論有限的物質(zhì)空間

1、論有限的物質(zhì)空間劉天池摘要：本文假設(shè)物質(zhì)空間是有限的，從而介紹了客觀空間的形態(tài)。在幾何學(xué)上，認(rèn)為空間的曲率半徑大于0，對(duì)以黎曼幾何為主的非歐幾何學(xué)及絕對(duì)微分學(xué)作出了簡(jiǎn)單的討論，得出了在有限的理想空間中多個(gè)點(diǎn)的夾角距離關(guān)系。同廣義相對(duì)論結(jié)合，指出度規(guī)空間在不同廣義坐標(biāo)的表達(dá)形式。在電動(dòng)力學(xué)上，對(duì)場(chǎng)作用的本質(zhì)進(jìn)行分析，給出了場(chǎng)對(duì)于距離的發(fā)散關(guān)系，導(dǎo)出了引力常量G隨距離而減小的可能的原因，為驗(yàn)證假設(shè)指明了實(shí)驗(yàn)可行的方法，同時(shí)討論了短程力產(chǎn)生的可能性。本文為超弦理論提供了高維的空間模型，為大統(tǒng)一理論提出了可行的方向。關(guān)鍵詞：有限；空間；變換；非歐幾何；廣義相對(duì)論The Theory of Limit

2、SpaceLiu Tian-ChiCollege of Physics and Electronic Information Physics No: 070512014Tutor: Feng Heng-QiangAbstract: This article supposes the objective space is limited, and introduces the shape of the objective space. In geometry, this article thinks the curvature radius of the space is larger than

3、 zero, and discusses non Euclidean geometries concentrate on Riemannian geometry and absolutes differential calculus, and reaches the conclusion about the relation of angle and distance among multiple points. Then combining the General Relativity Theory, this article expresses forms of different gen

4、eralized coordinates about metric space. In electrodynamics, the nature of field interacting is analyzed, the relation about divergence between field and distance is given, and the possible reason of gravitational constant G decreasing with the increasing of distance is derived out. So the experimen

5、tally feasible method for the whole theory is pointed out. At the same time the possibility of occurring short-range force is discussed. Therefore the whole theory provides a high dimensional space model for Superstring Theory, and proposes a feasible orientation for grand unite theory. Key words: l

6、imit; space; change; non Euclidean geometries; General Relativity目錄摘要11.1導(dǎo)論41.2約定于假設(shè)4約定4公設(shè)：4假設(shè)5一個(gè)理想試驗(yàn)52模型52.1 經(jīng)典空間62.2 廣義相對(duì)論空間72.3有限論空間73變換83.1經(jīng)典變換83.2有限論變換84場(chǎng)114.1物體間的弧距作用114.2物體間的弦距作用124.3對(duì)H空間的作用125實(shí)驗(yàn)135.1水星的近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)135.2引力常數(shù)的測(cè)量14參考文獻(xiàn)141.1導(dǎo)論人類自古就在研究宇宙，但始終無(wú)法測(cè)出宇宙的盡頭。從而無(wú)法解釋宇宙的空間是有限大的還是無(wú)限大的，是有邊界的還是無(wú)邊界的。

7、無(wú)數(shù)的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)似乎說(shuō)明了我們所處的空間是一個(gè)平直的無(wú)限大的空間。但是，隨著科技的進(jìn)步，我們發(fā)現(xiàn)了平直的歐幾里德幾何學(xué)在廣闊的宇宙中并不適用。愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論指出時(shí)空不是平直的。并有一些實(shí)驗(yàn)作論據(jù)。但是仔細(xì)分析這些實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，在可以定量分析并且誤差允許內(nèi)的實(shí)驗(yàn)都是在太陽(yáng)系內(nèi)的太陽(yáng)附近做出的，其他的實(shí)驗(yàn)并不能使人完全信服。這只能說(shuō)明在該區(qū)域中卻是存在著某種空間的彎曲，而這種彎曲是否與引力質(zhì)量有關(guān)，是否與太陽(yáng)的距離有關(guān)，都無(wú)法證實(shí)。更本質(zhì)的，廣義相對(duì)論與經(jīng)典的力學(xué)理論一樣，都假設(shè)平直空間為不受引力質(zhì)量作用的原始空間1。超弦理論也有認(rèn)為宇宙是有限的。但是在尋找高維數(shù)的空間上遇到了難題。本論從有限

