高等數(shù)學(xué){上}_ppt課件

1、 高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí) 重慶廣播電視大學(xué)巴南分校 徐祖平 :66233379E-mail: xzp6958126考試說明 本課程的考核形式為形成性考核和期末考試相結(jié)合的方式。考核成績由形成性考核作業(yè)成績和期末考試成績兩部分組成，考核成績滿分為100分，60分為及格。其中形成性考核作業(yè)成績占考核成績的20%，期末考試成績占考核成績的80%。期末考試采用閉卷筆試形式，卷面滿分為100分。 考核內(nèi)容和考核要求 考核內(nèi)容 一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、無窮級數(shù)和常微分方程四個部分，包括函數(shù)、極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分、定積分及其應(yīng)用、無窮級數(shù)、常微分方程等方面

2、的知識高等數(shù)學(xué)期末考試 考試題型：單選題5個約15%）、 填空題5個約15%），計算題6個,應(yīng)用題1個。考試時間：90分鐘 命題原則 不超過期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)的要求，試題主要分布在第二、三、四、五、六、八章，占80%以上，理解占10%，掌握占90%。題型有：填空題單項選擇題計算題約70%）。 出題單位 中央廣播電視大學(xué) 考試形式 閉卷高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)資源教材中央電大復(fù)習(xí)指導(dǎo)形成性考核冊中央電大網(wǎng)上教學(xué)答疑文本重慶電大學(xué)習(xí)資源巴南電大教學(xué)資源網(wǎng)絡(luò)資源1、資源網(wǎng)站 重慶電大教學(xué)平臺：/cqdd.cq 巴南電大在線平臺：/cqbnjs 中 央 電 大 在 線: ：/open,edu 注：要先注冊，輸入

3、用戶名和密碼，然后登錄。2、網(wǎng)絡(luò)資源內(nèi)容重慶電大教學(xué)平臺：/cqdd.cq巴南電大在線平臺：/cqbnjs（1市電大責(zé)任老師介紹（2教學(xué)大綱（3課程教學(xué)實施細(xì)則（4電子教案（5直播課堂（6重難分析（7平時作業(yè)4套）（8期末復(fù)習(xí)提要高等數(shù)學(xué)1）重難點分析重慶電大巴南分校徐祖平第一章 函數(shù) 理解函數(shù)概念，掌握函數(shù)的兩要素 ;定義域和對應(yīng)關(guān)系，會判斷兩函數(shù)是否相同；掌握求函數(shù)定義域的方法，會求初等函數(shù)的定義域和函數(shù)值；了解函數(shù)的主要性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性），知道它們的幾何特點；熟練掌握六類基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形；了解復(fù)合函數(shù)概念，會對復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解；了解初等函

4、數(shù)的概念；了解分段函數(shù)概念，掌握求分段函數(shù)定義域和函數(shù)值的方法；會列簡單應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)第二章 極限與連續(xù) 了解極限的概念數(shù)列極限、函數(shù)極限、左右極限），知道數(shù)列極限的“定義和函數(shù)極限的描述性定義，會求左右極限；了解無窮小量的概念，了解無窮小量的運算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；掌握極限的四則運算法則，掌握兩個重要極限，掌握求簡單極限的常用方法；了解函數(shù)連續(xù)性的定義，了解函數(shù)在某點連續(xù)的概念，知道左連續(xù)和右連續(xù)的概念，會判斷函數(shù)在某點的連續(xù)性；了解函數(shù)間斷點的概念，會求函數(shù)的間斷點，會判別函數(shù)間斷點的類型；理解“初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的幾個性質(zhì)

5、。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 理解導(dǎo)數(shù)與微分概念微分用 定義），了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線和法線方程，知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系； 熟記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運算法則； 熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 掌握隱函數(shù)的微分法，取對數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法； 知道一階微分形式的不變性； 了解高階導(dǎo)數(shù)概念，掌握求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的方法。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，會用拉格朗日定理證明簡單的不等式；掌握洛比塔法則，能用它求“ ”、“ ”型不定式極限；掌握用一階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值與極值點包括判別的方法，了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件，知

