3.三角形及其有關概念

1、3、三角形及其有關概念【知識精讀】1. 三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角 形。2. 三角形中的幾條重要線段：(1) 三角形的角平分線(三條角平分線的交點叫做內心)(2) 三角形的中線(三條中線的交點叫重心)(3) 三角形的高(三條高線的交點叫垂心)3. 三角形的主要性質(1) 三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊；等于和它不相鄰的兩個內角的和; 等邊對等角，大角對大邊，大邊對大角；(2) 三角形的內角之和等于 180 °(3) 三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角，(4) 三角形中，等角對等邊，(5) 三角形具有穩(wěn)定性。

2、D是BC邊上任意一點，E是AD上任意一點，則4. 補充性質：在 心ABC中，S也 BE= S洌E S©AE。三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應用。三角形又是多邊形的一種，而且是最簡單的多邊形， 在幾何里，常常把多邊形分割成若干個三角形， 利用三角形的性質去研究多邊形。實際上對于一些曲線，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質去研究它們。因此，學好本章知識，能為以后的學習打下堅實的基礎。5.三角形邊角關系、性質的應用【分類解析】例1.銳角三角形ABC中，/ C= 2/ B，則/ B的范圍是(A. 10°< / B C20B

3、.20 花 / B V30C. 30 °< / B <45D.45°< / B C60分析:因為MBC為銳角三角形，所以0°c / B C90又/ C= 2/ B,二 0°c2/ B<90又/A為銳角，二/ A = 180J(/B+ / C )為銳角/. / B + / C >90。/. 3/ B >90。，即 / B >30。/. 30/ B <45。，故選擇 C。例2.選擇題：已知三角形的一個外角等于 的形狀是()A.銳角三角形B.直角三角形分析：由于三角形的外角和等于 360 ° ,160&

4、#176;,另兩個外角的比為 2:3，則這個三角形C.鈍角三角形D.無法確定其中一個角已知，另兩個角的比也知道，因此三個外角的度數(shù)就可以求出，進而可求出三個內角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。解：三角形的一個外角等于160 °200°2x, 3x另兩個外角的和等于 設這兩個外角的度數(shù)為/. 2x + 3x =200解得：X =402x = 80, 3x =120100°與80°相鄰的內角為這個三角形為鈍角三角形 應選C11例3.如圖，已知：在 AABC中，AB蘭一AC，求證：/ C < / B。22/II|F1分析：欲證/C V-/ B，可作/ A

5、BC的平分線BE交AC于E,只要證/ C < / EBC21即可。為與題設 AB<AC聯(lián)系，又作 AF/BE交CB的延長線于F。2顯然/ EBC = / F,只要證/ C< / F即可。由AF V 2AB < AC可得證。證明：作/ ABC的角平分線 BE交AC于E,過點A作AF/BE交CB的延長線于FTAF/BE,二/ F = / EBC，/ FAB = / ABE又 BE 平分/ ABC ,/ EBC = / ABE / F=/ FAB , AB = BF又 AB + FB > AF，即 2AB > AF又 AB AC,二 AC > AF2/. /

6、 F > / C,又 / F / ABC 21 1例4.已知：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長的與之間。64分析：首先應根據(jù)已知條件，運用邊的不等關系，找出最小邊，然后由周長與邊的關系 加以證明。證明：如圖，設 MBC的三邊為a、b、c,其中 a =2c,丁 b A a c, a = 2c”b AC因此，c是最小邊，”. b<3c1因此，a+b+c V2c+3c+c ,即卩 c> (a + b+c)611- (a + b + C) < C 吒-(a + b + C)641 1故最小邊在周長的 一與一之間。64中考點撥：例1.選擇題:A. 50如圖是

7、一個任意的五角星,B. 100C. 180它的五個頂角的和是（D. 200分析：由于我們學習了三角形的內角、 角的問題。外角的知識，所以需要我們把問題轉化為三角形解：寫/ C + / E = / AGF , / B + / D = / AFG二 / A + / B + / C + / E + / D = / A + / AGF+ / AFG = 180所以選擇C例2.選擇題：已知三角形的兩邊分別為5和7,則第三邊x的范圍是（）A.大于2B.小于12C.大于2小于12 D.不能確定分析：根據(jù)三角形三邊關系應有7 + 5x>7-5，即12>x>2C所以應選例3.已知:求證:P為邊

