2014年各地高考理科試題概率

1、2014年各地高考理科數(shù)學(xué)試題之概率20.湖北卷計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量.X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120 的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.(1) 求未來4年中，至多 有1年的年入流量超過120的概率.(2) 水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最多可運行臺數(shù)受年入流量 限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080< X <

2、 120X>120發(fā)電機最多123可運行臺數(shù)若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？17. 四川卷一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200分(即獲得200分).設(shè)1每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為 1且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.(1) 設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列.(2) 玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？

3、(3) 玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加 反而減少了請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分數(shù)減少的原因.11.廣東卷從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的 中位數(shù)是6的概率為.1000位顧客進行獎勵，規(guī)2個球，球上所標的面值18. 福建卷為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對 定：每位顧客從一個裝有 4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出 之和為該顧客所獲的獎勵額.3個均為10元，求:(1) 若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余(i) 顧客所獲的獎勵額為 60元的概率；(ii) 顧客所獲的獎勵額的

4、分布列及數(shù)學(xué)期望.商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的 4個球只能由標有面值 10元和50元的兩種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.周日兩天中任選一天參加公益活動，則周)5.新課標全國卷I 4位同學(xué)各自在周六、 六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為(壯 B.； C.f D，75個點中，任取2個點，則這2個點的距離6. 陜西卷從正方形四個頂點及其中心這 不小于該正方形邊長的概率為()A，1 B.2 C，3 D，4555516. 天津卷某大學(xué)志

5、愿者協(xié)會有 6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取 3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1) 求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；X的分布列和數(shù)學(xué)期望.m個紅球和n個藍球(m > 3,(2) 設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量9.浙江卷已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有 n>3)，從乙盒中隨機抽取i(i = 1, 2)個球放入甲盒中.2)；Pi(i = 1, 2) 則()(a) 放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為E i(i =

6、1,(b) 放入i個球后，從甲盒中取 1個球是紅球的概率記為A P 1>92,E( &)<£($)B P 1<p2,E(首)>E(切C.p1>p2,E(E1)>e(Dp 1<p2,E(&)<E(題)18重慶卷一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1, 3張卡片上的數(shù)字是 2, 2張卡片上的數(shù)字是 3.從盒中任取3張卡片.(1) 求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2) X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求 X的分布列與數(shù)學(xué)期望. (注：若三個數(shù)a, b, c滿足aw b< c,則稱b為這三

7、個數(shù)的中位數(shù))jX w 0,7. 湖北卷由不等式組 廿> 0,確定的平面區(qū)域記為1,不等式組2內(nèi)的概率為(!y X 2 w 0 定的平面區(qū)域記為2,在1中隨機取一點，則該點恰好在11371和1.A.8 B.4 C.4 d.817. 湖南卷某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品 A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品 B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立.(1) 求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率.(2) 若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品 B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.3名10)16. 天津卷某大學(xué)志愿者協(xié)會有

8、 6名男同學(xué)，4名女同學(xué)在這10名同學(xué)中， 同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院現(xiàn)從這名同學(xué)中隨機選取 3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同(1) 求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.3，乙獲勝的概率17° 安徽卷甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為 為3,各局比賽結(jié)果相互獨立.3(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列和均

9、值(數(shù)學(xué)期望)16. 北京卷李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設(shè)各場比賽相互獨立):場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場52512(1) 從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；(2) 從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過 場不超過0.6的概率；(3) 記x為表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機選擇一場，記 場比賽中的命中次數(shù)，比較 EX與x的大小.(只需寫出結(jié)論)17.廣東卷隨機觀測生產(chǎn)某

10、種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)0.6, 一X為李明在這(單位：件),獲得數(shù)據(jù)如下：30, 42, 41, 36, 44, 40, 37, 37, 25, 45, 29, 43, 31, 36, 49, 34, 33,43, 38, 42, 32, 34, 46, 39, 36.根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率25 , 3030.12(30, 3550.20(35, 4080.32(40, 45n1f1(45, 50n2f2(1) 確定樣本頻率分布表中 n1, n2, f1和f2的值；(2) 根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖；(3) 根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求

