7-4-1簡單地排列問題.教師版

1、教學目標1.使學生正確理解排列的意義；2. 了解排列、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；3掌握排列的計算公式；4會分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力; 通過本講的學習，對排列的一些計數(shù)問題進行歸納總結(jié)，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等.知識要點一、排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計算有多少種排法，就 是排列問題在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān).一般地，從n個不同的元素中取出 m(m n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個

2、元素的一個排列.根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同如果 兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順 序不同，它們也是不同的排列.排列的基本問題是計算排列的總個數(shù).從n個不同的元素中取出 m(m n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從 n個不同的元素的排列中取出 m個 元素的排列數(shù)，我們把它記做 巳：根據(jù)排列的定義，做一個 m元素的排列由m個步驟完成：步驟1 :從n個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有n種方法；步驟2 :從剩下的(n 1)個元素中任取一個元素排在第二位，有(n 1)種方法；步驟m

3、 :從剩下的n (m 1)個元素中任取一個元素排在第m個位置，有n (m 1 n m 1(種)方法；由乘法原理，從n個不同元素中取出 m個元素的排列數(shù)是 n (n 1(n 2) L (n m 1)，即卩Rm n(n 1).( n 2)L ( n m 1),這里，m n，且等號右邊從n開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1，共有m個因數(shù)相乘.二、排列數(shù)一般地，對于 m n的情況，排列數(shù)公式變?yōu)?Pn n (n 1) (n 2) L 3 2 1 .表示從n個不同元素中取n個元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù).這種 n個排列全部取出的排列，叫做 n 個不同元素的全排列. 式子右邊是從n開始，后面每一個因數(shù)比

4、前一個因數(shù)小 1，一直乘到1的乘積，記為n!, 讀做n的階乘，貝U Fnn還可以寫為： Pnn n!，其中n! n (n 1) (n 2) L L 3 2 1.例題精講模塊一、排列之計算【例i】計算： p55 ；p4 pT3 .【考點】簡單排列問題【難度】1【解析】由排列數(shù)公式Pnmn( n 1).(n 2) L P525 420 P747 6 5 4840 ,P737 6【答案】20630星【題型】解答n m 1 知：5 210，所以 P74 P；840 210630 .【鞏固】計算： P32 ；2） P； P2 .【難度】1星 P/ P2【題型】解答6 5 4 10 9120 90 303

5、0【考點】簡單排列問題【解析】P323 2 6【答案】6【鞏固】計算：P2 ； 3P65P33 .【考點】簡單排列問題【難度】1星【解析】32 P4 P41413 1214 132002 ； 3P； P333 (6 5 4 3 2)3 2 1【題型】解答2154 . 2154【答案】2002模塊二、排列之排隊問題【例2】 有4個同學一起去郊游，照相時，必須有一名同學給其他 3人拍照，共可能有多少種拍照情況？（照相時3人站成一排）【考點】簡單排列問題【難度】2星【題型】解答【解析】由于4人中必須有一個人拍照，所以，每張照片只能有3人，可以看成有3個位置由這3人來站.由于要選一人拍照，也就是要從四

6、個人中選3人照相，所以，問題就轉(zhuǎn)化成從四個人中選3人，排在3個位置中的排列問題要計算的是有多少種排法.由排列數(shù)公式，共可能有：P/ 4 3 2 24 （種）不同的拍照情況.也可以把照相的人看成一個位置，那么共可能有：P44 4 3 2 1 24 （種）不同的拍照情況.【答案】24【鞏固】4名同學到照相館照相他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？【考點】簡單排列問題【難度】2星【題型】解答【解析】4個人到照相館照相，那么 4個人要分坐在四個不同的位置上所以這是一個從4個元素中選4個，排成一列的問題.這時 n 4, m 4 .由排列數(shù)公式知，共有 P44 3 2 124（種）不同的排法.【答案

7、】24【鞏固】9名同學站成兩排照相，前排 4人，后排5人，共有多少種站法？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】如果問題是9名同學站成一排照相， 則是9個元素的全排列的問題，有P99種不同站法.而問題中，9個人要站成兩排，這時可以這么想，把9個人排成一排后，左邊4個人站在前排，右邊5個人站在后排，所以實質(zhì)上，還是 9個人站9個位置的全排列問題.方法一：由全排列公式，共有P9 987654321 362880 （種）不同的排法.方法二：根據(jù)乘法原理，先排四前個，再排后五個.45P9P5987654321362880【答案】362880【鞏固】5個人并排站成一排，其中甲必須站在中間有