8、長為1的等邊 MBC內任一點。3<PA + PB + PC <22證明：過P點作EF/BC，分別交AB于E,交AC于F, 則/ AEP =/ ABC = 60°寫 / EAP C / EAF =60。/. / APE60°在£AEP中，/ APE A / AEP,二 AE>AP寫/ AFE = / ACB=60。, / AEF = 60°AEF是等邊三角形/. AF = EF伴> AP 寫be +EP > bppF +FCPC(AE + EB ) + (EP +PE )+FC aAP + BP + PCAB + EF + F

9、C > AP + BP + PCAB +(AF + AC)A AP + BP +PC二 PB + PA + PC < AB + AC = 2 :PA + PB A AB/.仆B + PC > BCpC + PA A AC二 2(PA +PB + PC )>AB +BC + AC =33二 2PA + PB + PC >-2題型展示：例1.已知：如圖，在 MBC中，D是BC上任意一點，E是AD上任意一點。求證:(1) / BEC >/ BAC ;(2) AB + AC > BE + EC。F分析：在(1)中，利用三角形內角和定理的推論即可證出在 轉化到另

10、一個三角形中，利用邊的關系定理即可證出。證明：(1)v/ BED是心ABE的一個外角，(2)中，添加一條輔助線,/. / BED A / BAE同理，/ DEC A / CAE/. / BED+ / DEC > / BAE + / CAE即 / BEC> / BAC(2)延長BE交AC于F點分析:欲證 / AFB = 45°，須證/ FAB + / FBA = 135°'亠 AB + AF aBE +EF又 EF +FC > EC/. AB +AF +EF +FCBE + EF + EC即 AB+AC > BE +EC45°。例2.

11、求證：直角三角形的兩個銳角的相鄰外角的平分線所夾的角等于已知:如圖，在MBC中,NC=90°，Z EAB、厶 ABD 是也 ABC 的外角,AF、BF分別平分/求證：EAB 及/ ABD。/ AFB =45DF/ AF、BF 分另平分/ EAB 及/ ABD要轉證/ EAB +/ABD = 270°又/ C = 90°,三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和問題得證證明：/ EAB =/ ABC +/ C/ ABD =/ CAB +/ C/ ABC +/ C+/ CAB = 180°,/ C= 90°/. / EAB + / ABD = /

12、 ABC + / C + / CAB + / C= 180。+90。= 270。/ AF、BF 分另平分/ EAB 及/ ABD”/ FAB + / FBA =1( / EAB + / ABD )= 1 x 270135。在山ABF 中，/ AFB =1801 / FAB + / FBA) = 45?！緦崙?zhàn)模擬】1. 已知：三角形的三邊長為 3，8，1 +2x，求x的取值范圍。2. 已知： MBC中，AB = BC , D點在BC的延長線上，使 AD = BC，丄BCA = aNCAD = P，求a和B間的關系為?a CA C3.如圖，MBC中，NABC、N ACB的平分線交于P點，NBP C

13、=134°，則N BAC =( )A. 68B. 80C. 88D. 46P '、ZB-7.C4.已知：如圖，AD是 MBC的BC邊上高，AE平分N BAC。求證：NEAD 石(NC-NB)5.求證：三角形的兩個外角平分線所成的角等于第三個外角的一半。【試題答案】1.分析：本題是三邊關系的應用問題，只需用三邊關系確定第三邊的取值范圍即可。 解：三邊長分別為3, 8, 1 +2x，由三邊關系定理得：5+2x v11”4 <2x c102 <x <52.解：寫 AB = BC, Z BCA = NBAC = a又寫 AD =BC,AD = AB”".N

14、 D，又：厶BCA =ND +NB” .N D = a 一 P,N B = a - P根據(jù)三角形內角和，得:2a + a - P = 180 *3.解：亠 NBPC=134° .NP BC+N PCB = 46。又 BP、CP為/ B、/ C的平分線11/. / PBC = / ABC，/ PCB = / ACB221/. / PBC + / PCB =( /ABC + / ACB ) 2/. / ABC + / ACB =2 咒 46° = 92°/. / BAC = 180° / ABC / ACB = 88°4.證明：/ EAD = / EAC / CAD/ AE 平分/ BAC ,二 / EAC = 1 / BAC2又 AD 丄 BC,二 / ADC =90二 / CAD = 90/ C丈:/ BAC =180° / B / C1/. / EAD = / BAC - / CAD21= -(18- / B-/ C )(90。 / C)=-L C / B2 2/. / EAD =1(/ C- / B)5.證明：如圖，設AABC的/ BAC和/ ABC的外角平分線交于點 D?A寫 / FAB =