11、在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30, 35的概率.E= a2 ai,21.江西卷隨機將1, 2, , , 2n(n N*, n2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成 A, B兩組, 每組n個數(shù).A組最小數(shù)為a1,最大數(shù)為a2； B組最小數(shù)為B,最大數(shù)為b2.記 n= b2 b1.(1) 當n = 3時，求E的分布列和數(shù)學(xué)期望；求事件 C發(fā)生的概率P(C)；(2) 令C表示事件“ E與n的取值恰好相等”，對中的事件C,表示C的對立事件，由.21.解：(1)當n = 3時，E的所有可能取值為判斷 P(C)和P( )的大小關(guān)系,并說明理將6個正整數(shù)平均分成 A, B兩組，不同的分組方法共有為

12、：2, 3, 4, 5.C3= 20(種)，所以E2345P13_3_15101054 2所以當 n = 2 時，P(C)= 4=2,63當 nA3 時,P(C)= 2 + Ck=：切1由得，當 n = 2 時，P(C)= 3，因此 P(C)>P(C).而當 nA3 時，P(C)<P(C).理由如下:n2P(C)<P(C)等價于 4(2 + 刀 k=1Ckk)<Cnn,®用數(shù)學(xué)歸納法來證明：(i) 當n = 3時，式左邊=4(2 + C；) = 4(2 + 2) = 16,式右邊=c6= 20,所以式成立.(ii) 假設(shè)n= m(mA 3)時式成立，即(Tm

13、22+刀Ckk成立，、k= 1那么，當n = m+ 1時，左邊=4(2+= 4(2 + 刀m2Arm 1rm I m14C2( m- 1)<C2m + 4C2( m 1)k = 14 ( 2m 2)!( m+ 1) 2 (2m)( 2m 2) !( 4m 1)=<(m 1)!( m 1) !( m+ 1)!( m+ 1) !(m+ 1) 2 (2m)( 2m 2)!( 4m) = m+1(m+ 1)!( m+ 1)!= C2 (m+ 1(2m)!,=+m! m!m+ 12( m+ 1) mm+1=右邊(2m+ 1)( 2m 1)<C2m=右邊，即當n=m+ 1時，式也成立.綜

14、合(i)(ii)得，對于n A3的所有正整數(shù)，都有 P(C)<P(C)成立.18. 、2014遼寧卷一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻 率分布直方圖，如圖1-4所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；用X表示在未來3天里日銷售量不低于 100個的天數(shù)，求隨機變量 X的分布列，期 望E(X)及方差D(X).18 .解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售

15、量不低于100個且另1天銷售量低于50個” 因此P(A1)= (0.006 + 0.004 + 0.002)X 50= 0.6,P(A2)= 0.003X 50= 0.15,P(B) = 0.6X 0.6 X 0.15X 2 = 0.108.(1 0.6)3= 0.064,0.6(1 0.6)2= 0.288,0.62(1 0.6)= 0.432, 0.63 = 0.216.X可能取的值為0, 1, 2, 3，相應(yīng)的概率分別為P(X= 0) = c3 P(x= 1) = c3 P(X= 2) = c3 P(X= 3) = c3 X0123p0.0640.2880.4320.2160.6)，所以

16、期望 E(X) = 3X 0.6= 1.8，方差 D(X) = 3X 0.6X (1 - 0.6) = 0.72.4人需使用某種設(shè)備的概率分別為X的分布列為因為XB(3,20.、2014全國卷設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁0.6, 0.5, 0.5, 0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨立.(1) 求同一工作日至少 3人需使用設(shè)備的概率；(2) X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望.20.解：記A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i = 0, 1, 2.B表示事件：甲需使用設(shè)備.C表示事件：丁需使用設(shè)備.D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備.(1) 因為 P(B) =