6、道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系；掌握用二階導(dǎo)數(shù)求曲線凹凸包括判別的方法，會求曲線的拐點；會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線； 掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)00第五章 不定積分 理解原函數(shù)與不定積分概念，了解不定積分的性質(zhì)以及積分與導(dǎo)數(shù)微分的關(guān)系； 熟練掌握積分基本公式和直接積分法； 熟練掌握第一換元積分法和分部積分法； 掌握第二換元積分法。高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)第六章 積分及其應(yīng)用 了解定積分概念定義、幾何意義和定積分的性質(zhì)；了解原函數(shù)存在定理，知道變上限的定積分，會求變上限定積分的導(dǎo)數(shù)；熟練掌握牛頓萊布尼茲公式；掌握定積分的換元積分法和分部積分法；了

7、解無窮積分收斂性概念，會判斷無窮積分的收斂性或計算無窮積分；會用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積直角坐標(biāo)系和繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體體積。 高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)第七章 無窮級數(shù) 了解級數(shù)收斂與發(fā)散概念及其主要性質(zhì)；了解級數(shù)收斂的必要條件；掌握正項級數(shù)收斂性的比值判別法；知道幾何級數(shù)和 級數(shù)收斂的條件；理解冪級數(shù)收斂半徑概念，熟練掌握求收斂半徑的方法；會求收斂區(qū)間。 高等數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)第八章 常微分方程 了解微分方程，階，解特解、通解），線性，初值問題等概念；掌握變量可分離微分方程的解法；熟練掌握一階線性方程的解法；了解特征方程和特征根概念，熟練掌握求二階線性常系數(shù)齊次微分方程通解的特征根法；掌

8、握二階線性常系數(shù)非齊次方程特殊自由項的特解待定系數(shù)法，能求此類方程的通解 高等數(shù)學(xué)期復(fù)習(xí)第一章：函數(shù)第一章：函數(shù) 理解函數(shù)的概念；掌握函數(shù) )(xfy 中符號f ( )的含義；了解函數(shù)的兩要素；會求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會判斷兩個函數(shù)是否相等兩個函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對應(yīng)關(guān)系相同了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性若對任意x，有)()(xfxf則稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱若對任意x，有)()(xfxf則稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱熟練掌握基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形基本初等函數(shù)指以下幾種類型：基本初等函數(shù)指以下幾種類型：cy

9、)(為實數(shù)xy ) 1,0(aaayx) 1,0(logaaxya常數(shù)函數(shù):冪函數(shù)：指數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)：三角函數(shù)：xxxxcot,tan,cos,sin反三角函數(shù)：xxxarctan,arccos,arcsin了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念， 會把一個復(fù)合函數(shù)分解成較簡單的函數(shù)如函數(shù)xy2arctane可以分解uyevuarctan21wv xw 2分解后的函數(shù)前三個都是基本初等函數(shù)， 而第四個函數(shù)是常數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的乘積會列簡單的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí)一、填空題 設(shè) xxxf2) 1(2那么 f x( ) 解： 設(shè) tx1那么 1 tx得 1) 1(2) 1()(22t

10、tttf故 1)(2 xxf函數(shù) yxx124ln()的定義域是 解： 對函數(shù)的第一項， 要求 02 x且 0)2ln(x即 2x且 3x對函數(shù)的第二項，要求 04 x即 4x取公共部分，得函數(shù)定義域為 4,3()3,2(高等數(shù)學(xué)1設(shè) f x( )的定義域為 (,) 則函數(shù) f xfx( )()的圖形關(guān)于對稱 解：設(shè) )()()(xfxfxF則對任意 x有 )()()()()()(xFxfxfxfxfxF即 )(xF是偶函數(shù)， 故圖形關(guān)于 y軸對稱 (,) 高等數(shù)學(xué)1二、單項選擇題下列各對函數(shù)中，（）是相同的 A. f xxg xx( )() ,( )2B. f xxg xx( )ln,( )

