2018中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 勾股定理 含答案

1、勾股定理 一選擇題（共11小題）1如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3若S1+S2+S3=60，則S2的值是（）A12B15C20D302以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A3，4，5B9，12，15C，D0.3，0.4，0.53如圖，有四個(gè)三角形，各有一邊長(zhǎng)為6，一邊長(zhǎng)為8，若第三邊分別為6，8，10，12，則面積最大的三角形是ABCD4下列條件中，不能判斷ABC為直角三角形的是（）Aa=1.5 b=2 c=2.5Ba：b：c=5：12：13CA+B=CDA：B：C=3：

2、4：55如圖，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹干底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（）A8米B12米C5米D5或7米6如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，則AE=（）A1BCD27已知a，b，c為ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2b2c2=a4b4，判斷ABC的形狀（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形8如圖是由5個(gè)正方形和5個(gè)等腰直角三角形組成的圖形，已知號(hào)正方形的面積是1，那么號(hào)正方形的面積是（）A4B8C16D329直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是6，8，則第三邊的長(zhǎng)為（）A10B2C10或2D無(wú)法確定10如圖，在ABC中

3、，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)已知ACB=90°，BE=4，AD=7，則AB的長(zhǎng)為（）A10B5C2D211長(zhǎng)方形臺(tái)球桌ABCD上，一球從AB邊上某處P擊出，分別撞擊球桌的邊BC、DA各1次后，又回到出發(fā)點(diǎn)P處，每次球撞擊桌邊時(shí)，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等（例如圖=）若AB=3，BC=4，則此球所走路線的總長(zhǎng)度（不計(jì)球的大?。椋ǎ〢不確定B12C11D10二填空題（共12小題）12勾股定理a2+b2=c2本身就是一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個(gè)方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個(gè)構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：（3，4，

4、5），（5，12，13），（7，24，25），分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），分析上面規(guī)律，第5個(gè)勾股數(shù)組為 13如圖，在ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），DEFABC，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)DE邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)G，當(dāng)AEG是等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為 14如圖，OP=1，過(guò)P作PP1OP且PP1=1，根據(jù)勾股定理，得OP1=；再過(guò)P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又過(guò)P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP

5、3=2；依此繼續(xù)，得OP2019= ，OPn= （n為自然數(shù)，且n0）15如圖，已知點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（1，2），在y軸正半軸上確定點(diǎn) P，使得ABP為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為 16若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，x，則使此三角形是直角三角形的x的值是 17直角三角形三邊長(zhǎng)分別為5，12，x，則x2= 若a，b為兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且ab，則a+b= 18有一棵9米高的大樹，樹下有一個(gè)1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開(kāi)大樹 米之外才是安全的19如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個(gè)半圓，若S1=30，S2=40，則S3= 20如圖，直線l上有三個(gè)

6、正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為 21如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”只用沒(méi)有刻度的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出以格點(diǎn)為端點(diǎn)、長(zhǎng)度為的線段 條22如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為10cm，正方形A2的邊長(zhǎng)為6cm，正方形B的邊長(zhǎng)為5cm，正方形C的邊長(zhǎng)為5cm，則正方形D的面積是 cm223設(shè)x0，則三個(gè)正數(shù)2x，3x，x+5，構(gòu)成三角形三邊的條件是 ；構(gòu)成直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的x的取值范圍分別是 、 、 三解答題（共10小題）24如圖，有一艘貨船和一艘客船同時(shí)從港口A出發(fā)，客船每小時(shí)

7、比貨船多走5海里，客船與貨船速度的比為4：3，貨船沿東偏南10°方向航行，2小時(shí)后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時(shí)兩船相距50海里（1）求兩船的速度分別是多少？（2）求客船航行的方向25從正面看一個(gè)底面直徑為10cm的圓柱體飲料杯子如圖所示，在它的正中間豎直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不動(dòng)），吸管露出杯子外1cm，當(dāng)吸管伸向杯壁底部時(shí)，吸管頂端剛好與杯口高度平齊求杯子的高度26先閱讀下列一段文字，在回答后面的問(wèn)題已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點(diǎn)間的距離公式P1P2=，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式