17、0.6, P(C) = 0.4, P(Ai) = C2x 0.52, i = 0, 1, 2,所以 P(D)= P(A1 B C+ A2 B+ A2 BC) =P(A1 B C)+ P(A2 B)+ P(A2 BC)=P(A1) P(B) P(C) + P(A2) P(B)+ P(A2) P(B) P(C) =0. 31.(2) X的可能取值為0, 1, 2, 3, 4,其分布列為P(X= 0) = P(B A0 C)=P(B) P(A0)P (C)=(1 0.6) X 0.52X (1 0.4)=0.06,P(x= 1) = P(B a C + B A0 C+ B A1 C)=P(B)P(A

18、0)P(C) + P(B)P(A0)P(C) + P(B)P(A1 )P(C) = 0.6X 0.52X (1 0.4) + (1 0.6) X 0.52X20.4 + (1 0.6) X 2X 0.5 X (1 0.4) = 0.25,P(x= 4) = P(A2 B C)= P(A2)P(B)P(C)= 0.52X 0.6X 0.4= 0.06,P (X= 3) = P(D) P(X = 4) = 0.25,P (X= 2) = 1 P(X = 0) P (X = 1) P(X = 3) P (X= 4) = 1 0.06 0.25 0.25 0.06 =0.38,所以 EX = 0X P

19、(X = 0) + 1X P(X= 1)+ 2X P(X= 2) + 3X P(X= 3) + 4X P(X = 4)= 0.25 + 2 X 0.38 + 3X 0.25 + 4X 0.06 = 2.17., 2014四川卷一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下： 每盤游戲都需擊鼓三次， 每次擊鼓 要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200分(即獲得-2001分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為2,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.(1) 設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列.(2) 玩三盤游戲，至少

20、有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？(3) 玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加反而減少了請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分數(shù)減少的原因.17.解：(1)X 可能的取值為 10, 20, 100, 200. 根據(jù)題意，有P(x=代)=g) X b -y = 8,P(X= 2O) = c3x gjX (1 2) = 3,P(x= 100) = c3x g)X(1y=8,0 0 f 1Y 1p(x=- 2oo) = CoXX(1 2丿=8.所以X的分布列為：X1020100200311PP888設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i = 1, 2, 3)，則1P(A1)

21、= P(A2)= P (A3)= P(X= 2OO) = 8-所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1-p(a1A2A3)=1 - 6；=1 -孟=511512.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512.(1) 求甲在4局以內(nèi)(含 4局)贏得比賽的概率;(2) 記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求17.解：用a表示“甲在4局以內(nèi)Bk表示“第k局乙獲勝”，則 P(Ak) = 2,3X的分布列和均值 洽4局)贏得比賽”，1P(Bk) = 1 k= 1, 2,(數(shù)學(xué)期望)Ak表示“第k局甲獲勝”，3, 4, 5.(3)由(1)知，X 的數(shù)學(xué)期望為 EX= 10 X 8+ 20 X &

22、quot;8+ 100 X1 200 X |=彳.這表明，獲得分數(shù)X的均值為負. 因此，多次游戲之后分數(shù)減少的可能性更大.K6離散型隨機變量及其分布列嚴賓宀 若賽兀17. 、2014安徽卷甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為2,乙獲勝的3P(AiB2A3A4)= P(Ai) P( A2)+ P(Bi) P(A2)P (A3)+(1) P(A) = P (A1A2) + P (B1A2A3) + p(Ai)p(B2)p(A3)p(A4)=舟J+1x = 563 3 81.X的可能取值為2, 3, 4, 5.P(X

23、= 2) = P (A1A2)+ P(B1B2) = P( A1) P(A2)+ P(B1) P(B2)= 5P (X= 3) = P (B1A2A3) + P(A1B2B3)=2P(B1) P(A2)P(A3)+ P (A1) P(B2)P(B3)= 9,1081,P(X = 4) = P(A1B2A3A4) + P(B1A2B3B4) = P(Ai)P(B2)P(A3)P(A4)+ P(Bi)P(A2)P(B3) (B4)=20)P(X= 5) = 1-P(X= 2) - P(X = 3) - P(X = 4)=尋.故X的分布列為X234552108P廠998181EX= 2X 5+ 3x

