食餌捕食者模型Word版

1、食餌捕食者模型摘要自然界中不同種群之間存在著一種有趣的既有依存，又有制約的生存方式：種群甲靠豐富的自然資源生長(zhǎng)，而種群乙靠捕食種群甲為生。生態(tài)學(xué)上稱(chēng)種群甲為食餌，種群乙為捕食者，二者共處組成食餌捕食者系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng)）。為了對(duì)食餌、捕食者的數(shù)量關(guān)系做出分析和預(yù)測(cè)，建立了食餌捕食者模型：根據(jù)微分方程穩(wěn)定性理論輔之以相軌線分析，對(duì)具有自身阻滯作用的兩種群的數(shù)量關(guān)系做出分析和預(yù)測(cè)。關(guān)鍵詞食餌捕食者，模型，生態(tài)學(xué)，規(guī)律。問(wèn)題重述討論具有自身阻滯作用的兩種群食餌捕食者模型，首先根據(jù)兩種群的相互關(guān)系建立模型，解釋參數(shù)的意義，然后進(jìn)行穩(wěn)定性分析，解釋平衡點(diǎn)穩(wěn)定的實(shí)際意義，對(duì)模型進(jìn)行相軌線分析來(lái)驗(yàn)證理論分析的正

2、確性。模型建立種群甲（食餌）靠豐富的自然資源生長(zhǎng)，而種群乙（捕食者）靠捕食種群甲為生，食餌（甲）和捕食者（乙）在時(shí)刻的數(shù)量分別記為，是甲的固有增長(zhǎng)率，種群甲和乙的最大容量分別為、。數(shù)量的演變均遵從規(guī)律。于是對(duì)種群甲有其中因子反映由于甲對(duì)有限資源的消耗導(dǎo)致的對(duì)它本身增長(zhǎng)的阻滯作用，可解釋為相對(duì)于而言單位數(shù)量的甲消耗別的供養(yǎng)甲的食物量（設(shè)食物總量為1）。當(dāng)兩個(gè)種群在同一自然環(huán)境中生存時(shí)，考察由于乙消耗同一種有限資源對(duì)甲的增長(zhǎng)產(chǎn)生的影響，可以合理的在因子中再減去一項(xiàng)，該項(xiàng)與種群乙的數(shù)量（相對(duì)于而言）成正比，于是得到種群甲增長(zhǎng)的方程為 （1）這里的意義是：?jiǎn)挝粩?shù)量乙（相對(duì)于而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量為

3、單位數(shù)量甲（相對(duì)）消耗的供養(yǎng)甲的食物量的倍。類(lèi)似的，甲的存在也影響了乙的增長(zhǎng)，種群乙沒(méi)有甲的存在會(huì)死亡，設(shè)其死亡率為，甲為乙提供食物，甲對(duì)乙的增長(zhǎng)起到了促進(jìn)作用，乙的增長(zhǎng)又會(huì)受到自身的阻滯作用，于是得到種群乙增長(zhǎng)的方程為 （2）其中：反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。穩(wěn)定性分析為了研究種群甲、乙的結(jié)局，即時(shí)，、的趨向，需對(duì)它的平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。首先根據(jù)微分方程（1）、（2）解代數(shù)方程組 （3）得到4個(gè)平衡點(diǎn)：，。按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法計(jì)算 將4個(gè)平衡點(diǎn)，的結(jié)果及穩(wěn)定條件列入下表1.平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定不穩(wěn)定表1 種群甲、乙的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性上表的穩(wěn)定條件由微分方程穩(wěn)定性理論分析：“若，則平衡點(diǎn)

4、穩(wěn)定；若或，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定”可以得到，且平衡點(diǎn)要在第一象限。在代數(shù)方程（3）中記對(duì)于，的不同取值范圍，直線和在相平面上的相對(duì)位置不同。O.O.模型計(jì)算與驗(yàn)證數(shù)值解：記食餌和捕食者的初始數(shù)量分別為， （4）為求微分方程（1）、（2）及初始條件（4）的數(shù)值解，（并作圖）及相軌線，把用代替，設(shè)，則有，。MATLAB代碼為：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.05;b=0.001;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=

5、0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0)>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,相軌線的圖形，時(shí)，數(shù)值解，的圖形。設(shè)，則有，。MATLAB代碼為：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.001;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*

6、x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid, ，時(shí)，數(shù)值解，的圖形。相軌線的圖形設(shè)，則有，。MATLAB代碼為：function xdot=shier(t,x)r=

7、1;d=0.5;a=0.05;b=0.01;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,，時(shí)

8、，數(shù)值解，的圖形。相軌線的圖形設(shè)，則有，。MATLAB代碼為：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1;xdot=(r-n*x(1)-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2).*x(2);>> clear;>> ts=0:0.1:25;>> x0=25,2;>> t,x=ode45('shier',ts,x0);>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),>> pause,>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,，時(shí)，數(shù)值解，的圖形。相軌線的圖形模型解釋根據(jù)模型中與1的大小關(guān)系（與1的大小關(guān)系定了，與與1的大小關(guān)系無(wú)關(guān)，即點(diǎn)，的穩(wěn)定性由與1的大小關(guān)系決定），說(shuō)明，兩穩(wěn)定點(diǎn)在生態(tài)學(xué)上的意義。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)穩(wěn)定，因食餌不能為捕食者提供足夠食物，即捕食者滅絕，而食餌趨向最大容量；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)穩(wěn)定，這時(shí)食餌與捕食者的數(shù)量隨時(shí)間的增加趨于各自的極限值，而趨于生態(tài)平衡，時(shí)間足夠長(zhǎng)之后，食餌與捕食者將保持自己的數(shù)量不會(huì)有大的變化。參考文獻(xiàn)數(shù)學(xué)建模/姜啟源，謝金星，葉俊編.3版.北京