11、ln22C. f xxg xx( )ln,( )ln33D. f xxxg xx( ),( )2111解 A, B, D三個選項中的每對函數(shù)的定義域都不同， 而選項C中的函數(shù)定義域相等，且對應(yīng)關(guān)系相同，故選項C正確設(shè)函數(shù) f x( )的定義域為，則函數(shù) f xfx( )()（）對稱的圖形關(guān)于A. xy B. x軸 C. y軸 D.坐標(biāo)原點解： 設(shè) )()()(xfxfxF則對任意 x有 高等數(shù)學(xué)1)()()()()()()()(xFxfxfxfxfxfxfxF即)(xF是奇函數(shù)， 故圖形關(guān)于原點對稱選項D正確3設(shè)函數(shù)f x ( )的定義域是全體實數(shù)， 則函數(shù) )()(xfxf是（） A.單調(diào)減

12、函數(shù)； B.有界函數(shù)； C.偶函數(shù)； D.周期函數(shù) 解： A, B, D三個選項都不一定滿足。 設(shè) )()()(xfxfxF則對任意 x有)()()()()()()()(xFxfxfxfxfxfxfxF即 )(xF是偶函數(shù)， 故選項C正確 高等數(shù)學(xué)1 三、計算題求下列函數(shù)的定義域：) 1ln(4xxy解： 對x4要求 04 x即4x對 ) 1ln( x要求 01x且 0) 1ln(x即 1x且 0 x取公共部分， 得函數(shù)定義域為 4,0()0, 1( 232xy對 232x要求 0322x即 36x得函數(shù)定義域為 36,36 ) 1arcsin( xy 對) 1arcsin( x要求 11 x

13、即 02x得函數(shù)定義域為 0,2知52) 1(2xxxf求 )2(,)1(,)(fxfxf解： 方法一： 設(shè) tx1那么 1 tx得 65) 1(2) 1()(22ttttf即 6)(2xxf由此得222616)1()1(xxxxf262)2(2f方法二： 6) 1(511252) 1(222xxxxxxf將 1x看作新的變量， 得 6)(2 xxf同理 222616)1()1(xxxxf262)2(2f高等數(shù)學(xué)1 高等數(shù)學(xué)1 判斷下列函數(shù)的奇偶性： xxysin533解： 對任意 x有 )()sin53()sin(5)(3)(33xfxxxxxf可知 xxysin533是奇函數(shù) ) 1, 1

14、(11lgxxx解： 對任意 ) 1, 1(x有 )(11lg)11lg(11lg)(1)(1lg)(1xfxxxxxxxxxf可知 xx11lg是奇函數(shù) xy 解： 對任意 x有 )()(xfxxxf可知 xy 是偶函數(shù) 高等數(shù)學(xué)1本章重點：函數(shù)概念及其性質(zhì) 理解函數(shù)的概念，了解決定函數(shù)的要素是定義域和對應(yīng)關(guān)系， 能根據(jù)這兩個要素 判別兩個函數(shù)是否相等。 能熟練地求出函數(shù)的定義域和函數(shù)值。 了解函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、和有界性， 特別是要會判斷函數(shù)的奇偶性。 例1、求下列函數(shù)的定義域（1） 43) 1ln(1xxxy解 函數(shù)的定義域是0430) 1ln(01xxx解得 3421xxx

15、即函數(shù)的定義域是 34x且 2x高等數(shù)學(xué)1（2） 2ln221xxxxy解 分段函數(shù)的定義域是所有定義區(qū)間的并集， 此分段函數(shù)的定義域是 2x或 2x但 xln的定義域是 0 x故綜合起來可知所求函數(shù)的定義域是 0 x例2、 若函數(shù) xxf2sin)2(求 )0(),1(),(fxfxf解 知 xxf2sin)2(即 )22(2sin)2(xxf根據(jù)函數(shù)概念可知)2(2sin)(xxf（即下劃線的部分替換成x） （即下劃線的部分替換成 ） )21(2sin)1(xxfx1)20(2sin)0(f 4sin（即下劃線的部分替換成0） 高等數(shù)學(xué)1規(guī)范以上的做法就是： 設(shè) tx 2那么 2 tx將