24、 9 + 4X 詈+ 5 X 詁器16. 2014北京卷李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設(shè)各場比賽相互獨(1) 從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；(2) 從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6,場不超過0.6的概率；(3) 記x為表中10個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機選擇一場，記 場比賽中的命中次數(shù)，比較 EX與x的大小.(只需寫出結(jié)論)16.解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過分別是主場2，主場3,主場5,客場2，客場4.所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的

25、概率是(2)設(shè)事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6”，事件0.6，一場不超過X為李明在這0.6的有5場,為“在隨機選擇的一場客場比賽中，李明的投籃命中率超過 的一個主場和一個客場中，貝U C= ABU AB, A,李明的投籃命中率一場超過B相互獨立.0.5.0.6”，事件BC為“在隨機選擇0.6”.場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場5251232根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù),P(A)= 3, P(B)= 5.故 P(C)= P(AB) + P(AB)=

26、130.6, 場不25.所以，在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過13超過0.6的概率為-.25(3) EX = X .1000位顧客進行獎2個球，球上所標18. 、2014福建卷為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對 勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有 4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出 的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元，求：(i) 顧客所獲的獎勵額為 60元的概率；(ii) 顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的 4個球只能由標有面值 10元和50元的兩

27、種球組成，或標有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.18.解：(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為 X.cd 1(i)依題意，得 P (X= 60) CT = Z即顧客所獲的獎勵額為60元的概率為2(ii)依題意，得X的所有可能取值為20, 60.1P(X= 60) = 2，C3 1P(X= 20)=礦 1即X的分布列為X2060P0.50.5所以顧客所獲的獎勵額的期望為E(X)= 20X 0.5+ 60X 0.5= 40(元).60元的可60因50,(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧

28、客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10, 10, 10, 50)的方案，因為 元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50, 50, 50, 10)的方案，為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10, 10,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除 (20, 20, 20 , 40)和(40 , 40, 40, 的方案，所以可能的方案是(20 , 20, 40, 40)，記為方案2.以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10, 10, 50, 50)，

29、設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1,貝y X1的分布列為X1206010012 11 160063 .X2,貝y X2的分布列為X1 的期望為 E(X1)=20 X1+ 60 X 2+ 100X 6 = 60,Xi 的方差為 D(Xi)= (20 60)2x 6 + (60 60)2 X2+ (100 60)2對于方案2，即方案(20, 20, 40, 40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2406080P1216361 2 1X2 的期望為 E(X2)= 40 X 6+ 60 X 3+ 80 X 6= 60 ,X1 = 4001 2X2 的方差為 D(X2)= (40 60)2x 6 + (60 60)2 X

30、 3+ (80 60)2 63 -的小，所以由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案 1應(yīng)該選擇方案2.過去50年億立20.、2014湖北卷計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機的水電站，的水文資料顯示，水年入流量.X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位： 方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年, 超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立.(1) 求未來4年中，至多 有1年的年入流量超過 120的概率.(2) 水電站希望安裝的發(fā)電機盡可能運行，但每年發(fā)電機最

31、多可運行臺數(shù)受年入流量 限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40<X<8080W X W 120X>120發(fā)電機最多123可運行臺數(shù)若某臺發(fā)電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機未運行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機多少臺？20.解：(1)依題意，p1 = P(40<X<80) = 50= O,2,p2= P(80 W X W 120) = 30= 0.7 ,P3= P(X>120) = 50 = 0.1.由二項分布得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為p= c4(1 P3)4 + C4(1 P3

32、)3p3= 0.94 + 4 X 0.93X 0.1 = 0.947 7.記水電站年總利潤為 Y(單位：萬元). 安裝1臺發(fā)電機的情形.由于水庫年入流量總大于 40，故一臺發(fā)電機運行的概率為1,對應(yīng)的年利潤 丫= 5000 ,E(Y) = 5000 X 1 = 5000. 安裝2臺發(fā)電機的情形.依題意，當40<X<80時，一臺發(fā)電機運行， 此時丫= 5000 800= 4200 ,因此P(丫= 4200) =P(40<X<80) = p1= 0.2 ;當 X> 80 時，兩臺發(fā)電機運行，此時 丫= 5000 X 2= 10 000，因此 P(丫= 10 000)

