1.3空間幾何體的表面積與體積

1、1.3空間幾何體的表面積與體積第1課時教學(xué)內(nèi)容1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積教學(xué)目標(biāo)一、知識與技能1. 了解柱、錐、臺的表面積計算公式（不要求記憶公式）2.能運用柱、錐臺的表面積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題、過程與方法重視從實際出發(fā)，從具體到抽象，通過計算機呈現(xiàn)豐富的實物模型 一一空間幾何體，在 此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、抽象、概括從而得出結(jié)論三、情感態(tài)度與價值觀本節(jié)是根據(jù)柱、錐、臺的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合它們的展開圖，推導(dǎo)它們的表面積的計算公式，從度量的角度認識空間幾何體 .教學(xué)重點：柱體、錐體、臺體的表面積.教學(xué)難點：臺體中圓臺的表面積的推導(dǎo).教具準備：1.PPT課件；2.圓錐、圓臺

2、的實物模型.教學(xué)過程、復(fù)習(xí)回顧展示棱柱、圓柱、棱錐、圓錐、棱臺、圓臺的實物模型提出問題：如何求它們的表面積?:、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課（一）柱體、錐體、臺體的表面積如圖，已知圓臺下底面半徑為r2，上底面半徑為r1，母線長為l，求它的表面積長方體及其展開圖以及他們的展開圖，你知道它們的正方體及其展開圖問題1在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積, 展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？有什么區(qū)別和聯(lián)系?問題2如何求棱柱、棱錐、棱臺的表面積？它們的展開圖是什么?總結(jié)：S棱柱二S底面-S側(cè)面（四邊形）s棱錐二s底面 S側(cè)面（三角形）s棱臺二s底面 S側(cè)面（梯形）例1已知棱長為a,各面均為等邊三角形的四面體S-ABC

3、，求它的表面積.分析：由于四面體S-ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以 四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍.問題3如何求圓柱表面積，它的側(cè)面展開圖是什么？如圖，已知圓柱的底面半徑為r，母線長為丨，求它的表面積DS圓柱問題4如何求圓錐的表面積，它的側(cè)面展開圖是什么?.（演示模型）圓錐及其展開圖總結(jié)：矩形的高=圓柱的母線長；矩形的長=底面周長如圖，已知圓錐底面半徑為r,母線長為丨，求它的表面積.總結(jié)：扇形的面積=-弧長半徑2S圓錐二 S圓-S扇形二二r2 二rl hE（r l）扇形的面積=丄弧長半徑三角形面積=1底高2 2（演示模型）（展問題5參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想圓臺的側(cè)面

4、展開圖是什么?示 PPt）B臺體及其展開圖2 2總結(jié)：s圓臺-二（ririlr2l r2 ）問題6圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式的區(qū)別與聯(lián)系22在S圓臺-：（riril r2l 巾）中，令口 =0,即有s圓錐二二3（2 T）；令n =i2，即有S圓柱=2第1（丨）2 2 總結(jié)：因此只需記住圓臺的表面積公式S圓臺二二（11丨2丨2 ）n取3.14，結(jié)果精確到例2如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20 cm，盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為 1.5 cm，盆壁長15cm 那么花盆外壁的表面積約是多少平方厘米（21 cm ） ?分析：花盆的表面積=花盆的側(cè)面積+下底面面積-底面圓孔 的面積.（二）柱體

5、、錐體與臺體的體積1.體積公式：體積公式體積公式棱柱V =S底h高圓柱V =jrr2h棱錐1V =§S底h高圓錐1 2V = 兀h3棱臺V Js'+TSE +S)h3圓臺12丄丄2V =-n(r' +r'r +r )h 32.柱、椎、臺之間，可以看成一個臺體進行變化，當(dāng)臺體的上底面逐漸收縮為一個點時，它就成了錐體；當(dāng)臺體的上底面逐漸擴展到與下底面全等時，它就成了柱體因而體積會有以下的關(guān)系：1S'-01, ,S'-S7錐ShV臺（S' S'S S）hV柱二 Sh.三、例題精講【例1】一個長方體的相交于一個頂點的三個面的面積分別是2

6、、3、6,則長方體的體積是（）.解：設(shè)長方體的長寬高分別為a,b, c，則ab = 2,ac =3,bc =6，三式相乘得（abc）2 =36.所以，長方體的體積為 6.【例2】一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器 出函數(shù)的定義域.解：如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為1 在 Rt-EOF 中，EF =5cm,0F xcm ,2,試建立容器的容積 V與x的函數(shù)關(guān)系式，并求xcm.E亠FD OB所以EO二1 21 2是 V 二一x 25 x .3 Y4依題意函數(shù)的定義域為x | 0 ： x :; 10.后平穩(wěn)緩慢地將容器

