的對角線的長為 .3. 正方形的對角線的長為4,則此正方形的邊長為 .4 .有一個邊長為dm 50的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，求圓的直徑至少多長5. 旗桿離地面6m處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，求旗桿折斷之前有多高?6. 如圖，一個3m長的梯

7、子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為2.5m，如果梯子頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎?勾股定理典型例題及專項訓練專題一：直接考查勾股定理2、1. 已知等腰三角形腰長是10,底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。已知：如圖，/ B=Z D=90°，/ A=60°，AB=4 CD=2求：四邊形 ABCD勺面積。3:在 ABC中, AB=13 AC=15 高 AD=12 貝U BC的長為多少?CDB（2） a b c h（3）以 a b，h，ch為三邊的三角形是直角三角形練習A4:已知如圖，在 ABC中，/ C=60°，AB=4'

8、;3，AC=4 AD是 BC邊上的高，求BC的長。5、如圖，在 Rt ABC中, Z ACB=90，CD!AB于 D,設 AB=c AC=b BC=a CD=h1 1 12 2 2求證：（1） a b h6. 如圖， ABC中, AB=ACZ A=45o，AC的垂直平分線分別交 AB AC于 D E,若CD=1則8.如圖 Rt ABC ,BD等于（A. 1 B.1C.： D. /:7. 已知一直角三角形的斜邊長是2,周長是2+ 6，求這個三角形的面積.C 90 AC 3,BC 4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積6. 如圖， ABC中, AB=AC=20 BC=32 D是 BC上一點，且

9、 ADLAC 求 BD的長.7. 如圖， ABC中, Z ACB=90，AC=BC P是厶ABC內一點，滿足 PA=3 BPC的度數.8. 已知 ABC中, Z ACB=90，AC=3,BC=4, (1) AD平分Z BAC交 BC于 D點。求 CD長(2) BE平分Z ABC交AC于E,求CE長專題二勾股定理的證明1、如圖，直線l上有三個正方形a, b, c,若a, c的面積分別為和11,則b的面積為（）(A) 4(B) 6(C) 16(D) 552、如圖是2002年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會會標中的圖案, 和EF都是正方形.證： ABFA DAE其中四邊形 ABCDDC3、圖是

10、一個邊長為（m n）的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗證的式子是（2 n)2mn圖2 2A. (m n) (m n)4mn(m n)2(m2第3題圖C (m n)2 2mn m2n2(m n )(mn)m2n2專題三網格中的勾股定理1、如圖1,在單位正方形組成的網格圖中標有 AB CD 角三角形三邊的線段是（）EF、GH四條線段,其中能構成一個直(A) CD EF、GH(B) AB EF、GHCD EF(C) AB CDGH ( D) ABBA 1 .1Ck/S<AG2、如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,則網格上的三角形ABC中，邊長為無理數的邊數是（）A

11、. 0 B .1 C . 2 D . 33、（ 2010年四川省眉山市）如圖，每個小正方形的邊長為的頂點，則/ ABC的度數為（）A. 90°B . 60° C . 45° D . 30°4、如圖，小正方形邊長為1,連接小正方形的三個得到，可得 ABC則 邊AC上的高為（）125、如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是 1,每個小格的頂點稱為格點，請以圖中的格點為頂點畫一個邊長為3、的三角形所畫的三角形是 直角三角形嗎？說明理由.6、如圖，每個小正方形的邊長是1,在圖中畫出面積為2的三個形狀不 同的三角形（要求頂點在交點處，其中至少有一個鈍角三角形）

12、專題四 實際應用建模測長1、如圖（8），水池中離岸邊D點1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分 BC的長是0.5 米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到D點，并求水池的深度AC.A2、有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以 內，燈就自動打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？3、臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍數十千米范圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如圖，據氣象觀測，距沿海某城市 A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中 心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現正以 1

13、5千 米/時的速度沿北偏東30。方向往C移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或走過 四級，則稱為受臺風影響（1）該城市是否會受到這交臺風的影響？請說明理由（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市持續(xù)時間有多少？（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級?專題五梯子問題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米?（1）這個梯子的頂端距2、一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻 7米, 地面有多高？ （2）如果梯子的頂端下滑了 4米，那么梯子的底端在水 平方向滑動了幾米？3、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，Ad BC, AC=BC當梯子的頂端A

14、沿AC方向下滑x米時，梯足B沿CB方向滑動y米，則x與y的大小關系是（a. x y b. x y c. x y能確定專題六最短路線1、如圖，學校教學樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數同學為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內 走出了一條“路”.他們僅僅少走了（）步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草.A 、6B、5 C 、42、如圖，一圓柱體的底面周長為20 cm，高 AB為 10 cm，BC是上底面的直徑。一螞蟻從點出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C,試求出爬行的最短路程C14033、如圖，有一個圓柱體，底面周長為20 cm，高AB為10 cm，在圓柱的下底面A點處有一只螞 蟻，它想繞圓柱體側面一周爬行到它的

15、頂端 C點處，那么它所行走的路程是多少？104、如圖，假如這是一個圓柱體的玻璃杯,AD是杯底直徑，C是杯口一點，其他已知條件不變,螞蟻從外部點A處爬到杯子的內壁到達高CD勺中點E處，最短該走多遠呢?子的厚度不計）BE5、如圖，一只螞蟻從一個棱長為1米，且封閉的正方體盒子外部的頂點這只螞蟻爬行的最短路程為多少米?6如圖，長方體的長為15cm寬為10cm高 為20cm點B到點C的距離為5cm 一只螞蟻 如果要沿著長方體的表面從 A點爬到B點，需要爬行的最短距離是多少？7、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為 2m 0.3m、0.2m，A和B是臺階 上兩個相對的頂點，A點有一只螞蟻，想

16、到B點去吃可口的食物，問螞蟻沿著臺階爬行到 B點 的最短路程是多少？B專題七折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊 AC=6cm, BC=8cm?，F將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長.2、如圖，小潁同學折疊一個直角三角形的紙片，使A與B重合,3、如圖, ABC的三邊 BC=3 AC=4 ABC，則CC的長等于（)612A. 5B.5C.AB=5把厶ABC沿最長邊AB翻折后得到13245D.510.如圖準昭形址片ABC中上ACB=90育O3MB丸在AC 卜取一點匚以BE為折鼠使AB的一部分與BC 鈴點A與 比延K線上的點D蛋合期CE的長度為（）A

17、. 3B 6D. 2/3I)專題八折疊四邊形1、折疊矩形ABCD勺一邊AD,點D落在BC邊上的點F處,已知AB=8CM,BC=10C求,（1） CF的折痕為DE若已知 AC=10cm BC=6cm你能求出CE的長嗎？(2) EC的長.2、在矩形紙片ABCD中, AD=4cm AB=10cm按圖所示方式折疊，使點B與點D重合，折痕為EF,求（1）DE的長；（2）EF的長193. 矩形紙片ABCD勺邊長AB=4 AD=2將矩形紙片沿EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為CB4、如圖2-3，把矩形ABCDS直線BD向上折疊, 重合部分厶EBD的面積為.使點C落在C的位置上，已知AB=?3 BC=7I)5、如圖5,將正方形ABCDff疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E,交BC于F， 邊AB折疊后與BC邊交于點G如果M為CD邊的中點，且DE=6求正方形ABCD勺面積6矩形ABCD中, AB=6 BC=8先把它對折，折痕為EF,展開后再沿BG折疊，使A落在E