8、多少種不同的站法？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】由于甲必須站在中間，那么問題實質(zhì)上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題，是一個全排列問題，且n 4由全排列公式，共有 P44 4 3 2 1 24（種）不同的站法.【答案】24【鞏固】 丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家?！?，5人并排站成一排，奶奶要站在正中間，有多少種不同的站法？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】由于奶奶必須站在中間，那么問題實質(zhì)上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題，是一個全排 列問題，且n=4 .由全排列公式，共有 P44 3 2 124（種）不同的站法.【答案】24【例3】

9、5個同學排成一行照相，其中甲在乙右側(cè)的排法共有 申？【考點】簡單排列問題【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯，4年級，第8題【解析】5個人全排列有5! 120種，其中甲在乙右側(cè)應(yīng)該正好占一半，也就是60種【答案】60種14個車站（包括北京和上海）,這條鐵路線共需要多少種【例4】一列往返于北京和上海方向的列車全程?？?不同的車票.【題型】解答學習委員、生活委員、宣傳委員和體育委員.問【題型】解答【考點】簡單排列問題【難度】3星【解析】P；14 13 182（種）.【答案】182【例5】 班集體中選出了 5名班委，他們要分別擔任班長, 有多少種不同的分工方式？【考點】簡單排列問題【難度】3

10、星【解析】P5120（種）.【答案】120【例6】 有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，冋：共可以表示多少種不同的信號?【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】 這里五面不同顏色的小旗就是五個不同的元素，三面小旗表示一種信號，就是有三個位置我們的 問題就是要從五個不同的元素中取三個，排在三個位置的問題由于信號不僅與旗子的顏色有關(guān)， 而且與不同旗子所在的位置有關(guān)，所以是排列問題，且其中n 5 , m3 由排列數(shù)公式知，共可組成 P535 4 3 60（種）不同的信號.【答案】60【鞏固】 有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號，問共可

11、以組成多少種不同的信號？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】F323 26 【答案】6 【鞏固】 在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：這里三面不同顏色的旗子就是三個不同的元素，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，也就是從三個元素中選三個的全排列的問題.由排列數(shù)公式，共可以組成 F333 2 16（種）不同的信號.方法二：首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠

12、這三面旗子中任取一個，有3種方法；其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗 中去取，有2種方法剩下那面旗子，放在最低位置.根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是：3 2 1 6（種）【補充說明】這個問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有關(guān)的問題常常可以用排列數(shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時，可避免一步步地分析考慮，使問題簡化.【答案】6模塊三、排列之數(shù)字問題【例7】 用1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?【考點】簡單排列問題【難度】2星【題型】解答【解析】 這是一個從8個元素中取4個元素的

13、排列問題，已知 n 8 , m 4，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成P48 7 6 51680 （個）不同的四位數(shù).【答案】1680 【鞏固】 由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?【考點】簡單排列問題【難度】2星【題型】解答【解析】【答案】3R 120 .120【例8】用 0、1、2、3、 4可以組成多少個沒重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】（法1）本題中要注意的是 0不能為首位數(shù)字，因此，百位上的數(shù)字只能從1、2、3、4這四個數(shù)字中選擇一個，有4種方法；十位和個位上的數(shù)字可以從余下的4個數(shù)字中任選兩個進行排列，有P；種方法由乘法原理得

14、，此種三位數(shù)的個數(shù)是：4 P42 48（個）.（法2）:從0、1、2、3、4中任選三個數(shù)字進行排列， 再減去其中不合要求的，即首位是0的.從320、1、2、3、4這五個數(shù)字中任選三個數(shù)字的排列數(shù)為F5 ,其中首位是0的三位數(shù)有P4個三位數(shù)的個數(shù)是：P53 F425 4 3 4 3 48（個）.本題不是簡單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要么直接 在排列的時候考慮這些限制因素.【答案】48【例9】 用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】個位數(shù)字已知，問題變成從從 5個元素中取2個