7、傾斜讓水流出，當(dāng)容器中的水是原來的【例3】一個無蓋的圓柱形容器的底面半徑為 .、3，母線長為6,現(xiàn)將該容器盛滿水，然 -時，圓柱的母線與水平面所成6的角的大小為解：容器中水的體積為 V =”:r2| =二(、.3)2 6 =18二.5流出水的體積為V'=(1_-)V=3二，如圖，6設(shè)圓柱的母線與水平面所成的角為a,則2 3二 _2二（.3廠.tan = 3，解得2V '1' 2二 r二=60 .所以，圓柱的母線與水平面所成的角的大小為點評：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一個平面去平分了一個短圓柱60°.從而由等體積法可計算出高度，解直角三角形而得所求角

8、【例4】在邊長為a的正方形中，剪下一個扇形和一個圓，分別作為圓錐的側(cè)面和底面，求所圍成的圓錐的體積解：剪下的扇形的弧長與剪下的圓的周長是相等的設(shè)扇形半徑為x,圓半徑為r，則1 _2二x =2二r , 二 x=4r , AB 二 x r 川悔r =(5. 2)r.4又AB= 2a ,(5"、名，解得，豈尹圓錐的高 h = . x2 r2 = 15r ,.、，1八屆(5“-2)3aS-V r h =336501點評：求已知的平面圖形圍成的旋轉(zhuǎn)體的面積或體積的關(guān)鍵是正確分析平面圖形與其圍成的旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)量間的關(guān)系搞清平面圖形上的哪些量在旋轉(zhuǎn)體中不變，哪些發(fā)生了變化四、課堂小結(jié)本節(jié)課主要介紹

9、了求幾何體的表面積和體積的方法：將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，利用平面圖形求面積的方法求立體圖像的表面積和體積，體現(xiàn)了一種化歸思想五、課后作業(yè)課本第28-29頁習(xí)題1.3A組第1、2、4、5題.第2課時教學(xué)內(nèi)容：1.3.2球的體積和表面積教學(xué)目標(biāo)掌握球的表面積和體積公式，并能應(yīng)用其解決有關(guān)問題，提高學(xué)生解決問題的能力，培 養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法 .重點、難點教學(xué)重點：球的表面積和體積公式的應(yīng)用教學(xué)難點：關(guān)于球的組合體的計算.教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課思路：球既沒有底面，也無法像柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求 球的表面積與體積呢？球的大小與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來表示球的

10、體積和面積？教師引出課題：球的體積和表面積 二、新知探究球的半徑為R,它的體積和表面積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)事實上,如果球的半徑為 R,那么S=4%R2 V= - nR3'3'注意：球的體積和表面積公式的證明以后證明三、應(yīng)用示例例1如圖1所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：圖12 球的體積等于圓柱體積的3球的表面積等于圓柱的側(cè)面積(1)解：設(shè)球的半徑為R，=3=圖2正四棱柱底面邊長為a,則軸截面如圖2（2），所以AA =14,AC= J2a,（2） 證明：（1）設(shè)球的半徑為 R,則圓柱的底面半徑為 R,高為2R.43232則有V球= R , V圓柱=nR

11、 2R=2 n R所以V球=V圓柱.33（2）因為S球=4nR2, S圓柱側(cè)=2n R - 2R=4冗% 所以S球=S圓柱側(cè).點評：本題主要考查有關(guān)球的組合體的表面積和體積的計算.解決此類問題的關(guān)鍵是明確組合體的結(jié)構(gòu)特征.變式訓(xùn)練表面積為 324 n的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的1. 如圖2（1）所示，表面積.又T 4nR=324 n-；. R=9.；AC= . AC'2 -CC'2 8 2 . a=8.；S表=64X2+32X14=576,即這個正四棱柱的表面積為576.2. 有一種空心鋼球，質(zhì)量為 142 g,測得外徑（直徑）等于 5 cm,求它的內(nèi)徑（鋼

12、的密 度為 7.9 g/cm3，精確到 0.1 cm）.解：設(shè)空心球內(nèi)徑（直徑）為 2x cm,則鋼球質(zhì)量為4 5 34 3 -7.9 （一）x : =142,323.3 /5、3142 3士宀x =（） 一11.3；. x2.24；.直徑 2x4.5.27.9 4 3.14答：空心鋼球的內(nèi)徑約為 4.5 cm.例2如圖3所示，表示一個用鮮花做成的花柱，它的下面是一個直徑為1 m、高為3 m的圓柱形物體，上面是一個半球形體.如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個花柱大約需要多少朵鮮花（n取3.1） ?圖3活動：學(xué)生思考和討論如何計算鮮花的朵數(shù).鮮花的朵數(shù)等于此幾何體的表面積（不含F(xiàn)底面