8、的空間出發(fā)，在高維的空間中建立宇宙模型，為弦論解決維數(shù)困難2。從另一種意義上說(shuō)，如果某一區(qū)域沒(méi)有任何物質(zhì)，我們往往稱之為空的區(qū)間，或空間。很難想像存在沒(méi)有空間卻有容積的一個(gè)區(qū)域，物質(zhì)穿越它時(shí)卻是超距的。我們不得不承認(rèn)空間是一種客觀存在的物質(zhì)。為了與普通意義上的物質(zhì)區(qū)別，有人稱之為第二物質(zhì)。作為一種物質(zhì)，我們很難想象它卻是無(wú)限大的。同時(shí)我們也很難想象它存在邊界。所以本論假設(shè)的物質(zhì)空間是一種有限無(wú)邊的形態(tài)。1.2約定于假設(shè)約定 空間的維數(shù)：描述某空間所有的點(diǎn)的位置所需要的獨(dú)立參量的個(gè)數(shù)。 M空間：客觀的空間，或我們所處的這個(gè)空間。 H空間：可視為希爾伯特空間，指M空間的一個(gè)高維包容空間。其中 si

9、(i=1,2,3,n)為基矢，xi為si方向上的坐標(biāo)數(shù)。由于本論所指的空間均為位置空間，所以xi與si均為實(shí)數(shù)。在n維空間中建立n個(gè)獨(dú)立的基矢是完備的。公設(shè)：公設(shè)：M空間為3維空間。若不考慮自旋s=±12是否可以作為位置獨(dú)立參量，M空間可視為3維空間。公設(shè)：M空間是局部各向同性的。此假設(shè)的嚴(yán)格定義應(yīng)為：局部的M空間在不考慮引力質(zhì)量的作用下的任意相互垂直的法截線之曲率（高斯曲率）相等。沒(méi)有任何理由認(rèn)為M空間各點(diǎn)均是各向同性的。所以這條假設(shè)并沒(méi)有實(shí)際的意義，只是用來(lái)方便做理想空間的推導(dǎo)。由此公設(shè)可得出M空間不存在邊界。假設(shè)假設(shè)：我們所處的這個(gè)空間(M空間)是一個(gè)有限的空間。記其某一上界為

10、Va。一個(gè)理想試驗(yàn)假設(shè)這是有限論唯一一個(gè)假設(shè)。我們可以模擬這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)。有一個(gè)體積不可忽略的正球體，以任意并始終保持不變的速度v前進(jìn)。其中，球的半徑為r（球的體積遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Va）。其中過(guò)球心并垂直v的截面稱為主截面。規(guī)定運(yùn)動(dòng)初始時(shí)間為0。易知在0t 的時(shí)間段內(nèi)主截面劃過(guò)的體積V(t)=r2vt (1)如果這個(gè)空間的任一區(qū)域不被主截面劃過(guò)超過(guò)1次，則由假設(shè)可知VaV(t) (2)所以 Var2vt (3)或 t Var2 v (4)根據(jù)以上推理可得：如果取 t> Var2 v，那么在這個(gè)空間中，必然存在某一區(qū)域，被主截面劃過(guò)至少兩次！或者說(shuō)若從某個(gè)區(qū)域以固定的方向運(yùn)動(dòng)，怎么會(huì)再次回到這個(gè)區(qū)域

11、呢？這是與經(jīng)典理論不符的。由此，我們可以對(duì)直線產(chǎn)生一個(gè)新的認(rèn)識(shí)：直線是沒(méi)有起點(diǎn)和終點(diǎn)的。但它或者是閉合的，或者是受限存在某一不大于 Va的有限區(qū)域中。2模型建立高維的包容空間H，其維數(shù)為n。M空間為其某一子集。那么必然存在一個(gè)幾何約束集 F=¦jX1,X2,X3,Xn=0 | j=1,2,3,m（這里我們假設(shè)集合中的約束元素是相互獨(dú)立的），使得M空間在F的約束下的描述是完備的。易知，M是任一約束Fj的子集。由公設(shè)可知：F的元素的個(gè)數(shù)m= n-3。也就是說(shuō) ¦1(X1,X2,X3,Xn)=0 ¦2(X1,X2,X3,Xn)=0 ¦3(X1,X2,X3,Xn