8、可簡(jiǎn)化為|x2x1|或|y2y1|（1）已知A（2，4）、B（3，8），試求A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離（3）已知一個(gè)三角形ABC其中兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，6）、B（8，0）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能請(qǐng)直接寫出所以符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由27閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形理解：根據(jù)奇異三角形的定義，請(qǐng)你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？ （填“是”或“不是”）若某三角形的

9、三邊長(zhǎng)分別為1、2，則該三角形 （填“是”或“不是”）奇異三角形探究：在RtABC中，兩邊長(zhǎng)分別是a、c，且a2=50，c2=100，則這個(gè)三角形是否是奇異三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由拓展：在RtABC中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇異三角形，求a2：b2：c228如圖，在ABC中，ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求ABC的面積；（3）求CD的長(zhǎng)29閱讀下列材料，并回答問(wèn)題 事實(shí)上，在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方，這個(gè)結(jié)論就是著名的勾股定理請(qǐng)利用這個(gè)結(jié)論，完成下面活動(dòng)：（1）

10、一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為6、8，那么這個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)為 （2）如圖1，ADBC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的長(zhǎng)度（3）如圖2，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是 ，請(qǐng)用類似的方法在圖2數(shù)軸上畫出表示數(shù)的B點(diǎn)（保留作圖痕跡）30定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=24

11、，AM=6，求BN的長(zhǎng)31如圖，將邊長(zhǎng)為a與b、對(duì)角線長(zhǎng)為c的長(zhǎng)方形紙片ABCD，繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到長(zhǎng)方形FGCE，連接AF通過(guò)用不同方法計(jì)算梯形ABEF的面積可驗(yàn)證勾股定理，請(qǐng)你寫出驗(yàn)證的過(guò)程32在ABC中，ABC=90°，D為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，AD=a，AC=b，其中a，b為常數(shù)，且ab將ABD沿射線BC方向平移，得到FCE，點(diǎn)A、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)F、C、E連接BE（1）如圖1，若D在ABC內(nèi)部，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出FCE；（2）在（1）的條件下，若ADBE，求BE的長(zhǎng)（用含a，b的式子表示）；（3）若BAC=，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)度最大時(shí)，則BAD的大小為 ；當(dāng)線段BE

12、的長(zhǎng)度最小時(shí)，則BAD的大小為 （用含的式子表示）33如圖，四邊形ABCD中，ABC=135°，BCD=120°，AB=，BC=5，CD=6，求AD答案一選擇題（共11小題）1如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3若S1+S2+S3=60，則S2的值是（）A12B15C20D30【分析】設(shè)每個(gè)小直角三角形的面積為m，則S1=4m+S2，S3=S24m，依據(jù)S1+S2+S3=60，可得4m+S2+S2+S24m=60，進(jìn)而得出S2的值【解答】解：設(shè)每個(gè)小直角三角形的面積

13、為m，則S1=4m+S2，S3=S24m，因?yàn)镾1+S2+S3=60，所以4m+S2+S2+S24m=60，即3S2=60，解得S2=20故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡(jiǎn)整理得到勾股定理2以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A3，4，5B9，12，15C，D0.3，0.4，0.5【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，一個(gè)三角形的三邊滿足兩個(gè)較小邊的平方和等于較大邊的平方，這個(gè)三角形就是直角三角形【解答】解：A、因?yàn)?2+42=52，故能構(gòu)成直角三角形

14、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、因?yàn)?2+122=152，能構(gòu)成直角三角形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、因?yàn)椋ǎ?+（）2（）2，不能構(gòu)成直角三角形，此選項(xiàng)正確；D、因?yàn)?.32+0.42=0.52，能構(gòu)成直角三角形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵知道兩個(gè)較小邊的平方和等于較大邊的平方，這個(gè)三角形就是直角三角形3如圖，有四個(gè)三角形，各有一邊長(zhǎng)為6，一邊長(zhǎng)為8，若第三邊分別為6，8，10，12，則面積最大的三角形是ABCD【分析】過(guò)C作CDAB于D，依據(jù)AB=6，AC=8，可得CD8，進(jìn)而得到當(dāng)CD與AC重合時(shí)，CD最長(zhǎng)為8，此時(shí)，BAC=90°，ABC的面積最大【解答】解：如圖，過(guò)C

