特別解析匯報(bào)：線性規(guī)劃求最值

1、特別解析：線性規(guī)劃求最值、目標(biāo)函數(shù)線的平移法：利用直線的截距解決最值問(wèn)題x - 2 < 0,I一例1已知點(diǎn)P(x, y)在不等式組y-1 W 0,表示的平面區(qū)域上運(yùn)動(dòng)，則z = xy的圖! x+2y-2=0(2,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z = x-yx 2y -2> 0取值范圍是().(A) 2, 1( B) :-2, 1 :(C) 1, 2( D) : 1 , 2解析：由線性約束條件畫出可行域，考慮z = x-y ,變形為y = x -z，這是斜率為1且隨z變化的一族平行直線.-z是直線在y軸上的截距.當(dāng)直線滿足約束條件且經(jīng)過(guò)點(diǎn) 取得最大值為2;直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0, 1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x-

2、y取得最小值為1.故選(C).注：本題用"交點(diǎn)法”求出三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0, 1), (2, 1), (2, 0),然后再代入目標(biāo)函數(shù)求出 z=x-y的取值范圍為-1, 2更為簡(jiǎn)單.x y _0 I例2已知實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件<x y + 50，貝U z = 2x+4y的最小值為(x蘭31 z分析：將目標(biāo)函數(shù)變形可得 y x，所求的目標(biāo)函數(shù)的最小值即一組平行直2 41y x b在經(jīng)過(guò)可行域時(shí)在 y軸上的截距的最小值的 4倍。2解析：由實(shí)數(shù)x、y滿足的約束條件，作可行域如圖所示：當(dāng)一組平行直線 L經(jīng)過(guò)圖中可行域三角形ABC區(qū)域的點(diǎn)C時(shí)，在y軸上的截距最小，又= 2 3 4 (

3、-3) = -6。C(3, -3)，故z = 2x 4y的最小值為Zmin、數(shù)行結(jié)合，構(gòu)造斜率法：利用直線的斜率解決最值問(wèn)題x 目 一 2 w 0,設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足*xc+2y4 > 0,貝U z=-的最大值是/x2y -3 < 0,解析：畫出不等式組所確定的三角形區(qū)域ABC(如圖2) , z=-=-匚0表示兩點(diǎn)x x 00(0,0) P(x, y)確定的直線的斜率，要求z的最大值，即求可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的最大值.由圖2可以看出直線 OP的斜率最大，故P為x2y4 = 0與2y3 = 0的交點(diǎn)，即A點(diǎn). P 1,總故答案為3 I 2丿2注：解決本題的關(guān)鍵是理解目標(biāo)函數(shù)z

4、=-=上°的x x0幾何意義，當(dāng)然本題也可設(shè)y =t,則y =tx，即為求xy =tx的斜率的最大值.由圖 2可知，y =tx過(guò)點(diǎn)A時(shí),t最大代入y =tx，求出t = 3 ,23即得到的最大值是-.2例3.已知實(shí)數(shù)x、y滿足不等式組y2乞4x _0,求函數(shù)的直線族.問(wèn)題的幾何意義：求過(guò)半圓域x2y2空4(x 0)上任一點(diǎn)與點(diǎn)P(T,-3)的直線斜率的最大、最小值.由圖知，過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)A(0, 2)的直線斜率最大，zmax二2一(一3) =5 過(guò)0 一(T)點(diǎn)P所作半圓的切線的斜率最小. 設(shè)切點(diǎn)為B(a,b)，則過(guò)B點(diǎn)的切線方程為ax by = 4 又B在半圓周上,P在切線上，則有-

5、2 2a b二4解得a - 3b = 4-2+3屈a =!5廠b=6I5因此Zmin、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離型(或距離的平方型)，構(gòu)造兩點(diǎn)間的距離公式法解決最值問(wèn)題!x y -仁 0例5 已知實(shí)數(shù)x、y滿足<x y+1 X0，則w = x2 +y2 4x 4y + 8的最值為I y H解析：目標(biāo)函數(shù) w =x2 y2 -4x-4y 8 = (x-2)2 (y-2)2，其含義是點(diǎn)(2,2)與可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方。由實(shí)數(shù)x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示：y1A(2,2)II、-1 / O!CX/B-1x+y-1=0可行域?yàn)閳D中L ABC內(nèi)部(包括邊界)，易求B ( -2 ， -1 )，