33、= P(X > 80)= p2+ p3= 0.8.由此得 丫 的分布列如下：丫420010 000P0.20.8所以，E(Y)= 4200 X 0.2 + 10 000X 0.8= 8840. 安裝3臺發(fā)電機的情形.依題意，當40<X<80時，一臺發(fā)電機運行，此時丫= 5000- 1600= 3400,因此P(丫= 3400) =P(40<X<80) = pi= 0.2 ;當 80W X< 120 時，兩臺發(fā)電機運行，此時 丫= 5000 X 2 800 = 9200, 因此 P(丫= 9200) = P(80<X< 120)= p2= 0.7

34、;當 X>120 時，三臺發(fā)電機運行，此時 丫= 5000X 3 =15 000，因此 P(丫= 15 000) = P(X>120) = p3 = 0.1.由此得 丫 的分布列如下：丫3400920015 000P0.20.70.1所以，E(Y)= 3400 X 0.2 + 9200 X 0.7 + 15 000 X 0.1 = 8620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機2臺.17. 2014湖南卷某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為I和I.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立.(1) 求至少有一種新產(chǎn)品研

35、發(fā)成功的概率.(2) 若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤100萬元求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.17. 解：記E= 甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功, F = 乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功，由題設(shè)知2 132P(E) = 3，P(E) = 1, P(F) = 5, P(F) = 5，且事件E與F, E與F , E與F, E與F都相互獨立.1 2 2(1)記H =至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功，則H = E F,于是P(H)= P(E)P(F) = tX-= ,3515213故所求的概率為 P (H)= 1 P (H)= 1 = £.1515設(shè)企業(yè)可獲利潤為

36、X(萬元),則X的可能取值為0, 100, 120, 220.因為P(X = 0) = P(E122131F)=齊 5= 15, P(X = 100)= P(EF)=IX 5=5，224P (X= 120) = P (EF) = 3 X 5= 15，23 2P(X= 220) = P(EF) = |X 5= 5，故所求的分布列為X0100120220P2_142155155數(shù)學(xué)期望為21.一 4_2300 + 480 + 13202100. 一E(x)=0X15+100X1+120X145 +220 X 2=85=石=140.12. 2014江西卷10件產(chǎn)品中有7件正品、3件次品，從中任取 4

37、件，則恰好取到1 件次品的概率是.12 -221.、2014江西卷隨機將1 , 2, , , 2n(n N*, n > 2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成 A, B 兩組，每組n個數(shù).A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2； B組最小數(shù)為B,最大數(shù)為b?.記E= a2 a1, n= b2 b1.E的分布列和數(shù)學(xué)期望；E與n的取值恰好相等”，求事件 C發(fā)生的概率P(C);(1) 當n = 3時，求(2) 令C表示事件“對中的事件C, C表示C的對立事件，判斷P(C)和P(-)的大小關(guān)系，并說明理由.21.解：(1)當n = 3時，E的所有可能取值為2, 3, 4, 5.將6個正整數(shù)平均分成 A, B兩組，

38、不同的分組方法共有c3= 20(種)，所以E的分布列為：E23451331P151010513317EE= 2x 5 + 3X-+ b + 刀 k= 1 c2kc2m成立， X130+ 5 X1= 7.E和n恰好相等的所有可能取值為 n 1, n, n+ 1, , , 2n 2.又E和n恰好相等且等于n 1時，不同的分組方法有 2種；E和n恰好相等且等于n時，不同的分組方法有 2種；E和n恰好相等且等于n+ k(k= 1, 2, , , n 2)(n >3)時，不同的分組方法有 2Ckk種. 所以當 n = 2 時，P(C)= 4= 2,6 3當 n A3 時,P(C)=咤 A1由得，當