15、作CDAB于D，AB=6，AC=8，CD8，當(dāng)CD與AC重合時(shí)，CD最長(zhǎng)為8，此時(shí)，BAC=90°，ABC的面積最大，BC=10，四個(gè)三角形中面積最大的三角形的三邊長(zhǎng)分別為6，8，10，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的面積以及勾股定理的逆定理，關(guān)鍵在于正確的表示出斜邊、直角邊的長(zhǎng)度，熟練運(yùn)用勾股定理的逆定理進(jìn)行分析4下列條件中，不能判斷ABC為直角三角形的是（）Aa=1.5 b=2 c=2.5Ba：b：c=5：12：13CA+B=CDA：B：C=3：4：5【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理以及三角形的內(nèi)角和為180度，即可判斷出三角形的形狀【解答】解：A、因?yàn)?.52+22=2.52

16、符合勾股定理的逆定理，故ABC為直角三角形；B、因?yàn)閍：b：c=5：12：13，所以可設(shè)a=5x，b=12x，c=13x，則（5x）2+（12x）2=（13x）2，故ABC為直角三角形；C、因?yàn)锳+B=C，A+B+C=180°，則C=90°，故ABC為直角三角形；D、因?yàn)锳：B：C=3：4：5，所以設(shè)A=3x，則B=4x，C=5x，故3x+4x+5x=180°，解得x=15°，3x=15×3=45°，4x=15×4=60°，5x=15×5=75°，故此三角形是銳角三角形故選：D【點(diǎn)評(píng)】此題考查了

17、解直角三角形的判定，根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形的內(nèi)角和定理結(jié)合解方程是解題的關(guān)鍵5如圖，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹干底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（）A8米B12米C5米D5或7米【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運(yùn)用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵樹折斷之前的高度【解答】解：一棵垂直于地面的大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，折斷的部分長(zhǎng)為 =5，折斷前高度為5+3=8（米）故選：A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對(duì)勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用能力6如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，

18、則AE=（）A1BCD2【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行逐一計(jì)算即可【解答】解：AB=BC=CD=DE=1，ABBC，ACCD，ADDE，AC=；AD=；AE=2故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方7已知a，b，c為ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2c2b2c2=a4b4，判斷ABC的形狀（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【分析】首先把等式的左右兩邊分解因式，再考慮等式成立的條件，從而判斷ABC的形狀【解答】解：由a2c2b2c2=a4b4，得a4+b2c2a2c2b4=（a4b4）+（b2c2a2c2）=（a

19、2+b2）（a2b2）c2（a2b2）=（a2b2）（a2+b2c2）=（a+b）（ab）（a2+b2c2）=0，a+b0，ab=0或a2+b2c2=0，即a=b或a2+b2=c2，則ABC為等腰三角形或直角三角形故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用、分類討論判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可8如圖是由5個(gè)正方形和5個(gè)等腰直角三角形組成的圖形，已知號(hào)正方形的面積是1，那么號(hào)正方形的面積是（）A4B8C16D32【分析】等腰直角三角形中，直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)的比值為1：，正方形面積為邊長(zhǎng)的平方；所以要求號(hào)正方形的面積，求出號(hào)正方形的邊長(zhǎng)即可

20、【解答】解：要求號(hào)正方形的面積，求號(hào)正方形的邊長(zhǎng)即可，題目中給出號(hào)正方形的面積為1，即號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)勾股定理4號(hào)正方形的邊長(zhǎng)為=，以此類推，可以求得號(hào)正方形邊長(zhǎng)為4，所以號(hào)正方形面積為4×4=16故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是在等腰直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，已知直角邊求斜邊邊長(zhǎng)，解本題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)用勾股定理9直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是6，8，則第三邊的長(zhǎng)為（）A10B2C10或2D無(wú)法確定【分析】本題已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長(zhǎng)邊既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即較長(zhǎng)是斜邊或直角邊的兩種情況，然后

