25空間的平行與垂直關(guān)系

1、江蘇省2014屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題選編20:空間的平行與垂直關(guān)系(教師版)填空題1 .已知，m是兩條不同的直線，：，是兩個不同的平面，有下列四個命題：若丨-,且二】，則I _ ：;若丨_ 一：，且/ -,則I _;若 I I -，且 | -，則 I / ：;- = m，且 I / m，則 I / ：.則所有正確命題的序號是 .【答案】2 .給出下列命題:(1) 若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；(2) 若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；(3) 若兩條平行直線中的一條垂直于直線m那么另一條直線也與直線m垂直；(4) 若兩個平面垂直，那么一個平面

2、內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中，所有真命題的序號為 .【答案】1、 3、 43 .已知mn是兩條不同的直線，a， 3是兩個不同的平面. 若 m a，ml 3，則 a 丄 3 ;若 m a，a n 3 =n，a 丄 3，則 mL n；若 m a，n 二 3，a / 3，則 m/ n;若 ni/ a，m 3，a n 3 =n，則 m/ n.上述命題中為真命題的是 (填寫所有真命題的序號).【答案】4 .設(shè)m，n是兩條不同的直線，是一個平面，有下列四個命題:若m = n mum，則n丄a ;若口丄 m，則n丄a：若 n /，m ?，則 n / m ；若 m / ：，n / ：，

3、則 m / n.其中真命題是 (寫出所有真命題的序號).【答案】5 .現(xiàn)有如下命題:過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直；過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行；如果兩個平行平面和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行；如果兩個平面相互垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內(nèi)則所有真命題的序號是6 .在空間中,用a,b,c表示三條不同的直線,表示平面,給出下列四個命題：(1)若 aUb,b|_c,則 al c(2)若 a_b,b_c,則 a_c(3)若 aL|,叩,則 aJb(4)若 a_,b_,則 aJ b【答案】7 .已知a , 3為平面，m n為直線，

4、下列命題:若m/n, n / a ,則m/a ;若mla ,ml3 ,貝Ua / 3 ;若 a A 3 =n, m/ a , m / 3 ,則 m/ n;若 a 丄 3 , ml a , nl 3 ,則 ml n.其中是真命題的有 .(填寫所有正確命題的序號)【答案】8 .已知兩個平面a , b ,直線l A a ,直線m i b ,有下面四個命題a B二丨丄m; a丄0 =>lm;丨丄mlm=a丄0.其中正確的命題是.【答案】、9 .設(shè)mn是兩條不同的直線，二，：，是三個不同的平面，給出下列命題: 若 m 二,，|，則 m _; 若 m :，m _ 1 ,則：; 若_ 1 ,_ ,則丄

5、廠; 若： p|= m,：門=n , m/n ,貝U.篇/.上面命題中，真命題的序號是 (寫出所有真命題的序號).【答案】10. 以下5個命題:(1) 設(shè)a, b , c是空間的三條直線,若a_c,b_c,則a/b;(2) 設(shè)a, b是兩條直線，是平面，若a _ :- , b.I壽，則a/b ;(3) 設(shè)a是直線，：，1是兩個平面，若a _ ，壽】,則a / ：；(4) 設(shè):-,:是兩個平面，c是直線，若c _ :- , c匸,則/ :;(5) 設(shè)，-,是三個平面，若，1 ,則/<-.其中正確命題的序號是.【答案】若 m/n,m _ -,則 n _ -；.若 m/ot,m/3,則 a /

6、0 ；【答案】12.設(shè)a b是兩條不同的直線，：、若 a _ b,a .1 二,則 b/，若 a/ ,a _ :,則-1：,其中正確的命題序號是BED【答案】11. 設(shè)m, n是兩條不同的直線，：，-是兩個不同的平面，則下列正確命題的序號是.若 m n, m/ -,則 n/ ：；.若n - :- ,n :,則二匚.是兩個不同的平面，則下列四個命題若a _】,則a/，若 a _ b, a .1 二，b,則l -,【答案】;解答題13.如圖，在四棱錐P -ABCD中，PA丄平面ABCD, AC _ BD于O.(I)證明：平面PBD丄平面PAC ;(I)證：因為PA _平面ABCD,BD 平面 AB