6、結(jié)合圖形知，點(diǎn)(2,2)到點(diǎn)B的距離為其到可行域內(nèi)點(diǎn)的最大值,2 2Wmax =(-2-2)(-1-2) =25；點(diǎn)(2,2)到直線x+y-1=0的距離為其到可行域內(nèi)點(diǎn)的最小值,Wmin J L!x -y 2 > 0,例6 已知x y - 4 > 0,求z二x y -10y 25的最小值.2x-y -5w 0,解析：作出可行域，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo) A( 1,3)、B( 3, 1 )、C( 7 9) 而z = x2 (y-5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)到定點(diǎn)M( 0, 5)的距離的平方，過(guò) M作直線AC的垂線，易2 9知垂足N在線段AC上，故z的最小值是 MN =工2注：充分理解

7、目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，如兩點(diǎn)間的距離(或平方)、點(diǎn)到直線的距離等.四、點(diǎn)到直線的距離型例7已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x y _ 1,求u = x2 y2 4x _ 2y的最小值。解析：目標(biāo)函數(shù)u = x2 y2 4x2y二(x - 2)2 (y1)2 -5，其含義是點(diǎn)(-2,1)與可行域內(nèi)的點(diǎn)的最小距離的平方減5。由實(shí)數(shù)x、y所滿足的不等式組作可行域如圖所示Iy(-2,1) 1h.O12x2x+y=1點(diǎn)(-2,1)至問(wèn)行域內(nèi)的點(diǎn)的最小距離為其到直線2x+y=1的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可求得d2 (-2) 1一1|4.55，故d2169-5 = 一一55x - y 2 > 0,例8 已知x，y

8、-4 > 0,，求x2 y2 - 10y 25的最小值.2x -y -5 w 0,解析：作出可行域，并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo) A( 1,3 )、B( 3,1 )、C( 7 9).而z = x2，(y-5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)到定點(diǎn)M( 0, 5)的距離的平方，過(guò) M作直線AC的垂線，易2知垂足N在線段AC上，故z的最小值是 MN =五、變換問(wèn)題研究目標(biāo)函數(shù)例9(08年山東)已知x y _2，且z =2x y的最大值是最小值的 3倍，a等于()x _ a解析：求解有關(guān)線性規(guī)劃的最大值和最小值問(wèn)題，準(zhǔn)確畫圖找到可行域是關(guān)鍵.如圖所示，z = 2x y在 A點(diǎn)和B點(diǎn)分別取得最小值和最大值.

9、由 x=a/曰；x + y =2/曰丿得A(a, a)，由得y=xM = y1旳,1).二 zmax =3,Zmin =3a.由題意，得 a .。3六、綜合導(dǎo)數(shù)、函數(shù)知識(shí)類例10（ 06山東）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?2,；），部分對(duì)應(yīng)值如下表，f（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y二f （x）的圖象如右圖所示若兩正數(shù)a，b滿足f（2a - b） : 1,則丄-3的a十3x-204f (x)1-11分析：本題的關(guān)鍵是如何從函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象中找到原函數(shù)的基本性質(zhì)，將其與所給的函數(shù)性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)。由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，原函數(shù)在區(qū)間-2,0為單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間（0,:）為單調(diào)遞增函數(shù)。結(jié)合題中提供的函

10、數(shù)的數(shù)據(jù)可得-2 ： 2a b ： 4，另外注意到丄衛(wèi)的幾何意義，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題可求解。a +3解析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，原函數(shù)在區(qū)間-2,0為單調(diào)遞減函數(shù)，在區(qū)間（0，:：）為單調(diào)遞增函數(shù)，又f （-2） =1, f（0）二1, f （4） =1，故 -2 ： 2a b ： 4，而 a,b 均為正電i4JF7 y/2*(-3,-3)數(shù)，可得可行域如圖,b 3故最大為點(diǎn)（0, 4），仝的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)和（-3，-3）連線的斜率的取值范圍,a 34+37此時(shí)為=一，最小為點(diǎn)（2，0），此時(shí)為0+33七、在日常應(yīng)用中解決最值問(wèn)題例.（2009山東卷文）某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A,B