21、利用勾股定理求解【解答】解：長(zhǎng)為8的邊可能為直角邊，也可能為斜邊當(dāng)8為直角邊時(shí)，根據(jù)勾股定理，第三邊的長(zhǎng)=10；當(dāng)8為斜邊時(shí)，根據(jù)勾股定理，第三邊的長(zhǎng)=2故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題易忽視的地方：長(zhǎng)為8的邊可能為直角邊，也可能為斜邊10如圖，在ABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)已知ACB=90°，BE=4，AD=7，則AB的長(zhǎng)為（）A10B5C2D2【分析】設(shè)EC=x，DC=y，則直角BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程組可求得x、y，在直角ABC中，AB=【解答】解：設(shè)EC=x，DC=y，ACB=90°，在直角BCE中，CE

22、2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得x=，y=1在直角ABC中，AB=2，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，考查了中點(diǎn)的定義，本題中根據(jù)直角BCE和直角ADC求DCBC的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵11長(zhǎng)方形臺(tái)球桌ABCD上，一球從AB邊上某處P擊出，分別撞擊球桌的邊BC、DA各1次后，又回到出發(fā)點(diǎn)P處，每次球撞擊桌邊時(shí)，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等（例如圖=）若AB=3，BC=4，則此球所走路線的總長(zhǎng)度（不計(jì)球的大?。椋ǎ〢不確定B12C11D10【分析】要求球走過(guò)的總長(zhǎng)度，就要求PQ+QR，根據(jù)計(jì)算得PQ+QR=BD=

23、AC根據(jù)此關(guān)系式可以解題【解答】解：令PQAC，則QRBD，撞擊前后的路線與桌邊所成的角相等圖中所有三角形均相似；+=1，即PQ+QR=AC=BD，同理PS+SR=AC=BD，PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2ACAC=5，PQ+QR+RS+SP=AC+BD=2AC=10故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，本題中令PQAC是解題的關(guān)鍵二填空題（共12小題）12勾股定理a2+b2=c2本身就是一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個(gè)方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個(gè)構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下

24、勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），分析上面規(guī)律，第5個(gè)勾股數(shù)組為（11，60，61）【分析】由勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得第5組勾股數(shù)中間的數(shù)為：5×（11+1）=60，進(jìn)而得出（11，60，61）【解答】解：由勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）中，4=1×（

25、3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得第4組勾股數(shù)中間的數(shù)為4×（9+1）=40，即勾股數(shù)為（9，40，41）；第5組勾股數(shù)中間的數(shù)為：5×（11+1）=60，即（11，60，61），故答案為：（11，60，61）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是找出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，掌握勾股定理逆定理13如圖，在ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），DEFABC，其中點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)DE邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)G，當(dāng)AEG是等腰三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為1或【分析】首先

26、由AEF=B=C，且AGEC，可得AEAG，然后分別從AE=EG與AG=EG去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案【解答】解：AEF=B=C，且AGEC，AGEAEF，AEAG；當(dāng)AE=EG時(shí)，則ABEECG，CE=AB=6，BE=BCEC=76=1，當(dāng)AG=EG時(shí)，則GAE=GEA，GAE+BAE=GEA+CEG，即CAB=CEA，又C=C，CAECBA，CE=，BE=7=；BE=1或故答案為：1或【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵14如圖，OP=1，過(guò)P作PP1OP且PP1=1，根據(jù)勾股定理

27、，得OP1=；再過(guò)P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又過(guò)P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此繼續(xù)，得OP2019=，OPn=（n為自然數(shù)，且n0）【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答【解答】解：由題意得，OP1=；OP2=；OP3=，則OP2019=，OPn=，故答案為：；【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c215如圖，已知點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（1，2），在y軸正半軸上確定點(diǎn) P，使得ABP為直角三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）或（0，1+）【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，過(guò)B作BPAB，

28、交y軸于P，過(guò)B作BDCP于D，則ABP=90°，BD=1，依據(jù)BCP是等腰直角三角形，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)APB=90°時(shí)，ABP是直角三角形，依據(jù)C為AB的中點(diǎn)，AB=2，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)【解答】解：如圖，過(guò)B作BPAB，交y軸于P，過(guò)B作BDCP于D，則ABP=90°，BD=1，點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（1，2），直線AB的表達(dá)式為y=x+1，令x=0，則y=1，C（0，1），即OC=1=OA，AOC是等腰直角三角形，ACO=45°=BCP，BCP是等腰直角三角形，CP=2BD=2，OP=1+2=3，P（0，3）；如圖，當(dāng)APB=90°時(shí)