7、CD, PA_BD又AC BD , PA, AC是平面PAC內(nèi)的兩條相交直線BD _ 平面 PAC ,而BD 平面PBD ,所以平面PBD丄平面PAC第3頁，共29頁(n)證：AC _ BE , AC _ BD , BE 和 BD 為平面 BED 內(nèi) 兩相交直線,.AC _平面BED ,連接 EO, EO 二平面 BED, AC_EO,/ PA 丄平面 ABCD, AC 二平面 ABCD , AC _ PA,又 AC,PA, EO 共面，.EO/PA,'又 PA 二平面 BED , EO 二平面 BED , . PA/ 平面 BEDj314. 在三棱錐S-ABC中,SA _平面ABC,

8、SA=AB=AC BC，點D是BC邊的中點，點E是線段AD上一點，且 3AE=4DE點M是線段SD上一點，(1)求證：BC_ AM若AM_平面SBC,求證:EM |平面ABS【答案】(1) I A&ACD是BC的中點， ADL BCSA_ 面ABCBC 面 ABCSA_ BCAD 一 SA 二 ABC丄平面SAD AM 面 SAD -BC _ AM(證到SA!平面SAD得 5分)(2) AM_ 面 SAB= AM SDSM =4MDAE =4DEME /SASA 乂平面ME U 平面 ABSEM/ 面 ABS(證到 SM4MD# 10 分，得到 MEI SA得 12 分.)415. 如

9、圖，四棱錐P-A BCD中，底面ABCD為菱形,BD丄面 PAC,A C=10,PA=6,cos/ PCA= ,M是PC的中點.5(I )證明PC!平面 BMD;(n )若三棱錐 M-BCD的體積為14,求菱形ABCD的邊長.第#頁，共29頁【答案】161 別？丄離陀匸 * PACBD.中臥昭板r譏料H丹乂曲*4 C-2PC M C砂£期.ff 36*.PC-S, AFt斗"¥ '丄* *" * " i »+ * *-»*+,44 蛀 WOb*. W 4甩詢中點舊址沖（：憐中球. .PClMOr 丈. BDriMOa

10、O,+ * HMD.e n jit：vvei3 ；咅血；月Dxi/Oxyij* "*+”+“*“*“一“.=0*-細(xì)斗吩4川PA =31EQte7*宇 * ".LI. mj2【蔓謝 4的 ii 崔 /IO+tWP =奇16. 如圖，在四棱錐 P-ABCD中 ,PDL底面ABCDADL AB CD/ ABAB 二. 2AD = 2 , CD = 3 ,直線 PA與底面ABCD所成角為60° ,點M N分別是PAPB的中點(1)求證：M/平面PCD求證：四邊形MNC是直角梯形；求證：DN _平面PCB【答案】證明：(1) 因為點 M,N分別是PA,PB的中點，所以MN

11、 / AB 因為 CD / AB,所以 MN / CD.又CD 二平面PCD, MN 二平面PCD,所以MN /平面 PCD(2) 因為 ADL ABCD/ AB 所以 CDL AD又因為PDL底面ABCDCD二平面ABCD所以CDL PD又Ap PD二D ,所以CDL平面PAD因為MD 平面pAd所以CDL MD所以四邊形MNC是直角梯形(3)因為PDL底面ABCD所以/ PAD就是直線PA與底面ABCD成的角，從而/ PA= 60 在 Rt PDA 中,AD =廠2 , PD =. 6 , PA =2、2 , MD =匸2 .在直角梯形 MNC中,MN =1 , ND = 3, CD =3

12、, CN =MD 2一(CD 二 MN )2 = ：；6 ,從而 DN 2 CN2 二 CD2,所以 DNL CN在 Rt PDB 中,PD= DB= .6 , N 是 PB的中點,則 DNL PB又因為|PB CN二N ,所以DN _平面PCB17.如圖，已知斜三棱柱 ABCABC中，AB=AC D為BC的中點.(1) 若平面 ABCL平面BCCB,求證：ADL DC；(2) 求證:AB平面ADC(第16題)【答案】證明：(1)因為AB=ACD為BC的中點，所以ADL BC因為平面 ABC平面BCCB,平面ABCn平面BCCB=BCAD平面ABC 所以ADL平面BCGB因為DCu平面BCCB