15、元素的排列問題，已知 n 5 , m 2，根據(jù)排列數(shù)公 式，一共可以組成 P25 4 20 （個）符合題意的三位數(shù).【答案】20【鞏固】 用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】由于組成偶數(shù)，個位上的數(shù)應(yīng)從 2 , 4 , 6中選一張，有3種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的25張中選二張，有 R 5 4 20（種）選法由乘法原理，一共可以組成3 20 60（個）不同的偶數(shù).【答案】60 【例10】由0, 2 , 5 , 6 , 7 , 8組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個？【考點】簡單排

16、列問題【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：先考慮從六個數(shù)字中任取四個數(shù)字的排列數(shù)為P； 6 5 4 3 360，由于0不能在千位上，而以0為千位數(shù)的四位數(shù)有 R35 4 3 60，它們的差就是由0, 2 , 5 , 6 , 7 , 8組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)，即為：360 60 300個.方法二：完成這件事一一組成一個四位數(shù)，可分為4個步驟進行，第一步：確定千位數(shù)；第二步：確定百位數(shù)；第三步：確定十位數(shù)；第四步：確定個位數(shù)；這四個步驟依次完成了，“組成一個四位數(shù)”這件事也就完成了，從而這個四位數(shù)也完全確定了，思維過程如下：:翳一畛：兇老+徒數(shù) 訂-F首隹不能湖 ! 0.曲以黑龜從2 .

17、 5 .：5 , 7 . S卡低確一十 j數(shù)豐.5科產(chǎn)港，* Fri * B F8 4-! i iBii-. 由 r i- +B .-i- ! i- +8 /E渤十偵和石代弘從i3 0 . ： . J . （5 . 7 . S 申 j:鬥擊2于勲，曲哮十也: 乂孤從觸下旳歎辛中趙 ；4%.興禺耳時建;t,:富四于；瑜疋年就數(shù) 園衣中僅.百優(yōu)b十 4je已從0 , 2j飛，7 - 中m去3甲盤辛“用嘆 4應(yīng)乂雜從輛齊的凰斗屮珮二步：廉宣審數(shù):鹵于敷辛不起沖童愛樓仍，ii所席千住陌過的撤于百隹齊能帶:陰.典鬥右心可眾曼口，冊專廟iIQ.5 . 6. 7 . 2屮占甘十喪I!G悶若們一T數(shù)卒，血便打

18、有林；J越,:i根據(jù)乘法原理，所求的四位數(shù)的個數(shù)是：5 5 4 3 300（個）【答案】300【例11】用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？【考點】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】按位數(shù)來分類考慮：一位數(shù)只有1個3 ; 兩位數(shù)：由1與2 , 1與5 , 2與4 , 4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成P22 2 1 2 （個）不同的兩位數(shù)，共可組成 2 4 8（個）不同的兩位數(shù)； 三位數(shù)：由1 , 2與3; 1 , 3與5 ; 2 , 3與4 ; 3 , 4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成3P3 3 2 1 6 （個）不同的三位數(shù)，共可組成 6

19、4 24（個）不同的三位數(shù)； 四位數(shù)：可由1 , 2 , 4 , 5這四個數(shù)字組成，有 P4 4 3 2 1 24（個）不同的四位數(shù)； 五位數(shù)：可由1 , 2 , 3 , 4 , 5組成，共有P55 5 4 3 2 1 120（個）不同的五位數(shù). 由加法原理，一共有1 8 24 24 120 177（個）能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù).【答案】177【例12】用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比 20000大且百位數(shù)字不是 3的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？【考點】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】可以分兩類來看： 把3排在最高位上，其余 4個數(shù)可以任意放到其余 4個數(shù)位上，是4個元素全排

20、列的問題，有4R 4 3 2 124（種）放法，對應(yīng)24個不同的五位數(shù)； 把2 , 4 , 5放在最高位上，有 3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和 3之外的3個數(shù)字 可以選擇，有3種選擇，其余的3個數(shù)字可以任意放到其余 3個數(shù)位上，有P3 6種選擇.由乘法 原理，可以組成 3 3 654（個）不同的五位數(shù).由加法原理，可以組成 24 54 78（個）不同的五位數(shù).【答案】78【鞏固】 用0到9十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個數(shù)？【考點】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】 從高位到低位逐層分類： 千位上排1，2，3或4時，千