29、，ABP是直角三角形，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（1，2），點(diǎn)C（0，1），C為AB的中點(diǎn)，AB=2，CP=AB=，OP=1+，P（0，1+），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）或（0，1+）故答案為：（0，3）或（0，1+）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和直角三角形的判定要把所有的情況都考慮進(jìn)去，不要漏掉某種情況16若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，x，則使此三角形是直角三角形的x的值是5或【分析】本題已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長(zhǎng)邊4既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即4是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解【

30、解答】解：設(shè)第三邊為x（1）若4是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理，得32+42=x2，所以x=5；（2）若4是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理，得32+x2=42，所以x=；所以第三邊的長(zhǎng)為5或【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當(dāng)已知條件中沒(méi)有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解17直角三角形三邊長(zhǎng)分別為5，12，x，則x2=169或119若a，b為兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且ab，則a+b=9【分析】分12為直角邊和12為斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算；根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算方法、算術(shù)平方根的概念解答【解答】解：當(dāng)12為直角邊時(shí)，x2=52+122=169

31、，當(dāng)12為斜邊時(shí)，x2=12252=119；162025，45，a=4，b=5，a+b=9，故答案為：169或119；9【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c218有一棵9米高的大樹，樹下有一個(gè)1米高的小孩，如果大樹在距地面4米處折斷（未完全折斷），則小孩至少離開(kāi)大樹4米之外才是安全的【分析】根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形ABC，利用勾股定理解答【解答】解：如圖，BC即為大樹折斷處4m減去小孩的高1m，則BC=41=3m，AB=94=5m，在RtABC中，AC=4【點(diǎn)評(píng)】此題考查直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，要根據(jù)題意畫出圖形即可解答

32、19如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個(gè)半圓，若S1=30，S2=40，則S3=70【分析】根據(jù)勾股定理以及圓面積公式，可以證明：S1+S2=S3故S3=70【解答】解：設(shè)直角三角形三邊分別為a、b、c，如圖所示：則S1=（）2=，S2=（）2=，S3=（）2=因?yàn)閍2+b2=c2，所以+=即S1+S2=S3所以S3=70【點(diǎn)評(píng)】注意發(fā)現(xiàn)此圖中的結(jié)論：S1+S2=S320如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為16【分析】根據(jù)已知及全等三角形的判定可得到ABCCDE，從而得到b的面積=a的面積+c的面積【解答】解：ACB+ECD=90°，DEC

33、+ECD=90°ACB=DECABC=CDE，AC=CE，在ABC和CDE中，ABCCDE（AAS），BC=DE（如上圖），根據(jù)勾股定理的幾何意義，b的面積=a的面積+c的面積b的面積=a的面積+c的面積=5+11=16【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵21如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”只用沒(méi)有刻度的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出以格點(diǎn)為端點(diǎn)、長(zhǎng)度為的線段8條【分析】如圖，由于每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么根據(jù)勾股定理容易得到長(zhǎng)度為的線段，然后可以找出所有這樣的線段【解答】解：如圖，所有長(zhǎng)度為的線段全部畫出，共有

34、8條【點(diǎn)評(píng)】此題是一個(gè)探究試題，首先探究如何找到長(zhǎng)度為的線段，然后利用這個(gè)規(guī)律找出所有這樣的線段22如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為10cm，正方形A2的邊長(zhǎng)為6cm，正方形B的邊長(zhǎng)為5cm，正方形C的邊長(zhǎng)為5cm，則正方形D的面積是14cm2【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義可直接解答【解答】解：根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理，得正方形A2，B，C，D的面積和等于最大的正方形的面積，所以正方形D的面積=100362525=14cm2【點(diǎn)評(píng)】此題注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)的兩

35、個(gè)正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的面積23設(shè)x0，則三個(gè)正數(shù)2x，3x，x+5，構(gòu)成三角形三邊的條件是；構(gòu)成直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的x的取值范圍分別是x=或x=、x、x或x【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，根據(jù)三邊表達(dá)式列不等式求解；直角三角形兩直角邊平方和等于第三邊平方，銳角三角形兩邊平方和大于第三邊平方，鈍角三角形兩邊平方和小于鈍角所對(duì)應(yīng)的邊的平方【解答】解：構(gòu)成三角形則要滿足2x+3xx+5，即4x5，則x，即可；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，若x+53x，即x（2x）2+（3x）2=（x+5）2解得x=，若3xx+5，即x（2x）2+（x+5）2=（3x）2解得x=當(dāng)構(gòu)成銳角