13、,所以ADL DC(2)(證法一)連結(jié)AC交AC于點O連結(jié)0D則0為AC的中點因為D為BC的中點，所以O(shè)D/AB因為0D平面ADCA1B/平面ADC所以AB/平面ADC(證法二)取BC的中點D,連結(jié)AD, DD DB則DCBD所以四邊形BDCD是平行四邊形所以DB CQ第6頁，共29頁因為CE平面ADC DB平面ADC所以DB平面ADC同理可證 AiDi/平面ADC因為 ADu平面 ABD, DBu平面 ABD, AD n DB=D, 所以平面ABD/平面ADC因為AiB平面 ABD,所以AiB/平面ADCA（第16題圖）CiB（第16題圖）18.如圖的幾何體中，AB _平面ACD , DE

14、_平面ACD, ACD為等邊三角形，AD = DE2AB , F為CD的中點.（1）求證：AF /平面BCE ；求證:平面BCE _平面CDE .【答案】（1）證明：取CE的中點G ,連結(jié)FG、BG .1 GF =DE/ F 為 CD 的中點，. GF / DE 且 2./ AB丄平面ACD, DE丄平面ACD,1AB = DE.AB/ DE . GF / AB 又 2 GF=AB四邊形GFAB為平行四邊形，則AF / BG .BFEDAF 平面 BCE , BG u 平面 BCE , AF / 平面 BCE證明： ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，. AF 一 CD/ DE _ 平面 AC

15、D, AF 平面 ACD , . DE _ AF .BG / AF . BG 丄 DE, BG 丄 CD 又 CD c DE = D BG _ 平面 CDE ./ BG 平面 BCE , .平面 BCE _ 平面 CDE19.如圖，在直三棱柱 ABGABC中，AE=AC點D為BC中點，點E為BD中點，點F在AC上,且AC=4AF(1)求證：平面ADFL平面BCGBi；求證：EF /平面ABEA.【答案】 證明:(1) 因為直三棱柱 ABGABC,所以CC丄平面ABC 而AD平面 ABC所以CC_AD又AB=AC D為BC中點，所以ADBC,因為 BC CC=C, BC 平面 BCGBi, CC

16、 平面 BCGBi, 所以AD平面BCCB,因為AD平面ADF所以平面 ADFL平面BCGB 連結(jié)CF延長交AA于點G連結(jié)GB因為 AC=4AFAA CC,所以 CF=3FG又因為D為BC中點，點E為BD中點，所以CE=3EB 所以EF/ GB而EF二平面ABBA GB二平面ABBA所以EF /平面ABBA20.如圖，四棱錐P - ABCD的底面是直角梯形，AB /CD , AB _ AD , .IPAB和 PAD是兩個邊長為 2 的正三角形，DC =4,0為BD的中點，E為PA的中點(1) 求證：0E /平面PDC ;(2) 求證:平面PBD _平面ABCD .【答案】.（ar為x的中pf,

17、 afABLAD, AB = ADt 測DC* 二習(xí)邊ABFD為正方形+*2分 "為BD的中點，：*0為*F,RD的交點，化0為材的中點T E為丹中點.A QE/IPF t V分VO£(t 平血FDC,尸F(xiàn)U平ilPDCf；OEM 平面 PDC. 7分<n)普0為ED的中點，PD-PB=2tJ- P0 丄 RD* - 8SbVyf AD2+ ABJ =2妃:* POuQpe'.Q =巨 A0 = -BD = 2t2在三角PAO申，PgAgPC =P0丄#0 M)分r"OpBD=a ：P0丄平面初仞 口分PO C 平SlPBOA 平面 PSD 1 平曲