39、 n = 2 時，P(C)= 3，因此 P(C)>P(C).而當 nA3 時，P(C)<P(C).理由如下:n2P(C)<P(C)等價于 4(2 + 刀 k=1Ckk)<Cnn,®用數(shù)學(xué)歸納法來證明：(i) 當n = 3時，式左邊=4(2 + c2) = 4(2 + 2) = 16,式右邊=c6= 20,所以式成立.那么，當n = m+ 1時，(1m +1 2 、 f2+刀 k= 1 ckJ= 4(2+刀m2 Xk=1ck + 4cmm-1)<cmm + 4cmm-1)=(2m)! +m! m!(ii) 假設(shè)n= m(mA 3)時式成立，即4 ( 2m

40、2)!( m+ 1) 2 (2m)( 2m 2)!( 4m 1)= < (m 1)!( m 1) !( m+ 1)!( m+ 1) !(m+ 1) 2 (2m)( 2m 2)!( 4m) =1(m+ 1)!( m+ 1)!= 2 (m+1)m+12( m+ 1) mm+1_卄十(2m+ 1)( 2m 1) <C2(討1=右邊，即當n=m+ 1時，式也成立.綜合(i)(ii)得，對于n A3的所有正整數(shù)，都有P(C)<P(C)成立.18. 、2014遼寧卷一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻 率分布直方圖，如圖1-4所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并

41、假設(shè)每天的銷售量相互獨立.(1) 求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).18 .解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù) 3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另1天銷售量低 于50個” 因此P(A1)= (0.006 + 0.004 + 0.002)X 50= 0.6,P(A2)= 0.003X 50= 0.15,P(B) = 0.6X 0.6 X 0.15X 2 =

42、0.108.(1 0.6)3= 0.064,0.6(1 0.6)2= 0.288,0.62(1 0.6)= 0.432, 0.63 = 0.216.(2) X可能取的值為0, 1, 2, 3，相應(yīng)的概率分別為P(X= 0) = c3 P(X= 1) = c3 P(x= 2) = C2 P(X= 3) = c3 X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為XB(3,0.6)，所以期望 E(X) = 3X 0.6= 1.8，方差 D(X) = 3X 0.6X (1 - 0.6) = 0.72.18. , 2014山東卷乒乓球臺面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖1-4所示，甲上有

43、兩個不相交的區(qū)域A, B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C, D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球規(guī)定：回球一次，落點在 C上記3分，在D上記1分，其他情況記1 10分對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為1在D上的概率為1;13對落點在B上的來球，小明回球的落點在 C上的概率為-，在D上的概率為-假設(shè)共有兩次5 5來球且落在A, B上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：(1)小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率； 兩次回球結(jié)束后，小明得分之和E的分布列與數(shù)學(xué)期望./,圖1-4A上的來球回球的得分為i分”(i= 0, 1, 3),2718. 解：(1)記Ai為

44、事件“小明對落點在1 1 1則 P(A3) = 2 P(A1)= 3, P(A0)= 1- 1 - 36，記Bi為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為i分”(i = 0, 1, 3),13131則 P(B3)= 5, P(B1)= 5 , P(B0)= 1- 設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求 X的分布列； 若在這塊地上連續(xù) 3季種植此作物，求這 3季中至少有2季的利潤不少于2000元的 -Ep.記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”.由題意，D = A3B0 + A1B0 + A0B1 + A0B3,由事件的獨立性和互斥性，P(D) = P (A3B 0+ A1B

45、0 + A0B1 + A0B3)=P(A3B0 )+ P(A1B0)+ P (A0B1) + P (A0B3)=P(As)P(B0) + P(A1) P(B0)+ P(A0)P(B1) + P(A0)P(B3)=1x1+1x1+1x3+1x125356565=3310.= 10,所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為由題意，隨機變量E可能的取值為0, 1, 2, 3, 4, 6.(2) 由事件的獨立性和互斥性，得1、/ 1 1P(= 0)= P(A0B0)=6 X 5=30，1113P(片 1) = P(A1B0+ A0B1) = P(A1B0) + P(AoB1)= - X5+

