線性代數(shù)與解析幾何：第二章(3) 矩陣的秩

1、 第三節(jié)第三節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩 11 1122 1222121212: 1: A, 1kkkkkkm nkm nki ji ji ji ji ji ji ji ji jiiimkkjjjnaaaaaakaAkkkkkaa階子矩陣階中 任意行 列的交叉 例從取定 行 列階子 處元素按原順序組成.階子矩陣的行列為式式子式 一、矩陣的秩 ()max: det0k krank AkA 定義2.3 如果矩陣A中不等于0的子式最高階為r， r就稱為矩陣A的秩，記為rank(A) = r 零矩陣的秩定義為0。101220243036120 rank( )=1 中有 階非零子式，但所有 階子式故AAAran

2、k(A) = rank( ) = rank( )min( , ).rank( )=rank() 4.rank( )=det( )0. 11 rr至少有一個(gè) 階子式不為零，而所有 階子式為零.問題：1.若， 有沒有為零的 階子式， 有沒有不為零的階子式? 2.對(duì)于矩陣 ， 3.對(duì)于 階方陣 ，TAAAm nAAm nAAAAArrrrnn 此時(shí)又稱 為(可逆)，否則稱 為 滿秩矩陣降秩矩陣 (不可逆).AA定理2.6 矩陣經(jīng)初等變換后，秩不變。(證略) 2 4 .ABAB若 經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 ， 定義和 稱等價(jià)。(1) ( )( )(2) (3)(4) 2.7 ABrank Arank

3、 BAAABBAABBCAC若 與 等價(jià)，則 與 自身等價(jià)若 與 等價(jià)，則 與 等價(jià)與 等價(jià), 與 等價(jià),則定與理等價(jià)12 (1)(1)(1),2.5 ,;1, . rkrmkrk jrkjjja (2)定義:前 行是非零行 其他各行 都是零行第 行的第 個(gè)非階零元素是則是嚴(yán)格梯形矩遞增的陣1 034 5072 0 20002 000000 0524A524102 00072 10014 024B不是階梯型矩陣是階梯型矩陣2.8 定理行初任何一個(gè)非零矩陣可經(jīng) 化成階等變換梯形矩陣.11121211112211111111111111,2,00: 0000 00jnjjnm jm jm njnj

4、nm jm njjaaaaaAaaaaaaaaaaa 行變換證明設(shè)第1個(gè)非零列11112112211121111111,000000000000jnnm njnnjjjjm naaaaaaaaaaaa 行變換行變換()()() ()()()() () 2.9(0) 即：經(jīng)一系列初等變換經(jīng)一系列初等列變行換任定理矩陣意非零矩陣 等價(jià)于下列形式的矩陣： rn rm rrrm rnrrrn rm rrm rn rEm nA000000AEA()()() () , . ( ) rrn rm rrm rm nn rrrankE00ArA0 這里，稱為秩為的矩陣等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的123 2 1324 3 142

5、00126701212011212001267 =02324302324303443503443512.18110 11212012120026700267001261000008001261001rrrrrrrrrrA 例11232383600000 1000010000010000000 10000 100000 10000000008008 00000 1000000000000000000000ccccccc 列變換定義2.6 對(duì)施行一次初等變換， 得到的矩陣稱為單位矩陣初等矩陣。 E 單位矩陣新矩陣.三 種 初 等 變 換 對(duì) 應(yīng) 三 種 初 等 矩 陣稱為初等矩陣一次初等變換 二、

6、用初等變換求逆矩陣 ,: 1 0 1 ( ,) 1 0 1Ei jii jEj (1) 交 換的 第兩 行 (列 ) 第 行 第 行( )1() (2) 0(1()kk kEiikEi 數(shù)乘于 的第 行第列行1 1 1 (3) ( ) 1(, )kEjEiikjkijEijk 數(shù)乘 于的 第 行 加 到的 第 行第 列 乘 于 數(shù)加 到 第 列 ) 第 行第 行初等矩陣都是可逆矩陣,其逆矩陣也是初等矩陣1( ,)( ,)()i ji jEE11( )()()kii kEE1( ( ( ), ), )( (E jiE jikk( ,)( ,)11 0 1 0 1 1 0 1 0 1i ji jE

7、E 證：111-1 ( ,)( ,) ( ( )( ( ) (E(i(k)( ( ) ( ( ), )( (), ) ( 1kkE i jE i jE i kE iEE iEj ki EjkEiE所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)樗?1E(j(k),i)( (), )Ejki111213313233212223212223313233111213111213131211212223232221313233333231001(1,3)010100001(1,3)010100aaaaaaEAaaaaaaaaaaaaaaaaaaA Eaaaaaaaaaaaa例：11121311121321222321222331

8、32333132331112131112132122232122313233100(3( )01000100(3( )01000aaaaaaEkAaaaaaakaaaaaaaaaaaaA Ekaaaaaaaakkkakkk23313233kaaa 2.10 ( , ) ( ( )( ( ), )是個(gè)矩陣做一次初等變換用 階定理行左乘列右初等矩陣即：做一次初等變換用 階初乘等矩陣即： ijiijrrk rrk rE i jEAmnAmAABABABABABi kE j kABAnAiA ( , )( ( )( ( ), ) ijiijcck cck cE iBABABjE i kE j kABB

9、iAAB1: 1 1 1 ( ( ), )( ( ), ) 1ijrkijrmABABE j kiE j kiAAAAAk 證只證 1( ( ), ) ijjmrk rijAAAABBAE j kiBkAA 與的結(jié)果 相同，即。12111121122121111 ,.2.8i (1,2,., )2 .8 行變換行變換2行變換3行變換s設(shè) 是非零矩陣，則存在一系列階初等矩陣,使得是階梯形矩陣證：由定定理是階梯形矩陣階梯形理，設(shè) 行變換 對(duì)應(yīng)初等矩陣陣是矩 sssisssssssAmnmP PPP PPAABBBPisBP ABP BP P ABPBBP PP A21122112 ,0 00(2.