18、 AUCD 14分21.如圖，在四棱錐 P ABCD中,平面PAB _平面ABCD , BC/平面PAD . PBC =90,-PBA =90求證：(1) AD/ 平面 PBC ; (2) 平面 PBC _ 平面 PAB.（第 16 題）【答案】【證】 因為BC平面PAD而BC 平面ABCD平面ABCD平面PAD= AD 所以BC/ ADP因為AD二平面PBCBC二平面PBC所以AD /平面PBC(2)自P作 PH丄AB于H因為平面PAB丄平面ABCD ,且平面PAB I 平面 ABCD =AB 所以PH 平面ABCD因為 BC 平面 ABCD所以 BC_PH因為.PBC -90 ,所以 BC

19、_PB而WPBA =90',于是點H與B不重合，即PBI PH = H因為PBPH 平面PAB所以BC_平面PAB因為BC二平面PBC故平面PBC平面AB22.如圖，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中,已知平面 AAjCjC _平面ABCD,且AB=BC=CA=73 ,AD =CD =1 .(1) 求證：BD _ AAi；(2) 若E為棱BC的中點，求證：AE /平面DCC勺Dj .【答案】在四邊形 ABCD中,因為BA二BC , DA二DC ,所以BD _ AC ,又平面AACQ _平面ABCD ,且平面AAC1Cr平面ABCD二AC ,BD 平面ABCD ,所以BD _平面

20、AAC ,又因為AA 平面AAGC,所以BD _AA在三角形 ABC中，因為AB = AC ,且E為BC中點，所以AE _ BC ,又因為在四邊形 ABCD中，AB =BC二CA- 3, DA = DC =1,所以.ACB =60 , . ACD =30 ,所以 DC _ BC ,所以 AE 二 DC ,因為DC 平面DCC1D1, AE二平面DCC1 D1,所以AE二平面DCC1 D123.如圖，AB, cd均為圓O的直徑，CE _圓O所在的平面，BF二CE .求證:平面BCEF丄平面ACE ;直線DF 平面ACE .【答案】因為CE _圓0所在的平面，BC二圓0所在的平面 所以CE _ B

21、C ,因為AB為圓0的直徑，點C在圓0 上,所以AC _BC , 因為 AC "CE =C , AC,CE 平面 ACE ,所以BC _平面ACE ,因為BC 平面BCEF ,所以平面BCEF 平面ACE由AC _ BC ,又因為CD為圓O的直徑， 所以BD _ BC ,因為AC ,BC , BD在同一平面內(nèi)，所以ACBD,因為BD二平面ACE , AC二平面ACE ,所以BD二平面ACE 因為BF CE ,同理可證BF二平面ACE ,因為 BDP1BF =B, BD,BF 平面 BDF ,所以平面 BDF二:平面ACE ,因為DF 平面BDF ,所以DF 平面ACE24如圖，在四棱

22、錐P -ABCD中，四邊形ABCD是菱形，PA二PC , E為PB的中點.(1)求證：PD /面AEC ；(2)求證：平面AEC 平面PDB .4第13頁，共29頁【答案】 證明：設(shè)ACBD =0 ,連接E0,因為0,E分別是BD,PB的中點,所以PD/ E0而PD広面AEC, E0匚面AEC,所以PD/面AEC連接P0,因為PA二PC ,所以AC P0 ,又四邊形ABCD是菱形，所以AC BD而 P0 面 PBD , BD 面 PBD , P0RBD =0,所以 AC面 PBD又AC 面AEC ,所以面AEC _面PBD25.在正方體 ABCD-ABCD中,0是AC的中點,E是線段 D0上一

23、點，且DE=入E0(1) 若入=1,求異面直線DE與CD所成的角的余弦值；(2) 若平面 CDEL平面 CD0,求入的值.第17頁，共29頁【答案】 不妨設(shè)正方體的棱長為 1,以DA, DC ,為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D -xyz.則 A(1,0,0), Og , ,2, 0), C(0, 1, 0)D(0,0,1), E(寸,4 , 11 ), CD1 =(0, -1, 1 ).DE CD13|DE|CD1|6所以異面直線AE與CD所成角的余弦值為nr C0=0, m- CD1 =0設(shè)平面CD0的向量為n=(xi, yi,zi),由|1_丄=0得2 y1'取 X1=