16、2 tx代入 xxf2sin)2(中，即有 )2(2sin)(ttf令 xt 則有 )2(2sin)(xxf令 xt1則有 )21(2sin)1(xxf令 0t則有 )20(2sin)0(f 4sin例3、 （1下列函數(shù)對中，哪一對函數(shù)表示的是同一個函數(shù)？A 2ln)(,ln2)(xxgxxfB 12ln)(xxxf) 1ln()2ln()(xxxgC xexxgxexxxfxx)(,)()(2D 1)(,11)(2xxgxxxf解 A,B,D中兩個函數(shù)的定義域都不相同，故它們不是同一函數(shù)， 高等數(shù)學(xué)1C中函數(shù) 2)()(xexxxfx的定義域是 0 x對應(yīng)關(guān)系可化為 )()()(2xgxex

17、xexxxfxx故這兩個函數(shù)是相同的函數(shù)。（2下列函數(shù)中，哪個函數(shù)是奇函數(shù)？A ) 12sin()(xxxfB )1ln()(2xxxfC xexxfx)(D xxxxfsin1)(2解 由奇函數(shù)的定義驗證A,C可知它們都不滿足 )()(xfxfD滿足 )()(xfxf即它為偶函數(shù) 驗證B )1)()1)(ln)1)(ln()(22222xxxxxxxf)()1ln(11ln22xfxxxx故此函數(shù)是奇函數(shù)。高等數(shù)學(xué)12.基本初等函數(shù)了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念， 會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程， 能把一個復(fù)合函數(shù)分解成幾個簡單函數(shù)。 (這在學(xué)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)與微分內(nèi)容時要用到) 如將函數(shù) )1ln(2

18、1cos2xy分解成 uycosvu1wv2swln12 xs高等數(shù)學(xué)1第第2章章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)本章重點：極限的計算了解極限的概念，知道左右極限的概念， 知道函數(shù)在點 0 x處存在極限的充分必要 條件是 )(xf在 0 x處的左右極限存在且相等。 關(guān)于極限的計算，要熟練掌握以下幾種常用方法： （1極限的四則運算法則： 運用時要注意法則的條件是各個部分的極限都存在， 且分母不為0。 當(dāng)所求極限不滿足條件時， 常根據(jù)函數(shù)的具體情況進(jìn)行分解因式 （以消去 零因子）、或無理式的有理化、或三角函數(shù)變換、 或分子分母同時除以 nx（分子分母同 趨于無窮大時） 等變形手段， 以使函數(shù)滿足四則運算法則

19、的條件。 （2兩個重要極限： 熟記 exxxxxx)11 (lim, 1sinlim0要注意這兩個公式自變量的 變化趨勢以及相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)，同時要熟悉它們的變形形式：高等數(shù)學(xué)1exxxxxx10)1 (lim, 11sinlim（3利用無窮小的性質(zhì)計算： 無窮小量是指極限為0 的量，有限個無窮小量之和、積都是無窮小量，有界變量與無窮小量之和還是無窮小量。（4利用函數(shù)的連續(xù)性計算：連續(xù)函數(shù)在一點的極限值等于函數(shù)在該點的函數(shù)值。 （5利用洛必塔法則計算：參看第四章的有關(guān)內(nèi)容。例例1：求下列極限：求下列極限1002872)43() 12() 1(limxxxx解 （1） 分子、分母同除以 100 x