36、三角形時(shí)，即（2x）2+（3x）2（x+5）212x210x250解得x（2x）2+（x+5）2（3x）24x2+10x+250x綜上，構(gòu)成銳角三角形的x的取值范圍是：x；當(dāng)構(gòu)成鈍角三角形時(shí)，若x+53x，即x（2x）2+（3x）2（x+5）2解得x，若3xx+5，即x（2x）2+（x+5）2（3x）2解得x綜上，構(gòu)成鈍角三角形的x的取值范圍是：x或x；故答案為 x，x=或x=，x；x或x，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形成構(gòu)成條件，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中確定以x+5為第三邊是解本題的關(guān)鍵三解答題（共10小題）24如圖，有一艘貨船和一艘客船同時(shí)從港口A出發(fā)，客船每小時(shí)比貨船多走5海里

37、，客船與貨船速度的比為4：3，貨船沿東偏南10°方向航行，2小時(shí)后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時(shí)兩船相距50海里（1）求兩船的速度分別是多少？（2）求客船航行的方向【分析】（1）設(shè)兩船的速度分別是4x海里/小時(shí)和3x海里/小時(shí)，依據(jù)客船每小時(shí)比貨船多走5海里，列方程求解即可；（2）依據(jù)AB2+AC2=BC2，可得ABC是直角三角形，且BAC=90°，再根據(jù)貨船沿東偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°方向【解答】解：（1）設(shè)兩船的速度分別是4x海里/小時(shí)和3x海里/小時(shí)，依題意得4x3x=5解得x=5，4x=20，3x=15，兩船的

38、速度分別是20海里/小時(shí)和15海里/小時(shí)；（2）由題可得，AB=15×2=30，AC=20×2=40，BC=50，AB2+AC2=BC2，ABC是直角三角形，且BAC=90°，又貨船沿東偏南10°方向航行，客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°方向【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方向角以及勾股定理的應(yīng)用，正確得出AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵25從正面看一個(gè)底面直徑為10cm的圓柱體飲料杯子如圖所示，在它的正中間豎直插入一根吸管（吸管在杯口一端的位置固定不動(dòng)），吸管露出杯子外1cm，當(dāng)吸管伸向杯壁底部時(shí)，吸管頂端剛好與杯口高度平齊求杯子的高度【分析】設(shè)杯子的高度為xcm，則吸

39、管的長(zhǎng)度為（x+1）cm，根據(jù)勾股定理可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論【解答】解：設(shè)杯子的高度為xcm，則吸管的長(zhǎng)度為（x+1）cm，根據(jù)題意得：（x+1）2=52+x2，解得：x=12答：杯子的高度為12cm【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用以及解一元一次方程，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖26先閱讀下列一段文字，在回答后面的問(wèn)題已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其兩點(diǎn)間的距離公式P1P2=，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距

40、離公式可簡(jiǎn)化為|x2x1|或|y2y1|（1）已知A（2，4）、B（3，8），試求A、B兩點(diǎn)間的距離；（2）已知A、B在平行于y軸的直線上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為5，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，試求A、B兩點(diǎn)間的距離（3）已知一個(gè)三角形ABC其中兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，6）、B（8，0）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)C，使三角形ABC中AB=AC或者AB=BC？若能請(qǐng)直接寫出所以符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可；（2）對(duì)于平行于坐標(biāo)軸的兩點(diǎn)距離公式可利用|y2y1|代入計(jì)算；（3）分別以A、B為圓心，以10為半徑畫圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是C點(diǎn)【解答】解：（1）A（2，4）、B（3

41、，8），AB=13（4分）答：A、B兩點(diǎn)間的距離是13（2）ABy軸，AB=5（1）=6，答：A、B兩點(diǎn)間的距離是6（8分）（3）如圖所示：AB=AC時(shí)，符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，0）、（0，4）、（0，16）；AB=BC時(shí)，符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，6）、（2，0）、（18，0）（12分）綜上所述，符合條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（2，0）、（8，0）（18，0）、（0，4）、（0，16）、（0，6）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定、平面上兩點(diǎn)的距離公式的理解與應(yīng)用，認(rèn)真閱讀材料，理解兩點(diǎn)間的距離公式，注意當(dāng)兩點(diǎn)所在的直線在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式可簡(jiǎn)化為|x2x