24、1,得 y1=Z1=1,即 m=(1,1,1 ).十乙=0，由 DE=入 EQ貝U EC_L_, _L_，丄 1, dE 邛_乙,L，丄 1(2(1+扎)2(1+幾)1+扎丿(2(1+打 2(1 +九)1+化丿又設(shè)平面CDE勺法向量為n=(X2, y z2),由n CD=0,n dE=0.4-y2 =°，得x2 y2z2取 X2=2,得 Z2=-入，即 n=(-2,0,入).2 - =0,2(1 )2(1 ，) 1 - 因為平面CDEL平面CDF,所以m- n=0,得入=2.26.如圖,在四棱錐 P- ABCD中 ,四邊形ABCD正方形,PA!平面ABCDE為PD 的中點求證：(1)

25、 PB/平面 AEC(2) 平面PCD_平面PADD【答案】 證明：連BD,AC交于Q. T ABCD是正方形1 AQ=QC, QCd AC2連EQ,則EQ是三角形PBD的中位線.EQ / PBEQ二平面AEC PB/平面 AEC(2): T PA_平面 ABCD CD_ PA/ ABCD是正方形 AD_ CD CD_平面 PAD平面PAD_平面PCD27 .如圖，在三棱柱ABG - ABC中，已知E , F , G分別為棱AB , AC , AG的中點，一 ACB = 90°, A)F _ 平面 ABC , CH _ BG , H 為垂足.求證:(1) AE平面 GBC; (2)

26、BG 平面 ACH .Bi【答案】(I)證Ijlh 取BQ中點-EM =-ACt EM / AC i 11/=# 仁妁/<“ 2 1:、辭H EM、4GE肘電* 斗£蛋 di G&C ” GW c lie GBC. L “ 廿湎 Wy井1檔:二鴉特片沖叫耳時T曲中.q f井別丸斗GMCF也- MG h . _.耳斗曲召叱；帆邊"FOG為平打閤邊陽$/ CC T 井"丄平呱膽心丄乎血肌"Mu平也氐+“1© 分富CB丄丿廠亠*<丄t CG,cfi c Tittl GCB，gflUBY *' -L TEltiflCC &#

27、187;十十口 fir又 “ SG c 半 liiMG 譏 M 丄 AG ,liftf+/lCG. ItACryCHC, AC,CJt c till ACH ,HtBG 丄屮面4CH, "*14 井28. 如圖,在四棱錐 P-ABCD中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2t PC中點.求證:PA/平面 BDE; 求證：平面PBCL平面 PDC.【答案】證明 連接AC交BD于0,連接EO, PO四邊形ABCD是菱形， 0是AC中點,又 E 為 PC 中點. PA / E0又 E0 面 BDE , PA 二面 BDE PA / 平面 BDE在 PAC 中，易得 AO =C

28、0 = P0 = /3 . APC 二 90 , PC 二 2 2在厶PDC中可求得DE = . 2 ,同理在 PBC中可求得BE = . 2在厶BDE中可得.BED =90 ,即BE丄DE又 PB 二 BC , E 為 PC 中點， BE 丄 PCBE丄面PDC ,又BE 面PBC 平面PBC _平面PDC29. 如圖，四邊形 ABCD為矩形，AD丄平面 ABE , AE = EB = BC = 2, F為CE上的點，且BF丄平面 ACE .(1) 求證：AE丄BE;(2) 求三棱錐 D AEC的體積；(3) 設(shè) M在線段 AB上，且滿足 AM = 2MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN

29、 /平面DAE .【答案】 解 (1)v AD丄平面ABE , AD / BC , BC丄平面 ABE，貝U AE丄BC .又 BF丄平面 ACE , AE丄BF , AE丄平面BCE .又 BE 平面 BCE , AE 丄 BE .Vd/ec 二 Ve/dc =1vejbcd 二丄-2、2 22 =4(2)22 33 .(3) 在三角形 ABE中，過 M點作MG / AE交BE于G點，在三角形 BEC中，過 G點作GN / BC交EC于N點，連MN，則由比例關(guān)系易得CN = 3-CEMG / AE , MG 二平面 ADE, AE 平面 ADE ,第17頁，共29頁 MG /平面 ADE，同