12、)=0 ¦n-3(X1,X2,X3,Xn)=0這是一個(gè)無(wú)規(guī)則的3維空間。由公設(shè)可知：在M空間中，各向同性，即有各向相同的曲率K=1Rc (5)不妨設(shè)將上式對(duì)于任一M以外的約束(包容)空間Fj均成立。此舉不會(huì)影響M空間的形態(tài)。但卻使上式滿足于任一約束空間Fj?，F(xiàn)給出兩組Fj可能的解：¦j=aj,iXi+aj=0 (6)或 ¦j=(Xi-aj,i)(Xi-aj,i)-rj2=0 (不對(duì)j求和) (7)這里采用愛(ài)因斯坦規(guī)則，即重復(fù)指標(biāo)自動(dòng)求和。若不特別聲明，本論均使用此規(guī)則。2.1 經(jīng)典空間即M空間是無(wú)限大的。那么(6)式必然是唯一的正解。對(duì)于任一給定的 j ，在Fj的

13、空間中任取兩點(diǎn)(X1,i)與(X2,i)。令¦j(X1,i)-¦j(X2,i)得0=aj,i(X1,i X2,i) (8)即矢量 aj=aj,isi 與矢量(X1,i X2,i)si 垂直。若使 X1,i趨向于X2,i,則矢量 aj 與Fj中任一線元垂直；或aj與Fj空間垂直。所以aj與M空間垂直，或在aj所描述的空間中任意線元與M空間垂直?，F(xiàn)建立正交歸一的基矢S1,S2,S3與aj彼此獨(dú)立,則由S1,S2,S3的線性疊加即可完備描述M空間。令Xi為Si的坐標(biāo)數(shù)i=1,2,3，則兩點(diǎn)間的距離dS2=dXidXi (9)2.2 廣義相對(duì)論空間廣義相對(duì)論是對(duì)經(jīng)典時(shí)空的修正?？紤]

14、到引力質(zhì)量對(duì)平直空間的彎曲，可建立高斯坐標(biāo)X1，X2，X3，變換關(guān)系為dXi=XiXjdXj (10)距離dS2=dXidXi=XiXjXiXkdXjdXk=GjkdXjdXk (11)其中Gjk為2階度規(guī)張量。為了保證高斯坐標(biāo)與笛卡爾坐標(biāo)變換存在逆變換，其雅克比行列式D=D(Xi)D(Xj) (12)必須不等于0或。2.3有限論空間根據(jù)假設(shè)，M空間應(yīng)該是有限大的。那么(7)式應(yīng)該是唯一的正解。在Fj中任取兩個(gè)約束，不妨設(shè)為F1與F2，在M空間中任取兩點(diǎn)(x1,i)與(x2,i)。易知(x1,i)與(x2,i)亦屬于F1或F2。令f1(x1,i)+f2(x2,i)-f1(x2,i)-f2(x1

15、,i),整理可得0=(x1,i x2,i)·(a1,i- a2,i) (13)即矢量 (x1,i x2,i)si 與矢量 a1-2 =(a1,i- a2,i)si 垂直。若使(x1,i)趨向于(x2,i)，則矢量 a1-2與 F1或F2空間任一線元垂直，即矢量 a1-2與M空間中任一線元垂直，矢量 a1-2與M空間垂直。同理，在約束集F中，n-3個(gè)不同的j相互配對(duì)，可找到n-4個(gè)類似于a1-2的矢量均與M垂直，并且相互獨(dú)立。同理可以建立正交歸一的基矢S1,S2,S3,S4與任一 a1-2正交，則S1,S2,S3,S4完備描述M空間。令Xi為Si的坐標(biāo)數(shù)i=1,2,3,4。由公設(shè)易知它