13、）與每朵鮮花占用的面積.幾何體的表面積等于圓柱的側(cè)面積再加上半球的表面積解：圓柱形物體的側(cè)面面積S1疋3.1 X 1 X 3=923（半球形物體的表面積為S2 2 X 3.1*2 1.6m2）,所以S1+S2 9.3+1.6=10.9m2）.10.9 X 150 1 635（.答：裝飾這個花柱大約需要1 635朵鮮花.點評：本題主要考查球和圓柱的組合體的應(yīng)用，以及解決實際問題的能力變式訓(xùn)練有一個軸截面為正三角形的圓錐容器，內(nèi)放一個半徑為R的內(nèi)切球，然后將容器注滿水，現(xiàn)把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一圓臺體，問容器中水的高度為多少？分析：轉(zhuǎn)化為求水的體積.畫出軸截面

14、，充分利用軸截面中的直角三角形來解決解：作出圓錐和球的軸截面圖如圖圓錐底面半徑r= R =.、3R,tan 30°圓錐母線l=2r=2i3R，圓錐高為h= . 3r =3R,V 水=二 2、4 二r h33R33R2 3R - 1 R335:3R3，球取出后，水形成一個圓臺，下底面半徑r=j3R,設(shè)上底面半徑為r則高h' =(r' tan60 ° - 3( 3R _ r'),- R3' h'(r2+r 2+rr' ), 5R3= . 3(. 3R _r')(r'2 . 3Rr' 3R2),335R3=

15、,3(3.3R3 _r'3),解得 r ' = 43R=6；R，(3_3.12)R.1 : 2 : 3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的 h =3-阪)r.答：容器中水的高度為四、基礎(chǔ)訓(xùn)練1.三個球的半徑之比為( )A.1倍B.2倍分析：根據(jù)球的表面積等于其大圓面積的2r、3r，所以各球的表面積分別為4 n2、16n2、36n2,97C. 9倍D. 7倍544倍，可設(shè)最小的一個半徑為r，則另兩個為236n 2 仝(倍).4 n 16 n 5答案：C2.表面積為2 3的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為(a=1 ,分析：此正八面體是每個面的邊長均為 a

16、的正三角形，所以由 8X-空=2. 3知,4則此球的直徑為 2 .答案：A3.(2007北京西城抽樣，文11)若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是 則球的表面積是.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為,42 32 =5，所以球的表面積是4 nX25100 n.)，每個鋼球重145 kg,并且外徑等 .如果是空心的，請你計算出它的答案：100n4某街心花園有許多鋼球(鋼的密度是.9g/cm3于50 cm,試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷鋼球是實心的還是空心的 內(nèi)徑(n取3.14，結(jié)果精確到1 cm).解：由于外徑

17、為50 cm的鋼球的質(zhì)量為7.9 (50)3516 792g),32街心花園中鋼球的質(zhì)量為145 000 g,而145 000 V 516 792,所以鋼球是空心的.設(shè)球的內(nèi)徑是2xcm，那么球的質(zhì)量為3X : =145 000,4 兀 /50、37.9 *()32解得 x3 11 240.9& 22.4,2 45(m).答：鋼球是空心的，其內(nèi)徑約為45 cm.5. （ 2007海南高考，文11）已知三棱錐 S ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上,球心O在AB上，SO丄底面ABC, AC=._2r,則球的體積與三棱錐體積之比是（）A. nB. 2 nC. 3 nD. 4 n1分析：

18、由題意得SO=r為三棱錐的高，ABC是等腰直角三角形，所以其面積是Xr=r2,2所以三棱錐體積是1 r2 r J"，又球的體積為4于，則球的體積與三棱錐體積之比是4n.333答案：D五、拓展提升問題：如圖6,在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切 的球）球心O,且與BC, DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分， 設(shè)四棱錐A BEFD與三棱錐A EFC的表面積分別是 S , $,則必有（）A圖6A.S1 VS2 B.S1>S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大小關(guān)系不能確定探究：如圖 7,連 OA、OB、OC、OD，則 vabefd=Voabd+ voabe + vobefd + Vo adf ,VaEFC=VoAFC + VO AEc+ VOEFC , 又Vabefd=Vaefc，而每個小三棱錐的高都是原四面體 的內(nèi)切球的半徑， 故 Szabd+ Sa