30、理，GN /平面 ADE , 平面 MGN /平面 ADE .又 MN 二平面 MGN , MN / 平面 ADE , N點為線段CE上靠近C點的一個三等分點.30 .如圖，在四棱錐PABC中,PA_平面ABCD四邊形 A B C D是平行四邊形，且AC _CD , PA =AD , M , Q 分別是 PD , BC 的中點.（1）求證：MQ二平面PAB ;（第16題圖）（第 16題圖）因為M是PD的中點，所以ME二AD , M-AD,2又因為Q是BC中點,所以BQ二丄BC ,2因為四邊形 ABCD是平行四邊形；所以BC 1AD ,所以BQ丄ME ,所以四邊形MQBE是平行四邊形,所以MQ二

31、BE .因為BE 平面PAB,MQ 二平面 PAB,所以MQ二平面PAB因為PA _平面ABCD , CD二平面ABCD ,所以 PA _CD ,又因為 AC _CD , PA" AC 二 A,PA 二平面 PAC , AC 二平面 PAC ,所以CD 平面PAC ,又AN 平面PAC ,所以AN _CD又 AN _ PC , PC DCD 二C , PC 二平面 PCD , CD 二平面 PCD ,所以AN _平面PCD ,又PD 平面PCD ,所以AN _ PD ,又PA二AD , M是PD中點，所以AM _ PD ,又AM "AN =A, AM 平面AMN , AN

32、平面AMN ,所以PD _平面AMN , 又MN 平面AMN ,所以MN _ PD如圖，在直三棱柱ABC-ABQ中，E分別是棱BC,CC的點(點D不同于點C ),且AD _DE，F(xiàn)為BG的中點.求證:(1)平面ADE _平面BCGB,；(2)直線AF /平面ADE.【答案】 證明: ABCAEG是直三棱柱，CG丄平面ABC .又 AD 平面 ABC , CG _ AD .又 t AD _ DE , CG, DE 平面 BCC1B1, CG Pl DE = E , . AD _ 平面 BCC1B1 .(lb ylfx)又 AD 平面ADE, 平面ADE_平面BCC1B1. AiBi =.Api,

33、 F 為 B1C1 的中點， AF _ B1C1.又 CC1 I 平面 ABG ,且 A|F 二平面 ABG , CC1 I AiF .又.CG, BG u 平面 BCG B1, CC1 門 BQ1 = G , A F I 平面 A BiG .由(1)知,AD _ 平面 BCC1B1, A1F / AD .又: AD 平面 ADE, A1F f 平面 ADE , 直線 A1F / 平面 ADE32.如圖，在正三棱柱 ABGABG中，AA=Q2aCDEF分別為線段 ACAA GB的中點(1)證明：EF/平面 ABC(2)證明：CE丄平面BDEEAA1【答案】證明(1)如圖，取BC的中點G連結(jié)AG

34、FGA1EA(第 16 題)第29頁，共29頁1因為F為CB的中點，所以FGj -CC一 2在三棱柱 ABGABC中,AAE CC且E為AA的中點,所以FGEA所以四邊形AEFG1平行四邊形所以EF/ AG因為EF二平面ABCAG平面ABC所以EF/平面ABC 因為在正三棱柱 ABCABC中，AA丄平面 ABCBD平面ABC所以AA丄BD因為D為AC的中點，BA=BC所以BDL AC因為AiAn ACA A Au平面AACCAU平面AACC所以BDL平面 AACC因為C E平面AiACC所以BDL C E根據(jù)題意，可得EB=Ci E=¥aB G B= , 3AB所以 EB+Ci E2

35、=Ci B2-從而/ CEB=90° ,即 CEL EB因為 BDH EB=B, BDu平面 BDE EBu平面 BDE所以C E丄平面BDE33.如圖，在三棱錐P - ABC中，BC _平面PAB .已知PA = AB，點D , E分別為PB , BC的中點 (i )求證：AD _平面PBC ;AF(2)若F在線段AC 上,滿足AD /平面PEF ,求的值.FC【答案】s:r-ir - - -+- -:；xr：34 在直三棱柱ABC-ABC中，AB_BC, D為棱CG上任一點.(1)求證：直線A B /平面ABD ;求證：平面ABD丄平面BCClBl.【答案】證明：由直三棱柱ABC