16、們并不是獨(dú)立的。當(dāng)然我們也可以建立完備的高斯坐標(biāo)x1,x2,x3其變換為dXi=Xixjdxj (14)距離 dS2=gjkdxjdxk (15)但由假設(shè)易知Xi 與xj有限。考慮到雅克比行列式(12)式可能為0或。所以有限論空間一般仍以4參量的坐標(biāo)形式給出。在廣義相對(duì)論中，沒(méi)有理由認(rèn)為引力質(zhì)量只是對(duì)M空間的作用，我們可以把它拓展到對(duì)包容空間H仍有效果。這樣我們認(rèn)為引力作用并不受空間維數(shù)的約束。詳見(jiàn)4.3節(jié)。仿照(11)式，兩點(diǎn)間的距離可寫(xiě)為ds2=GijdXidXj (16)Gij為2階純空間度規(guī)張量。其意義已與(11)式完全不同。3變換本章只考慮不受引力作用的原始理想空間，即令空間度規(guī)張量

17、為單位張量。3.1經(jīng)典變換在H空間中任取三個(gè)點(diǎn)A,B,D構(gòu)成三角形。令B與D的經(jīng)典距離 |BD|2=XbdiXbdi=a2 (17)我們稱之為(偽)超距或弦距同理令A(yù)B=d ;|AD|=b。易證：cosA=d2+c2+a22bd (18)這是經(jīng)典空間的余弦定理。3.2有限論變換 所謂距離，也叫短程線或測(cè)地線，就是指過(guò)兩點(diǎn)的自由粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡或光跡。在M空間中，收到幾何約束的情況下，兩點(diǎn)的光跡不能直接在H空間中超距作用。在M空間中有意義的距離應(yīng)為H空間中的一條曲線。定義M空間中的距離s=Rcda。其中rc是光跡中某點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)方向上的曲率半徑，da為其所對(duì)應(yīng)的圓心角?？紤]到公設(shè)局部各向同性，上式可變

18、為s=Rcda=Rca，a即為S在H空間所對(duì)應(yīng)的圓心角。我們稱該距離為弧距。那么3.1中的M空間中的ABD的夾角距離關(guān)系應(yīng)寫(xiě)為cosd=cosa cosb+sinasinbcosD (19)圖1其中a，b，d為 |BD|、|AD|、|AB| 所對(duì)應(yīng)曲率圓的圓心角，C為球心；或a=|BD|rc，b= |AD|rc， d=|AB|rc證明：如圖2，過(guò)D點(diǎn)做弧AD、弧BD的切線交CA、CB的延長(zhǎng)線于H、I。（C、H、I本質(zhì)上是超越M空間的在H空間中的點(diǎn)，C是曲率圓心）易知： DH=Rctana , DI=Rctanb HI2=Rc2tan2a+Rc2tan2b-2Rc2tanatanbcosD CI

19、=Rccosa,CH=Rccosb cosd=Rc2cos2a+Rc2cos2b-Rc2tan2a-Rc2tan2b+2Rc2tanatanbcosD2Rc2cosacosb =12cosbcosa-sin2acosbcosa+cosacosb-sin2bcosacosb+2sinasinbsinD =cosa cosb+sinasinbcosD式(19)稱為有限論基本變換式，簡(jiǎn)稱基本變換式。其表示出了M空間中任意三個(gè)點(diǎn)之間的夾角距離關(guān)系，是M空間中的余弦定理。圖2例1在M空間中，到某一定點(diǎn)O的距離為r的點(diǎn)的集合構(gòu)成一經(jīng)典球面是s，在球面內(nèi)任取某一線元dl，由(19)式易知 cosdlRc=c

20、os2rRc+sin2rRccosd其中d為dl關(guān)于O對(duì)應(yīng)的圓心角?；?1-12(dlRc)2=cos2rRc+sin2rRc(1-12d2)dl=RcsinrRcd (20) ds=dl2=Rc2sin2rRcd2=Rc2sin2rRcd (21)積分得： l=2RcsinrRc (22) s=4Rc2sin2rRc (23)例2在H空間中，我們先討論4維球的體積V4與表面積S3 V4=V3XdX=-RR43(R2-X2)32dX=122R4 (24) S3=dV4dR=22R3 (25)同理 V5=V4dX；Vn=Vn-1dX； Sn=dVn+1dR (26)我們可以發(fā)現(xiàn)：VnRn, Sn