21、位有4種選擇，而百、十、個位可以從09中除千位已確定的數(shù)字之外的9個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復(fù)，也就是從9個元素中取3個的排列問題，所以百、十、個位可有P93 9 8 7 504（種）排列方式由乘法原理，有 4 504 2016（個）.千位上排5，百位上排04時，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個位可以從剩下的八個 數(shù)字中選擇也就是從8個元素中取 2個的排列問題，即P82 8 7 56，由乘法原理，有1 5 56 280（個）千位上排5，百位上排6，十位上排0,1 , 2 , 3 , 4 , 7時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇， 有 1 1 6 7 42 （個 ）千位上排5，百位上排6 ,

22、十位上排8時，比5687小的數(shù)的個位可以選擇 0 , 1, 2, 3 , 4共5個.綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016 280 42 5 2343（個），故5687是第2344個四位數(shù).【答案】2344【例13】 用數(shù)字I8各一個組成8位數(shù)，使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù)共有 種組成方法.【考點】簡單排列問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，六年級，初賽，第7題【解析】I8中被三除余1和余2的數(shù)各有3個，被3整除的數(shù)有兩個，根據(jù)題目條件可以推導，符合條件的排列，一定符合“被三除所得余數(shù)以 3位周期”，所以8個數(shù)字，第1、4、7位上的數(shù)被3除同 余，第2、5、8位上的

23、數(shù)被3除同余，第3、6位上的數(shù)被3除同余，顯然第 3、6位上的數(shù)被3 整除，第1、4、7位上的數(shù)被3除可以余1也可以余2，第2、5、8位上的數(shù)被3除可以余2可 以余1 ,余數(shù)的安排上共有 2種方法，余數(shù)安排定后，還有同余數(shù)之間的排列， 一共有3 ! X3 ! X2 !=144種方法.【答案】144種【例14】由數(shù)字0、2、8（既可全用也可不全用） 組成的非零自然數(shù)，按照從小到大排列.2008排在個.【考點】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】 比2008小的4位數(shù)有2000和2002，比2008小的3位數(shù)有2 3 3 18 （種），比2008小的2位數(shù)有 2 3 6 （種），比2008

24、小的1位數(shù)有2 （種），所以2008排在第2 18 6 2 129 （個）.【答案】29【例15】千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為 2 （大減?。?，且不含重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個？【考點】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】千位數(shù)字大于十位數(shù)字，千位數(shù)字的取值范圍為2: 9，對應(yīng)的十位數(shù)字取 0: 7 ,每確定一個千位數(shù)字，十位數(shù)字就相應(yīng)確定了，只要從剩下的8個數(shù)字中選出2個作百位和個位就行了，因此總共有8 P8個這樣的四位數(shù)千位數(shù)字小于十位數(shù)字，千位數(shù)字取1: 7，十位數(shù)字實用標準文檔取3:2 2 29，共有7 R個這樣的四位數(shù)所以總共有 8 R 7 R 840個這樣的四位數(shù).【答案】840

25、模塊四、排列之策略問題【例16】某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是 9 ,那么確保打開保險柜至少要試幾次？【考點】簡單排列問題【難度】4星【題型】解答【解析】四個非0數(shù)碼之和等于9的組合有1，1，1，6 ； 1，1，2，5 ； 1，1，3，4； 1，2，2，4 ； 1，2，3，3 ； 2，2，2，3 六種.第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮6的位置就可以了， 6可以任意選擇4個位置中的一個，其余位置放1，共有4種選擇；第二種中，先考慮放 2，有4種選擇，再考慮 5的位置，可以有 3種選擇，剩下的位置放 1，共有4 3 12（種）選擇同樣的方

26、法，可以得出第三、四、五種都各有12種選擇最后一種，與第一種的情形相似，3的位置有4種選擇，其余位置放 2，共有4種選擇.綜上所述，由加法原理，一共可以組成4 12 12 12 12 4 56（個）不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試56次.【答案】56【例17】幼兒園里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少種坐法？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】在這個問題中，只要把 3把椅子看成是3個位置，而6名小朋友作為6個不同元素，則問題就可以轉(zhuǎn) 化成從6個元素中取3個，排在3個不同位置的排列問題.3由排列數(shù)公式，共有：P6 6 5 4 120 （種）不同的坐法.【答案】120【鞏固】 幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少種不同的坐法？【考點】簡單排列問題【難度】3星【題型】解答【解析】與例5不同，這次是椅子多而人少，可以考慮把6把椅子看成是6個元素，而把3名小朋友作為3個位置，則問題轉(zhuǎn)化為從 6把椅子中選出3把，排在