36、-ABC,得ABJ/AB而EF二面ABD,AB面ABD ,所以直線EF /平面ABD因為三棱柱ABC - ABQ為直三棱柱，所以AB _ BB ,又AB _ BC,而 BB匚面 BCGBi BC u 面 BCG Bi 且 BBi BC = B 所以 AB 丄面 BCG Bi又AB 面ABD ,所以平面ABD丄平面BCCiBi35.如圖，在直三棱柱ABCAiBiG中，AC丄BCBcmBbpd為AB的中點(1) 求證:BG _平面ABC ；(2) 求證：BG /平面ACD .【答案】(i)因為在直三棱柱 ABC - AG中，所以CG _平面ABC ,C因為AC 平面ABC ,所以CG _ AC ,

37、又 AC _ BC , CG BC 二 C ,所以 AC _ 平面 B1C1CB ,因為BCi平面BiCiCB ,所以BG _ AC又因為BC BB-所以BB1C1C是正方形，所以BG _ BC ,又 B1C AC 二 C ,所以 BC1 _ 平面 ABC ,在正方形A1C1CA中，設(shè)AG AC二G,則G為AG中點，D為AB的中點，結(jié)DG ,在 ABC1中，BC1 / DG ,因為DG二平面A1CD, BG二平面ACD,所以BC1 /平面A1CD ,36.如圖，在四面體ABCD中，BC _面ACD , DA = DC , E、F分別為AB、AC的中點.(1)求證：直線EF /面BCD ；求證:

38、面DEF丄面ABC .【答案】證明：/ E、F分別為AB、AC的中點，.EF / BC又 BC 面 BCD , EF 二面 BCD ,.直線 EF / 面 BCDDA = DC ,點 F 為 AC 的中點，.DF _ AC又 T BC 丄面 ACD , DF u 面 ACD ,二 DF 丄 BC , ” DF 丄面 ABC又DF 面DEF .面DEF丄面ABC37.如圖，已知空間四邊形 ABCD中，BC =AC, AD =BD , E是AB的中點C求證:AB _平面CDE;平面CDE _平面ABC .(3)若G為.ADC的重心，試在線段AE上確定一點F,使得GF/平面CDE.【答案】BC =

39、AC血=BD【答案】證明:(1)同理，DE_AB-4E-BE'AEBE又、：CEDE = E幾.45 一平面 CDE、分(2) 由(1)有M -平面CDE又 TAB 二平面.4BC,二1FffiCDE 一1F®.擄 C9 分(3) 連接AG并延長交Q于已 連接EH,則 GH 1在AS上取點F使得二_ =二，則GF/EH,易知GF"平面CD三14分FE 138.如圖，在正三棱柱 ABGABC中，E是側(cè)面AABB對角線的交點，F(xiàn)是側(cè)面AAC C對角線的交點，D是棱BC 的中點求證：(1) EF / 平面 ABC2)平面 AEFL平面 AADC【答案】解：(1)連結(jié)AB和

40、AC.因為E、F分別是側(cè)面 AA1B1B和側(cè)面AAGC的對角線的交點， 所以E、F分別是AB和AC的中點.所以EF / BC又BC二平面ABC中，EF ?平面ABC中，故EF /平面ABC 因為三棱柱 ABCABG為正三棱柱，所以A|A _平面ABC，所以BC _ AA.故由 EF/BC，得 EF _AA又因為D是棱BC的中點，且 ABC為正三角形，所以BC _ AD .故由 EF/BC，得 EF _AD而A：A AD =A，AA AD匚平面AAD，所以EF丄平面AD又EF二平面AEF，故平面 AEF 平面 AAD 39 .如圖,四邊形 ABC為正方形,在四邊形 ADPQ 中,PD/QA .又QA丄平面1A B C,DQA = AB PD .2(1) 證明：PQ丄平面DCQ ;(2) CP上是否存在一點 R,使QR/平面AB