20、那么 1002872)43() 12() 1(limxxxx 1002872)43()12()11 (limxxxx 1002872)43(lim)12(lim)11 (limxxxxxx 1002832高等數(shù)學(xué)1（2） 11cos1lim20 xxx解 首先將分母有理化，然后在利用重要極限計算11cos1lim20 xxx ) 11)(11() 11)(cos1 (lim2220 xxxxx 1)1() 11)(cos1 (lim2220 xxxx ) 11(lim)cos1 (lim2020 xxxxx ) 11(lim2sin2lim20220 xxxxx 1221（3） xxx1sin

21、lim20解 由于 0 x時，有 02x11sinx因而 xx1sin2還是無窮小量，故 01sinlim20 xxx高等數(shù)學(xué)1（4） xxx10)21 (lim解 xxx10)21 (lim 2210)21 (limxxx 2e（5） )ctgsincos(lim220 xxxx解 )ctgsincos(lim220 xxxx xxxx220sincoscoslimxxxx20sin)cos1 (coslimxxxxxx2220sincos1coslim 211211（6） )3(lim22xxxxx解 )3(lim22xxxxx xxxxxxxxxxxxx2222223)3)(3(limx

22、xxxxx2234limxxx11314lim2 2114高等數(shù)學(xué)12、函數(shù)連續(xù)理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念， 它包括三層含義：)(xf在 0 x的一個鄰域內(nèi)有定義； )(xf在 0 x處存在極限； 極限值等于 )(xf在 0 x處的函數(shù)值， 這三點缺一不可。 若函數(shù) )(xf在 0 x至少有一條不滿足上述三條， 則函數(shù)在該點是間斷的， 會求函數(shù)的間斷 點。 了解函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念， 由函數(shù)在一點連續(xù)的定義， 會討論分段函數(shù)的連續(xù)性。 知道連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商分母不為0仍是連續(xù)函數(shù)， 兩個連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍為 連續(xù)函數(shù)， 初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。 知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大最 小

23、值存在定理、零點定理、介值定理）。例2 討論函數(shù) 0sin10001sin)(xxxxxxxxf在 0 x處的連續(xù)性。 高等數(shù)學(xué)1解 )(xf的定義域為 ),(01sinlim)(lim00 xxxfxx1sin1lim)(lim00 xxxfxx由于 )(xf在 0 x點處的左右極限不相等， 故極限不存在， 因此函數(shù) )(xf在 0 x點間斷。 第三章：導(dǎo)數(shù)與微分第三章：導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)1 理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會求曲線的切線和法線；會用定義計算簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。)(xfy 高等數(shù)學(xué)1)(xf在點0 xx處可導(dǎo)是指極限xxfxxfx)()(lim000存在

24、，且該點處的導(dǎo)數(shù)就是這個極限。導(dǎo)數(shù)極限還可寫成00)()(lim0 xxxfxfxx)(xf在點0 xx 處的導(dǎo)數(shù))(0 xf 的幾何意義是曲線)(xfy 上點)(,(00 xfx處的切線斜率曲線在點 )(,(00 xfx處的切線方程為 )()(000 xfxxxfy)(xfy高等數(shù)學(xué)1函數(shù)0 x0 x在點可導(dǎo)，則在點連續(xù)。反之函數(shù) )(xfy 在 0 x點連續(xù)，在 0 x點不一定可導(dǎo)。了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。熟記導(dǎo)數(shù)與微分的基本公式；熟練掌握導(dǎo)數(shù)與微分的四則運算法則。微分四則運算法則與導(dǎo)數(shù)四則運算法則類似vuvudd)(dvuuvvudd)(d)0(dd)(d2vvvuuvv

25、u熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。高等數(shù)學(xué)1掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法，取對數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法。一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時，求導(dǎo)時采用取對數(shù)求導(dǎo)法，如321xxy求 y直接求導(dǎo)比較麻煩，采用取對數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對數(shù)得)2ln(31) 1ln(21lnxxy兩端求導(dǎo)得)2(31) 1(21xxyy整理后便可得)2(682123xxxxxy高等數(shù)學(xué)1若函數(shù)由參數(shù)方程)()(tytx的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式)()(ddttxy了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí)一、填空題一、填空題設(shè) f xxx( ) 245那么f fx( )。解： 42)(xxf故37

