反常積分ppt課件

1、一、無窮限反常一、無窮限反常(廣義廣義)積分積分二、無界函數(shù)的反常二、無界函數(shù)的反常(廣義廣義)積分積分第五節(jié)第五節(jié) 反常反常( (廣義廣義) )積分積分定定義義 1 1 設設函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間),a上上連連續(xù)續(xù)，取取ab ，如如果果極極限限 babdxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間),a上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .一、無窮限的廣義積分一、無窮

2、限的廣義積分類似地，設函數(shù)類似地，設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b 上連續(xù)，取上連續(xù)，取ba ，如果極限，如果極限 baadxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間,(b 上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),( 上連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和

3、為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間),( 上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .例例1 1 判斷下列廣義積分斂散性判斷下列廣義積分斂散性20022(1)sin(2)ln(3)(4)111(5)sinexdxxdxxxdxxe dxxdxxx證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此

4、當因此當1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為11 p；當當1 p時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散.證證 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即當當0 p時時收收斂斂，當當0 p時時發(fā)發(fā)散散.二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分定義6.3 設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b上有定義,且對 0ba,f(x)在a+,b上可積,但當xa+時, f(x) 則稱a為f(x)的瑕點.稱 為f(x)在(a,b區(qū)間上的反常積分(也稱瑕積分),若極限 0, 0lim( )dbaf xx存在,則稱反常積分 收斂,并以此極限作為其值,

5、即( )dbaf xx( )dbaf xx 假設 存在,則稱反常積分 收斂,并定義其值為極限值,即0( )dlim( )d (6.26)bbaaf xxf xx若極限不存在,則稱反常積分 發(fā)散.( )dbaf xx 類似地可以定義b點為瑕點時的反常積分.即當xb時函數(shù)f(x) ,反常積分 的斂散性.( )dbaf xx0lim( )dbaf xx( )dbaf xx0( )dlim( )d (6.27)bbaaf xxf xx 若極限 不存在,則稱反常積分 發(fā)散.0lim( )dbaf xx( )dbaf xx 如果f(x)在a,b內部有一點c,即acb,使得 ,則規(guī)定兩個反常積分 與 均收斂

6、時,積分 收斂,且( )dbaf xxlim( )xcf x ( )dcaf xx( )dbcf xx00lim( )dlim( )d (6.28)cbacf xxf xx否則稱反常積分 發(fā)散.( )dbaf xx( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx例例4 4 計算下列廣義積分計算下列廣義積分232220130(1)(2).ln4(3).(1)dxdxxxxdxx證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此當因此當1 q時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為q 11；當當1 q時廣義

7、積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散. 101dxxq思考題思考題積分積分 的瑕點是哪幾點？的瑕點是哪幾點？ 101lndxxx思考題解答思考題解答積分積分 可能的瑕點是可能的瑕點是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕點不是瑕點, 101lndxxx的瑕點是的瑕點是. 0 x無界函數(shù)的廣義積分瑕積分）無界函數(shù)的廣義積分瑕積分）無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略內部的瑕點）（注意：不能忽略內部的瑕點） badxxf)(三、小結三、小結一、一、 填空題：填空題：1 1、 廣義積分廣義積分 1pxdx當當_時收斂；當時收斂；當_時時發(fā)散；發(fā)散；2 2、 廣義積分廣義積分 10qxdx當當_時收斂；當時收斂；當