11、兩類產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn) A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為 200元,設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為 300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn) A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費(fèi)最少為 元.答案 2300解析 設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn) x天，乙種設(shè)備需要生產(chǎn) y天，該公司所需租賃費(fèi)為 z元設(shè)備A類產(chǎn)品(件)(> 50)B類產(chǎn)品(件)(> 140)租賃費(fèi)(元)甲設(shè)備510200乙設(shè)備620300則z =200x 300y，甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn) A,B兩類產(chǎn)品的情況為下表所示則滿足的關(guān)系為5x 6y - 50*10x + 20y 綃

12、40即:xO, y K0x 6 y _10x 2y _14x _0,y _0作出不等式表示的平面區(qū)域61 xy = 10,當(dāng)200x 300 y對(duì)應(yīng)的直線過(guò)兩直線的交點(diǎn)x 2y =14(4,5)時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z = 200x 300y取得最低為2300元.附：線性規(guī)劃常見(jiàn)題型及解法求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍x乞2I例1、 若x、y滿足約束條件 y _ 2x y _ 2范圍是 ()A、 2,6B、2,5C、3,6解：如圖，作出可行域，作直線，則 z=x+2yD、（ 3,5I : x+2y = 0,向右上方平移，過(guò)點(diǎn)A ( 2,0 )時(shí)，有最小值2,過(guò)點(diǎn)B ( 2,2 )時(shí)，有最大值6,故選A二、求

13、可行域的面積2x y - 6 _ 0I例2、不等式組 xy_30表示的平面區(qū)域的面積為（1 ）。八2解：如圖作出可行域，Sa abc即為所求，由S弟形OMBC減去S梯形OM A 即可。三、求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)例3、滿足|x|+ |y|< 2的點(diǎn)（x ,都是整數(shù)）有（13個(gè) ）'x + y 蘭 2x v 蘭 2 解：|x|+ |y|< 2等價(jià)于彳 '一_x + y 蘭 2y)中整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)(x 0,y 0)(x_0,yY0)(x 0,y0)(xY0,yY0)作出可行域如右圖，是正方形內(nèi)部（包括邊界），容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13.四、求線性目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍Jx y

14、_ 5I y例4、已知x、y滿足以下約束條件 x - y 5乞0 ,使x乞3z=x+ay（a>0） 取得 最小值的最優(yōu)解有無(wú) 數(shù)個(gè)，a的值為（）A、一 3B、3C、 一 1D、1解：如圖，作出可行域，作直線I : x+ay = 0,要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay（a>0） 取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則將I向右上方平移后與直線x+y = 5重合，故a=1 ,選D五、求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值2x y - 2 _0例5、已知x、y滿足以下約束條件<x2y + 4蘭0J3x _ y _ 3 蘭 0,貝H z=x 2+y 2x -2y + 4x2x + y - 2=3x -y _3的最大值和

15、最小值分別是()A、13 , 1B、13 , 2 C、13 , 4D、13 , 555解：如圖，作出可行域,x 2+y2是點(diǎn)(x , y)到原點(diǎn)的距離的平方，故最大 值為點(diǎn)A( 2,3)到原點(diǎn)的距離的平方，即|AO| 2=13，最小值為原點(diǎn)到直線42x + y 2=0的距離的平方，即為一，選Co5六、求約束條件中參數(shù)的取值范圍例6、已知|2x y + m| v 3表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)A、( -3,6 )B、( 0,6 )C、( 0,3 ) D、( -3,3(0,0 )和(一1,1 ),則m的取值范圍是()解: |2x y + m| v 3 等價(jià)于 2x 一 y m 302x y + m 3c0由右圖可知 m 33 ,故0v mv 3,選C.m 3 <0七、比值問(wèn)題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如 z=1 a時(shí)