中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)圓壓軸八大模型題5三切線組合

1、圓壓軸題八大模型題（五）瀘州市七中佳德學(xué)校 易建洪引言：與圓有關(guān)的證明與計(jì)算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習(xí)題。一般都會(huì)在固定習(xí)題模型的基礎(chǔ)上變化與括展，本文結(jié)合近年來(lái)各省市中考題，整理了這些習(xí)題的常見(jiàn)的結(jié)論，破題的要點(diǎn)，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺(tái)階性地幫助考生解決問(wèn)題。類型5 三切線組合直角梯形ABCD中，ADBC，B90，以AB為直徑的半圓O與CD相切于點(diǎn)E. 圖(2)圖(3)圖(1)(4)求證：COAE, DOBE.(3)求證：CO2CBCD；(1)AD4，BC9，求AB；(2)求證：4ADBCAB2.【分析】(1)

2、法一：如圖(a)過(guò)點(diǎn)D作DFBC,ABDF12.法二：如圖(b)由OBCDAO,或COEODE得：r24936,r6,AB12.(a)(b)(2) 由OBCDAO,或COEODE得：r2ADBC,( )2ADBC,4ADBCAB2(3)由RtCBORtCOD得：CO2CBCD.(4)CFECOGEGD90,COAE,DOBE. 圖(6)圖(5)圖(4)(6)求證：DG=AG.(7)求證：EP=FP.(5)求證：EP=FP.(8)若AB=2，AD=2，求BC和EF的長(zhǎng).【分析】(5)由CBEFDA,CBCE,DADE得,EPFP.(6)由CBCE,CBECEBDEG;CBDA得CBED,DEGD

3、.DGEG,又EGGA,DGAG.(7)EFDA,得, 又DGGA,得EPFP.(8)由AB24ADBC得：（2）242BC,BC2.5,CFBC2.5,BF5.在RtABF中，AF3.由ADBF得,EFAF3【典例】（2018湖南婁底）如圖，已知半圓O與四邊形ABCD的邊AD、AB、BC都相切，切點(diǎn)分別為D、E、C，半徑OC1，則AEBE_.圖a圖5-1【分析】連接 OE，由切線長(zhǎng)定理可得AOEDOE，BOEEOC，再根據(jù)DOEEOC180，可得AOB90，繼而可證AEOOEB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得.解：如圖，連接 OE，AD、AB與半圓 O 相切， OEAB，OA平分DOE，A

4、OEDOE，同理BOEEOC，DOEEOC180，AOEBOE90，即AOB90，ABOBAO90，BAOAOE90，ABOAOE，OEABEO90，AEOOEB，AE：OEOE：BE，AEBEOE1，答案：1.【點(diǎn)撥】由切線長(zhǎng)定理引出的四個(gè)母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形。除開(kāi)由切線長(zhǎng)所在的特殊四邊形的特殊結(jié)論以外，往往借助切線長(zhǎng)定理中的邊等角等和比例線段證明線段相等，或運(yùn)用局部占總體的比例求線段長(zhǎng)。善于分解圖形，構(gòu)建基本的圖形模型，綜合運(yùn)用解決問(wèn)題。【變式運(yùn)用】1.(2016大慶)如圖，在RtABC中，C90，以BC為直徑的O交斜邊AB于點(diǎn)M，若H是AC的

5、中點(diǎn)，連接MH.(1)求證：MH為O的切線.(2)若MH，tanABC，求O的半徑.(3)在（2）的條件下分別過(guò)點(diǎn)A、B作O的切線，兩切線交于點(diǎn)D，AD與O相切于N點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)作NQBC，垂足為E，且交O于Q點(diǎn)，求線段NQ的長(zhǎng)度.解：（1）連接OH、OM，H是AC的中點(diǎn)，O是BC的中點(diǎn)，OH是ABC的中位線，OHAB，COHABC，MOHOMB，圖5-2又OBOM，OMBMBO，COHMOH，在COH與MOH中，COHMOH（SAS），HCOHMO90，MH是O的切線；圖b（2）MH、AC是O的切線，HCMH，AC2HC3，tanABC，BC4，O的半徑為2.（3）連接OA、CN、ON，OA與C

6、N相交于點(diǎn)I，AC與AN都是O的切線，ACAN，AO平分CAD，AOCN，AC3，OC2，圖c由勾股定理可求得：AO，ACOCAOCI，CI，由垂徑定理可求得：CN，設(shè)OEx，由勾股定理可得：CN2CE2ON2OE2，（2x）24x2，x，CE，由勾股定理可求得：EN，由垂徑定理可知：NQ2EN2.(2016廣西梧州)如圖，AB、BC、CD分別與O切于E、F、G，且ABCD連接OB、OC，延長(zhǎng)CO交O于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MNOB交CD于N（1）求證：MN是O的切線；（2）當(dāng)OB6cm，OC8cm時(shí)，求O的半徑及MN的長(zhǎng)(1)如圖所示，連接OE、OF、OG.OE、OF、OG都是O的半徑，OEOGOG

7、.AB、BC、CD分別與O相切于點(diǎn)E、F、G，圖5-2OEBOFBOFCOGC90.在RtOEB和RtOFB中，RtOEBRtOFB，則OBEOBF.同理可證RtOFCRtOGC，則OCFOCG.圖dABCD,OBEOBFOCFOCG180，即OBFOCF90，則BOC180OBFOCF90. MNOB，NMCMOB180BOC90，即OMMN,又OM是O的半徑，MN是O的切線。(2)如圖所示，由（1）可得，在RtOBC中，OFBC，BOC90。由勾股定理得，則，即10OF48,故OF4.8.OMOF4.8，MCOMOC12.8。由（1）知，OCBMCN，NMCBOC90，則NMCBOC，因此，即，故。綜上所述，O的半徑為4.8cm，MN的長(zhǎng)為9.6cm.3.（2018湖北襄陽(yáng)）如圖，AB是O的直徑，AM和BN是O的兩條切線， E為O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線DC分別交AM，BN于點(diǎn)D，C，且CBCE(1)求證：DADE；(2)若AB6，CD4，求圖中陰影部分的面積解：（1）證明：連結(jié)OE，OC.圖5-3BN切O于點(diǎn)B，OBN90.OEOB，OCOC，CECB，OECOBC.OECOBC90.CD是O的切線.AD切O于點(diǎn)A，DADE.（2）過(guò)點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，則四