2018中考總復習平行四邊形專題

1、25.（10分）已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60°，EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點E、F，且EAF=60° .（1）如圖12-1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系；（2）如圖12-2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；（3）如圖12-3，當點E在線段CB的延長線上，且EAB=15°時，求點F到BC的距離。(2016·濟寧)如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CFCA，連接AF，ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M

2、，連接EO.(1)EO，求正方形ABCD的邊長；(2)猜想線段EM與CN的數量關系并加以證明(2016·玉林)如圖1，菱形ABCD對角線AC，BD的交點O是四邊形EFGH對角線FH的中點，四個頂點A，B，C，D分別在四邊形EFGH的邊EF，FG，GH，HE上(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)如圖2，若四邊形EFGH是矩形，當AC與FH重合時，已知2，且菱形ABCD的面積是20，求矩形EFGH的長與寬9如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，則DH等于（）ABC5 D417如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC=，將ABC繞點A順時針方向旋

3、轉60°到ABC的位置，連接CB，則CB=1【考點】旋轉的性質【分析】連接BB，根據旋轉的性質可得AB=AB，判斷出ABB是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得AB=BB，然后利用“邊邊邊”證明ABC和BBC全等，根據全等三角形對應角相等可得ABC=BBC，延長BC交AB于D，根據等邊三角形的性質可得BDAB，利用勾股定理列式求出AB，然后根據等邊三角形的性質和等腰直角三角形的性質求出BD、CD，然后根據BC=BDCD計算即可得解【解答】解：如圖，連接BB，ABC繞點A順時針方向旋轉60°得到ABC，AB=AB，BAB=60°，ABB是等邊三角形，AB=B

4、B，在ABC和BBC中，ABCBBC（SSS），ABC=BBC，延長BC交AB于D，則BDAB，C=90°，AC=BC=，AB=2，BD=2×=，CD=×2=1，BC=BDCD=1故答案為：1【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線構造出全等三角形并求出BC在等邊三角形的高上是解題的關鍵，也是本題的難點24如圖，把EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E，F，P分別在線段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，BAD=60°，且AB6（1）求EPF的大?。唬?）若AP=10，求A

5、E+AF的值；（3）若EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值【考點】菱形的性質；幾何問題的最值【分析】（1）根據銳角三角函數求出FPG，最后求出EPF（2）先判斷出RtPMERtPNF，再根據銳角三角函數求解即可，（3）根據運動情況及菱形的性質判斷求出AP最大和最小值【解答】解：（1）過點P作PGEF于點G，如圖1所示PE=PF=6，EF=6，FG=EG=3，FPG=EPG=EPF在RtFPG中，sinFPG=，FPG=60°，EPF=120°（2）過點P作PMAB于點M，作PNAD于點N，如圖2所示AC為菱形ABCD的

6、對角線，DAC=BAC，AM=AN，PM=PN在RtPME和RtPNF中，PM=PN，PE=PF，RtPMERtPNF，ME=NF又AP=10，PAM=DAB=30°，AM=AN=APcos30°=10×=5，AE+AF=（AM+ME）+（ANNF）=AM+AN=10（3）如圖，當EFP的三個頂點分別在AB，AD，AC上運動，點P在P1，P之間運動，P1O=PO=3，AO=9，AP的最大值為12，AP的最小值為6，【點評】此題是菱形的性質題，主要考查了菱形的性質，銳角三角函數，特殊角的三角函數，解本題的關鍵是作出輔助線(2015·柳州T24·1

7、0分)如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，B90°，AB8 cm，AD12 cm，BC18 cm，點P從點A出發(fā)以2 cm/s的速度沿ADC運動，點P從點A出發(fā)的同時點Q從點C出發(fā)，以1 cm/s的速度向點B運動，當點P到達點C時，點Q也停止運動設點P，Q運動的時間為t秒(1)從運動開始，當t取何值時，PQCD?(2)從運動開始，當t取何值時，PQC為直角三角形？【思路點撥】(1)已知ADBC，添加PDCQ，即可判斷以P，Q，D，C為頂點的四邊形是平行四邊形；(2)點P處可能為直角，點Q處也可能是直角，故需要分類討論求解解：(1)當PQCD時，四邊形PDCQ是平行四邊形，此時PDQC

8、，2分122tt.解得t4.當t4時，PQCD.4分(2)過D點作DFBC于F.DFAB8，FCBCAD18126，由勾股定理得CD10.當PQBC時，則BQCQ18，即2tt18，解得t6；6分當QPPC時，此時P一定在DC上，CP110122t222t，CQ1t，易知CDFCQ1P1.解得t；8分當PCBC時，DCB90°，此種情形不存在綜上所述，當t6或時，PQC是直角三角形.10分(2014·柳州)如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB邊上有一動點P，連接PD，線段PD繞點P順時針旋轉90°后，得到線段PE，且PE交BC于F，連接DF，過點E作EQAB的延長

9、線于點Q.(1)求線段PQ的長；(2)問：點P在何處時，PFD BFP，并說明理由解：(1)根據題意，得PDPE，DPE90°，APDQPE90°.四邊形ABCD是正方形，A90°.ADPAPD90°.ADPQPE.EQAB，AQ90°.在ADP和QPE中，ADPQPE(AAS)PQAD1.(2)當P點為AB的中點時，PFDBFP.理由：ADPBPF，AFBP，DAPPBF.P點為AB的中點，PAABPB.，即.又PBFDPF，PFDBFP.2(2017·海南)如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E在AD邊上運動，且不與點A和點

10、D重合，連接CE，過點C作CFCE交AB的延長線于點F，EF交BC于點G.(1)求證：CDECBF；(2)當DE時，求CG的長；(3)連接AG，在點E運動過程中，四邊形CEAG能否為平行四邊形？若能，求出此時DE的長；若不能，說明理由解：(1)證明：在正方形ABCD中，DCBC，DABCDCB90°，CBF180°ABC90°，DCEECBDCB90°.CFCE，ECF90°.BCFECBECF90°.DCEBCF.在CDE和CBF中，CDECBF(ASA)(2)在正方形ABCD中，ADBC，GBFEAF.由(1)知CDECBF，BF

11、DE.正方形的邊長為1，AFABBF，AEADDE.BG.CGBCBG.(3)不能理由：若四邊形CEAG是平行四邊形，則必須滿足AECG，AECG，ADAEBCCG.DEBG.由(1)知CDECBF，DEBF，CECF.GBF和ECF是等腰直角三角形GFB45°，CFE45°.CFAGFBCFE90°.此時點F與點B重合，點D與點E重合，與題目條件不符，點E在運動過程中，四邊形CEAG不能是平行四邊形4(2017·貴港)已知在RtABC中，ACB90°，AC4，BC2，D是AC邊上的一個動點，將ABD沿BD所在直線折疊，使點A落在點P處(1)如圖1，若點D是AC中點，連接PC.寫出BP，BD的長；求證：四邊形BCPD是平行四邊形；(2)如圖2，若BDAD，過點P作PHBC交BC的延長線于點H，求PH的長解：(1)BP2，BD2.證明：延長BD至E，D是AC邊的中點，AC4，BC2，DCADBC.又ACB90°，BDC是等腰直角三角形，BDCADE45°.由折疊(軸對稱)性質可知，EDPADE45°，PDAD2，PDA90°.PDBC，且PDBC2.四邊形BCPD是平行四邊形(2)連