26、2445)42(4)42()(22xxxxxff曲線 xysin在 4x處的切線方程是 。 解： xycos22)4(y又有 22)4(y故切線方程為)4(2222xy或 0224824yxyxln()21高等數(shù)學(xué)1設(shè)那么 y ( )0。 解： 122xxy222222) 1() 1(2) 1(4) 1(2 xxxxxy故 2) 0 ( y二、單項選擇題曲線 yxxe在點（）處的切線斜率等于0。 A.( , )0 1B. ( , )1 0C. ( ,)01D. (, )1 0解： xye1令 0 y得 0 x而 1)0(y故選項C正確。 yxsin2高等數(shù)學(xué)1那么 y（）。 A. cosx2B

27、. cosx2C. 22xxcosD. 22xxcos解： 222cos2)(cosxxxxy故選項C正確。 3下列等式中正確的是（）A. 3233xxxxe dd e ()B. 1ddxxx()12C. ln( )x xxdd1D. 2ddx xx()1解：按微分法則進(jìn)行運算得高等數(shù)學(xué)1xxxxxxde3)(de)e (d33323xxxd2)1(d32xxxd1)1(d2xxxd21)1(d3故選項A正確。高等數(shù)學(xué)1三、計算題計算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：設(shè) xxysin22tan求 2dxy 解：由導(dǎo)數(shù)四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2ln2cos2cos2sin2xxxy由此得xxyxd2d

28、)2ln22coscos2(d2sin22yy x( )高等數(shù)學(xué)1xxyyxxyyxyyedd22設(shè)函數(shù)由方程 xyxyyeln確定，求 ddyx 解： 等式兩端對 x求導(dǎo)得 2eyyxyxyyyxyy整理得xxyyxxyyyye22方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端 yyxxyxyxyyyydedd)e (d)(d)e(d右端 2dd)(d)(lndyyxxyxyyxxyyx由此得2dddeddyyxxyxyyyxxyy整理得yy x( )高等數(shù)學(xué)1xxyln1lnlnxxxxy設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程 xtyt221確定，求 ddyx 解： 由參數(shù)求導(dǎo)法 ttxyxytt

29、1221dd求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：3解：xy1 xxy1解：22)1 (1)1 ()1 (xxxxy34)1 (2)1 ()1 (2xxxy 高等數(shù)學(xué)1第第4章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式掌握洛必塔法則，會用它求 “ 00”、“ ”型不定式的極限，以及簡單的“ ”、“ 0”型不定式的極限。 掌握用一階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)增減性的方法；會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。若在區(qū)間),(ba上有0)( xf，那么)(xf在區(qū)間),(ba上單調(diào)增加；若在區(qū)間),(ba上有0)( xf，那么)( xf在區(qū)間 ),(ba上單調(diào)減少。高等數(shù)學(xué)1 了解極值和極值點

30、的概念；熟練掌握求極值的方法；了解可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件；知道極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系。)(xf在點0 xx 滿足0)(0 xf，那么假設(shè))(xf在點0 xx 的左右由正變負(fù)或0)(0 xf），則點0 xx 是)(xf的極大值點；假設(shè)是)(xf 在點0 xx 的左右由負(fù)變正 （或0)(0 xf），則點0 xx )(xf的極小值點。極值點如果可導(dǎo)則一定是駐點；駐點的兩邊導(dǎo)數(shù)如果變號則一定是極值點。了解曲線凹凸的概念；掌握用二階導(dǎo)數(shù)判別曲線凹凸的方法；會求曲線的拐點。若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf，那么 )(xf在區(qū)間 ),(ba上是凹函數(shù)； 若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf，那