21、Rn-1 (27)若將Rc帶入 (25)式中，可得到M空間的容積VM=22rc3 (28)例3在M空間中狹小的范圍中，或令a,b,c1 那么 cosd=1-12 d2 , cosa=1-12a2 (29) (19)式可化為： 1-12 d2=(1-12a2)(1-12b2)+abcosD (30)約去二階無(wú)窮小量12a2b2，即有d2=a2+b2-2abcos (31)或 (Rcd)2=(Rca)2+Rcb2-2(Rca)(Rcb)cos (32)這與經(jīng)典空間中的余弦定理(18)式等價(jià)。亦可得出M空間中三角形內(nèi)角和大于。例4當(dāng)?shù)扔?或時(shí)，A，B，D共線，由(19)式可得 cosd=cosa c

22、osb±sinasinb (33) d=|a ± b| (34)與經(jīng)典理論一致。4場(chǎng)物質(zhì)間的相互作用不是超距的，只能通過(guò)場(chǎng)進(jìn)行傳遞。場(chǎng)一般可分為以下四類。4.1物體間的弧距作用 或者說(shuō)，這種場(chǎng)是受到M空間約束的?？紤]到場(chǎng)的輻射行為，我們假設(shè)高斯定理仍然是正確的。但其微分形式與積分形式的變換須參照有限論變換。高斯定理具有以下形式：Eds=q (35)取經(jīng)典球面s(r),場(chǎng)源集中于球心處，上式可化為Es=q (36)將(23)式代入，得E4Rc2sin2rRc=q (37)或 E=q(4Rc2sin2rRc)-1 (38)若場(chǎng)源不是點(diǎn)，則可采用求和或積分的方法，這里不再詳述。4

23、.2物體間的弦距作用這種場(chǎng)是在H空間中輻射的，不受M空間約束。由于H空間為高維空間，場(chǎng)強(qiáng)E亦將隨距場(chǎng)源的距離的增大而迅速減小，將高斯定理應(yīng)用于高維空間，我們很容易得到EdSn=q (39)參考(27)式可得E=qkR1-n (40)顯然這是一種短程場(chǎng)。4.3對(duì)H空間的作用引力場(chǎng)可等效于空間的彎曲。顯然，對(duì)H空間的彎曲與對(duì)M空間的彎曲是局部不可區(qū)分的。因?yàn)樵贖空間中，以4維空間為例ds2=GijdXidXj (41)而M空間中，仍可找到一組笛卡爾坐標(biāo)xi，在局部使得xiXi (42)從而ds2=Gijdxidxj (43)xi與Xi只是M空間中的不同的表象。所以在局部的廣義相對(duì)論作用下，引力對(duì)H

24、空間和M空間的作用無(wú)法區(qū)分。對(duì)M空間的彎曲，我們可視為對(duì)H空間的作用。同時(shí)保證了引力不會(huì)如(40)式那樣在高維空間中迅速衰減。但若假設(shè)H空間不斷裂，那么引力不能只對(duì)M空間作用而對(duì)H空間無(wú)影響。所以我們?nèi)圆扇?41)式作為更普遍的坐標(biāo)。顯然，在引力作用下，M空間在H空間中不再是一個(gè)4維的正球體表面。由此可知，雖然引力的作用是弦距作用，但引力波通過(guò)M空間傳遞，是弧距作用。5實(shí)驗(yàn)5.1水星的近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)一直是近代科學(xué)關(guān)注的問(wèn)題，早在1859年法國(guó)物理科學(xué)家勒韋里耶3就發(fā)現(xiàn)了水星5600/100年的角位移。出去行星之間的影響，仍有42.6/100年的進(jìn)動(dòng)難以用經(jīng)典物理學(xué)解釋。圖3水星每周期進(jìn)動(dòng)的角位移=2r-lr (44)其100年運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)a=100年T (45)由上兩式可得a=42.6 (46)引入(22)式并根據(jù)水星軌道平均半徑 r=0.5791億千米 與周期 T=87.97天 4代入可得Rc2000r=1158.2億千米 (47)這僅代表水星處的曲率?？紤]到r= 0.38天文單位，地球處的曲率半徑可以估算為Rc地=Rc水0.38-2=8021億千米 (48)5.2引力常數(shù)的測(cè)量1798年，英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許首次測(cè)量了引力常量G。此后的180多年中，又有許多物理工作者用不同的方法對(duì)G的值