10、)9設(shè) 是非零矩陣，則存在一系列初等矩陣和初定理階階等矩陣,使得其中，strstAmnP PPQ QQErrPaPnmPnQQkQAA 2.11 對(duì)一個(gè) 階矩陣 ，下列條件 互：定理相等價(jià)nA (1) n nA是可逆矩陣(2) () rank An(3) de0t A (4) A可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積證明證明: (1) (2) (2)(3) (2) (4) (4)(1)1112 2.9,0 00rsstEP PP AQ QQ由 定 理存 在 一 系 列 初 等 矩 陣 使 得A由于初等矩陣可逆， 也可逆，左端矩陣可逆則右端矩陣可逆，右端不可能有零行向量 , ()nErnrank An即右

11、端矩陣（標(biāo)準(zhǔn)形）為,則即證 (1) (2)1112 sstnP PP AQ QQE1111111121 sstAPPPQQQ 又初等矩陣的逆矩陣是初等矩陣 A可 表 示 為 初 等 矩 陣 的 乘 積 ()rank An證明 (2)(4): (4)1) ( AA若有限個(gè)初等矩陣的乘積，而初等矩陣是可逆的，它們的乘積也是可逆的，所以 可逆。 8 2.,AmnmPPA設(shè) 為矩陣，則存在 階可逆矩陣 使為定理階梯形矩陣 2.9 m nm nm mn nABPQPAQB和等價(jià)的充分必要條件是 存在兩個(gè)可逆矩陣和，使得定理 () 0 00m mn nrrank ArCCEC AC ， 若則存在兩可逆 矩

12、陣別地和得特，使求逆矩陣的實(shí)用方法：1111111121 sstAPPP QQ Q可逆矩 1121 stAQ QQ PP1121 ( )( )t sQ QQ PPAEEA1( )( )AEEA 行變初等換1 .A若變換過程出現(xiàn)零行向量不存在2 4 13 3 113233 2 2231001231004580100344103460010330110020010020001211111011110233110001rrrrrrrrrrAAAE 123 求 的逆矩陣. 其中 =例458346( 1) 223( 1) 31123100200100200001103400034001123001123

13、200034012rrrrA 11111121211 rank( )= , rank( )= 2.12()min)=(,( )AmnBnpArBsmPnQEOEOPAQA PQOOOOEOEOABPPOOrank ABrank A rank BBBQBBOOrrrr設(shè) 是矩陣， 是矩陣，則 證：設(shè)則存在 階可逆矩陣 和 階可逆矩陣,使得 =則定理1221112BBBPOO1112111211122.9 , ()()()()min , min( ),( )BBOOBBABOOBBrank ABrankrOOrank ABsrank ABr srank A ranBrkr至多有 行非零，其秩不超過

14、 .由定理與等價(jià)則同樣可證明則 2.3 2.4 2.5 det( , )1,det(), det(, )1detdetdet( ,2.13det()det( )det,ddet( )( , )()et()對(duì)任意 階矩陣 和 ，則 證明: 首先，若 為， 則由定理,，有 （ ）（ ）同樣有： （） 定理初等矩陣（ ） nABAE i jE i kkABABE i j BE i kE j k iBE iBjBk(,detdet()det, det()detdet(, )det.)（ ）（ ）所以，當(dāng) 為初等矩陣時(shí)，結(jié)論成立。（ ）E j k iBE i kBBABE j k iB12121212

15、detdetdetdet; detdet() detdetdetdetdetdet( ) d可逆矩陣不可逆矩陣其次，若 為，則 可表示為初等矩陣的乘積 ，利用數(shù)學(xué)歸納法可證明：最后，若 為，則有，ssssAAAP PPAPPPABP PP BPPPBABArank Anet02.12()( )det0. ， 再由定理， 知 ，即 所以，結(jié)論成立。Arank ABrank AnAB111,(1) (det()det(2) )nABA BABEAABAA：若任意 階矩陣 和 滿足， 則 若 可推論和 都逆可逆，則1111111detdetdet()det1 det0,det0,: detdet()

16、det()det11 det()(det)det1(2)ABEABABEABA BAA EA ABBAAAAEAAA證明：由，則故都可逆， 且于所以（）由11112221111112221112.21 - -det r detdetde ,1設(shè) 階矩陣 的分塊如下：證明：證：根據(jù)定理2.8 ，存在 階可逆矩陣 ， 使得。設(shè)其對(duì)例列列行行是階梯形矩陣,從而是上三角矩角線元素是則陣 rrn rrnnAAAAOAPAPAa aarAAAA22222111122222122- ,t,tde2是階梯 同理，存在階可逆矩陣 ， 使得。設(shè)其對(duì)角線元素是則 形矩陣，從而是上三角矩陣 rrrnrrnn rPAAa aaAAaaaP Aaaa11112111112111122222222211112111121222221122det, detdetrn rnrn rPOE