(完整版)中考專題復(fù)習(xí)全等三角形(含答案)

1、中考專題復(fù)習(xí)全等三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、全等圖形、全等三角形：1. 全等圖形：能夠完全的兩個(gè)圖形就是全等圖形。2. 全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的 、分別相等。3. 全等三角形：三角形是特殊的多邊形，因此，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分 別相等。同樣，如果兩個(gè)三角形的邊、角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。說明：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高，中線相等，對(duì)應(yīng)角的平分線相等；全等三角形的周長(zhǎng)，面積也都相等。這里要注意：（1）周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形，不一定全等；（2）面積相等的兩個(gè)三角形，也不一定全等。二、全等三角形的判定：1. 一般三角形全等的判定（1） 三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（“邊邊邊”或“ ” ）。（

2、2） 兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 （“邊角邊”或“ ”）。（3）兩個(gè)角和它們的夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 （“角邊角”或“”）。（4）有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 （“角角邊”或“” ）。2. 直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 （“斜邊、直角邊”或“”） 注意：兩邊一對(duì)角（SSA）和三角（AAA）對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。3. 性質(zhì)1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等。2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。3、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等。4、全等三角形的對(duì)應(yīng)中線相等。

3、5、全等三角形面積相等。6、全等三角形周長(zhǎng)相等。（以上可以簡(jiǎn)稱：全等三角形的對(duì)應(yīng)元素相等）三、角平分線的性質(zhì)及判定：性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到該角兩邊的距離相等。判定定理：到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的角平分線上。四、證明兩三角形全等或利用它證明線段或角相等的基本方法步驟：1. 確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；2. 回顧三角形判定公理，搞清還需要什么；3.正確地書寫證明格式（順序和對(duì)應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問題）。全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三 角形不一定全等

4、。例 1.如圖，A,F,E,B 四點(diǎn)共線，AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。求證: ACF BDE。例2.如圖，在 ABC中，BE是/ ABC的平分線,21 C。例3.如圖，在 ABC中，AB BC，ABC 90。F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC- 14 -上, BE BF，連接 AE,EF 和 CF。求證：AE CF。F例 4.如圖，AB/ CD， AD/ BC，求證：AB CD。NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P例5.如圖，AP,CP分別是 ABC外角 MAC和求證：BP為MBN的平分線。例6.如圖, 的中線。求證:D是ABC的邊BC上的點(diǎn)，且CDAC 2AE。例7.如圖，在 AB

5、C中，AB AC，1AB，ADBBAD，AE 是 ABD2， P為 AD上任意一點(diǎn)。求證:AB AC PB PC。同步練習(xí)飛選擇題：1. 能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一A. AB 3，BC 4，CA 8C. C 60°， B3. 如圖，已知 1D :CA. 4個(gè)45°，AB 4 2，ACBB. 3（）B. 一銳角對(duì)應(yīng)相等D.斜邊相等ABC的是（）B. AB 4，BC 3， A 30°D. C 90°，AB 6AD，增加下列條件： AB AE :BC ED ； 其中能使 ABC AED的條

6、件有（）C. 2個(gè)D. 1個(gè)4.如圖，1A. DAE2 ,CBED等于（）D.無法確定AEB 100°，ADB 30°，則BCFAC, BD交于E點(diǎn)，下列不正確的是（）B. CE DE是等腰三角形二、填空題：6. 如圖，在 ABC中， C 90°， ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，且CD: AD 2:3，AC 10cm，則點(diǎn)D到AB的距離等于cm ；R c7. 如圖，已知 AB DC，AD BC， E,F是BD上的兩點(diǎn)，且 BE DF，若8. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則 CBD的大小為9. 如圖，在等腰 Rt ABC中， C 90

7、76;，AC BC，AD平分 BAC交BC于D，DE10，則BDE的周長(zhǎng)等于上A EAB 于 E，若 ABAB CD10.如圖，點(diǎn)D,E,F,B在同一條直線上，若 BD 10，BF 2，貝U EF ；AE CF，且 AE CF，5三、解答題：11.如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)M,N分別在BC, AC上，且BM CN，AM與 BN交于Q點(diǎn)。求 AQN的度數(shù)。CD , BF CD，交12.如圖， ACB 90° , AC BC, D 為 AB 上一點(diǎn)，AE CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。求證：BF CE 。答案例1.思路分析：從結(jié)論 ACF BDE入手，全等條件只有AC BD ；由AE BF兩 邊同