42、1|或|y2y1|27閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形理解：根據(jù)奇異三角形的定義，請(qǐng)你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？是（填“是”或“不是”）若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、2，則該三角形是（填“是”或“不是”）奇異三角形探究：在RtABC中，兩邊長(zhǎng)分別是a、c，且a2=50，c2=100，則這個(gè)三角形是否是奇異三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由拓展：在RtABC中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且ba，若RtABC是奇異三角形，求a2：b2：c2【分析】理解：根據(jù)題中所給的奇異三角形的定義、等邊三角形的性質(zhì)判斷；

43、根據(jù)奇異三角形的定義判斷；探究：分c為斜邊、b為斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理、奇異三角形的定義判斷；拓展：根據(jù)根據(jù)勾股定理、奇異三角形的定義計(jì)算即可【解答】解：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，a2+a2=2a2，等邊三角形一定是奇異三角形，故答案為：是；12+（）2=2×22，該三角形是奇異三角形，故答案為：是；探究：當(dāng)c為斜邊時(shí)，b2=c2a2=50，RtABC不是奇異三角形；當(dāng)b為斜邊時(shí)，b2=c2+a2=150，50+150=2×100，RtABC是奇異三角形；a2+b2=2c2RtABC是奇異三角形拓展：RtABC中，C=90°，a2+b2=c2，cba，2c2b2

44、+a2，2a2b2+c2，RtABC是奇異三角形，2b2=a2+c2，2b2=a2+a2+b2，b2=2a2，a2+b2=c2，c2=3a2，a2：b2：c2=1：2：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了奇異三角形的定義、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理，在解答（2）時(shí)要注意分類討論28如圖，在ABC中，ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求ABC的面積；（3）求CD的長(zhǎng)【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算；（2）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算【解答】解：（1）由勾股定理得，AB=25；（2）ABC的面積=&#

45、215;BC×AC=150；（3）由三角形的面積公式可得，×AB×CD=150則CD=12【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c229閱讀下列材料，并回答問(wèn)題 事實(shí)上，在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方，這個(gè)結(jié)論就是著名的勾股定理請(qǐng)利用這個(gè)結(jié)論，完成下面活動(dòng)：（1）一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為6、8，那么這個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)為10（2）如圖1，ADBC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的長(zhǎng)度（3）如圖2，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，請(qǐng)用類似的方法在圖

46、2數(shù)軸上畫出表示數(shù)的B點(diǎn)（保留作圖痕跡）【分析】（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算；（2）根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)題意求出BD；（3）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可【解答】解：（1）直角三角形的兩條直角邊分別為6、8，則這個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)=10，故答案為：10；（2）在RtADC中，AD=2，BD=AD=2；（3）點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是：=，由勾股定理得，OC=，以O(shè)為圓心、OC為半徑作弧交x軸于B，則點(diǎn)B即為所求，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方是解題的關(guān)鍵30定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、N

47、B為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB=24，AM=6，求BN的長(zhǎng)【分析】（1）根據(jù)勾股定理逆定理，即可判斷點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)（2）設(shè)BN=x，則MN=12AMBN=7x，分三種情形當(dāng)AM為最大線段時(shí)，依題意AM2=MN2+BN2，當(dāng)MN為最大線段時(shí)，依題意MN2=AM2+NB2，當(dāng)BN為最大線段時(shí)，依題意BN2=AM2+MN2，分別列出方程即可解決問(wèn)題【解答】解：（1）是理由：AM2+BN2=1.52+22=6.25，MN2=2.52=6.25，AM2+NB2=MN2，AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)（2）設(shè)BN=x，則MN=24AMBN=18x，當(dāng)MN為最大線段時(shí)，依題意MN2=AM2+NB2，即（18x）2=x2+36，解得x=8；當(dāng)BN為最大線段時(shí)，依題意BN2=AM2+MN2即x2=36+（18x）2，解得x=10，綜上所