46、 6 5 =P( E= 2) = P(A1B1)= 1X3 = 5,11112P( E= 3) = P(A3B0+ A0B3) = P(A3B0)+ P(A0B3)= - X- + -X -= 77,26515131111P( = 4) = P(A3B1 + A1B3)= p(a3B1)+ P(A1B3)=-x 5+ 3X 5= 30,P(= 6) = P (A3B3)= 1X1 = 10.可得隨機變量E的分布列為：E0123461112111PP3065153010所以數(shù)學(xué)期望 EMOX30+ 1x6+2x 1+3x茅4X11+6吒=&19., 2014陜西卷在一塊耕地上種植一種作物

47、，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(兀/kg)610概率0.40.6概率.19 解:(1)設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg ”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg ”,由題設(shè)知 P(A) = 0.5，P(B) = 0.4,利潤=產(chǎn)量X市場價格成本， X所有可能的取值為500X 10 1000= 4000 , 500X 61000 = 2000,300X 10 1000= 2000 , 300X 61000 = 800.P(X= 4000) = P(A) P(B)

48、= (1 0.5) X (1 0.4) = 0.3,P(X= 2000) = P(A) P(B) + P(A)P(B)= (1 0.5) X 0.4 + 0.5X (1 0.4) = 0.5,P(X= 800) = P(A)P(B)= 0.5 X 0.4= 0.2 ,所以X的分布列為設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”(i = 1 , 2,由題意知C1, C2, C3相互獨立，由(1)知，P(Ci) = P(X = 4000) + P(X = 2000) = 0.3 + 0.5 = 0.8(i = 1 , 2,3季的利潤均不少于 2000元的概率為3P (C1C2C3) = P(C1)

49、 P(C2)P(C3)= 0.8 = 0.512;3季中有2季利潤不少于2000元的概率為2P(C1C2C3) + P(C1C2C3) + P(C1C2C3) = 3X 0.8 X 0.2= 0.384,所以，這3季中至少有2季的利潤不少于 2000元的概率為3),3),0.512 + 0.384= 0.896.X40002000800P0.30.50.217., 2014四川卷一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下： 每盤游戲都需擊鼓三次， 每次擊鼓 要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200

50、分(即獲得-200 分)設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為2,且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.(1) 設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X,求X的分布列.(2) 玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？(3) 玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比，分數(shù)沒有增加 反而減少了請運用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分數(shù)減少的原因.17,解：(1)X 可能的取值為 10, 20, 100, 200.根據(jù)題意，有P(X= 10) = C3X們乂 (1 1丫= 3'2 U-2 丿=8，P(X= 20) = c3xQX T-2丿=8， P(x= 100) = c3x g) X (10=8 P(X= 200)

51、 = c3x gjX(1 2) = 8所以X的分布列為:X1020100200P33118888設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i = 1, 2, 3)，則1P(A1)= P(A2)= P(A3) = P(X=- 200) =-.所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為1 P(AaA3 1 - £ = 1 -扁=511512.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511 512.(3)由(1)知，X 的數(shù)學(xué)期望為 EX= 10 X-+ 20 X-+ 100 X1 - 200X-=-這表明，獲得分數(shù)X的均值為負.因此，多次游戲之后分數(shù)減少的可能性更大.16.、2014天

52、津卷某大學(xué)志愿者協(xié)會有 6名男同學(xué)，4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中， 3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取 3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.16.解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，貝yP(A)=c5 c2+ c0 c7= 49C10= 60所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為4960.(2)隨機變量X的所有可能值為0, 1, 2, 3.Ck C3- kP(X= k) = 4c306 (k= 0, 1, 2, 3),隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) = 0X 6 + 1 X2 + 2X 1- + 3X 3018. , 2014重慶卷一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片， 1, 3張卡片上的數(shù)字是2, 2張卡片上