8、時(shí)減去EF得到AF BE，又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件，可以是 CF DE，也可以是 A B。由條件 AC CE，BD DF 可得 ACE BDF 90°，再加上 AE BF，AC BD， 可以證明 ACE BDF，從而得到 A B。解答過程：Q AC CE， BD DFACE BDF 90°在 Rt ACE 與 Rt BDF 中AE BFQAC BD Rt ACE Rt BDF (HL)A BQ AE BFAE EF BF EF，即 AF BE 在ACF與BDE中AF BEAC BDACF BDE (SAS)解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方

9、法：一方面從問題 或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再 對(duì)比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題 思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路。例2.思路分析：直接證明21 C比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明2 且 1 C。也可以看成將 2 “轉(zhuǎn)移”到。那么在哪里呢？角的對(duì)稱性提示我們將 AD延長(zhǎng)交BC于F，則構(gòu)造了FBD可以通過證明三角形全等來證明/ 2=Z DFB可以由三角形外角定理得/ DFB= / 1 + Z Co解答過程：延長(zhǎng)AD交BC于F在ABD

10、與FBD中ABDFBDQ BD BDABDFBD (ASA2ADBFDB 90°又 Q DFB1 C21C oDFB解題后的思考：由于角是軸對(duì)稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等 三角形。例3思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等， 關(guān)鍵是要找到這兩 個(gè)三角形。以線段 AE為邊的 ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CBF的位置，而線段 CF正好是CBF的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯伞＝獯疬^程：Q ABC 90°， F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)oABC CBF 90在ABE與CBF中AB BCQ ABC CBFBE BFABE CBF (SAS)AE CF。解題

11、后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì) 應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來 尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對(duì)角線，可以把原問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題。解答過程：連接ACQ AB/ CD， AD/ BC12，34在ABC與CDA中1 2Q AC CA43ABC CDA(ASA)AB CD。解題后的思考：連接四邊形的對(duì)角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要證明“ BP為MBN的平分

12、線”，可以利用點(diǎn)P到BM,BN的距離相等來證明，故應(yīng)過點(diǎn)P向BM,BN作垂線；另一萬面，為了利用已知條件“ AP,CP 分別是 MAC和NCA的平分線”，也需要作出點(diǎn)P到兩外角兩邊的距離。解答過程：過P作PDBM 于 D，PEAC 于 E， PF BN 于 FQ AP平分MAC， PDBM 于 D，PEAC于EPD PEQ CP平分NCA， PEAC 于 E，PFBN于FPEPFQ PDPE，PE PFPDPFQ PDPF，且 PD BM 于 D， PF BN 于 FBP為 MBN的平分線。BC F N解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時(shí)， 常過角平分線上的一

13、點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來解答問題。例6思路分析：要證明“ AC 2AE ”，不妨構(gòu)造出一條等于2AE的線段，然后證 其等于AC。因此，延長(zhǎng)AE至F ,使EF AE。解答過程：延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F，使EF AE，連接DF在ABE與FDE中AE FEQ AEB FEDBE DEABE FDE (SAS)B EDFQ ADF ADB EDF， ADC BAD B又 Q ADB BADADF ADCQAB DF，AB CDDFDC在ADF與ADC中ADADQADFADCDFDCADF ADC (SAS)AF AC 又Q AF 2AEAC 2AE。解題后的思考：三角形中倍長(zhǎng)中線，可以構(gòu)造

14、全等三角形，繼而得出一些線段和 角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例7.思路分析：欲證AB AC PB PC ,不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系 來證明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構(gòu)造線段 AB AC。而構(gòu)造AB AC可以采用“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法。解答過程：法一：在AB上截取AN AC，連接PN在APN與APC中AN ACQ 12AP APAPN APC (SAS)PN PCQ 在 BPN 中，PB PN BNPB PC AB AC，即 AB- AC>PB- PC法二：延長(zhǎng) AC至M，使 AM AB，連接PM 在ABP與AMP中AB AMQ 12AP

15、APABP AMP (SAS)PB PMQ 在 PCM 中，CM PM PCAB AC PB PC。解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時(shí)，一般采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法具體作法是：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長(zhǎng)線 段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長(zhǎng)”；或者將一條較短線段延長(zhǎng)，使其 等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長(zhǎng)線段，稱為“補(bǔ)短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什 么用處。同步練習(xí)的答案一、選擇題：1. A2. C3. B4. C5. C二、填空題：6. 47. 70°8. 90