31、么 )(xf在區(qū)間 ),(ba上是凸函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)1 會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。假設(shè)axfx)(lim，那么ay 是曲線)(xfy 的水平漸進(jìn)線；假設(shè))(lim0 xfxx，那么0 xx 是曲線)(xfy 的垂直漸進(jìn)線。 熟練掌握求解一些簡單的實際應(yīng)用問題中最大值和最小值的方法，以幾何問題為主。求)(xf在區(qū)間,ba上的最大值的方法是：找出 )(xf的所有駐點，找出 )(xf的所有不可導(dǎo)點， 將所有這些點的函數(shù)值與兩個端點的函數(shù)值一起比較大小，最大者為最大值，相應(yīng)的點為最大值點。求最小值的方法類似。高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí)一、填空題一、填空題函數(shù) yx() 152的單調(diào)增加區(qū)間是。

32、 解： ) 1( 2 xy當(dāng) 1x時 0y故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 ), 1(曲線 yxx32916的凸區(qū)間是。 解： xxy1832)3(6186 xxy當(dāng) 3x時 0 y故函數(shù)的凸區(qū)間是 )3,( 高等數(shù)學(xué)1二、單項選擇題函數(shù) yxx2128在區(qū)間 (,)10 10內(nèi)滿足（）。 A.單調(diào)上升； B.先單調(diào)下降再單調(diào)上升； C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降； D.單調(diào)下降 解： 122 xy令 0 y得 6xy在 6x點的左右有負(fù)變正， 即函數(shù)先單調(diào)下降再單調(diào)上升。故選項B正確 曲線 yxx222()的垂直漸近線是（）。 A. y 2B. y 0C. x 0D. x 2解： 當(dāng) 2x時 y垂直漸進(jìn)線是

33、 2x故選項D正確 高等數(shù)學(xué)13下列等式中正確的是（）A. 3233xxxxe dd e ()B. 1ddxxx()12C.ln( )x xxdd1D.2ddx xx()1解：按微分法則進(jìn)行運算得xxxxxxde3)(de)e (d33323xxxd2)1(d32xxxd1)1(d2xxxd21)1(d3故選項A正確。高等數(shù)學(xué)1三、計算題計算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：設(shè) xxysin22tan求 2dxy 解： 由導(dǎo)數(shù)四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則2ln2cos2cos2sin2xxxy由此得xxyxd2d)2ln22coscos2(d2sin22設(shè)函數(shù) yy x( )由方程 xyxyyeln確定

34、， 求 ddyx 解： 方法一： 等式兩端對 x求導(dǎo)得 2eyyxyxyyyxyy高等數(shù)學(xué)1整理得xxyyxxyyyye22方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得左端yyxxyxyxyyyydedd)e(d)(d)e(d右端2dd)(d)(lndyyxxyxyyxxyyx由此得2dddeddyyxxyxyyyxxyy整理得xxyyxxyyxyyedd22yy x( )高等數(shù)學(xué)1設(shè)函數(shù) 由參數(shù)方程 xtyt221確定， 求 ddyx 解： 由參數(shù)求導(dǎo)法 ttxyxytt1221dd高等數(shù)學(xué)1求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： xxyln解： 1lnlnxxxxyxy1 xxy122)1 (

35、1)1 ()1 (xxxxy解： 34)1 (2)1 ()1 (2xxxy 高等數(shù)學(xué)1第第4章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用章：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 了解拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論；會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。掌握洛必塔法則， 會用它求00型不定式的極限， 以及簡單的 0、 型不定式的極限。 掌握用一階導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)增減性的方法；會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf，那么 )(xf在區(qū)間 ),(ba上單調(diào)增加； 若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf，那么 )(xf在區(qū)間 ),(ba上單調(diào)減少。 了解極值和極值點的概念；熟練掌握求極值的方法；了解可導(dǎo)函數(shù)極值 存在的必要條件；知道極值點與駐

36、點的區(qū)別與聯(lián)系。高等數(shù)學(xué)1)(xf在點0 xx滿足0)(0 xf那么假設(shè))(xf 在點 0 xx 的左右由正變負(fù)或 0)(0 xf）， 則點 0 xx 是 )(xf的極大值點；假設(shè) )(xf在點 0 xx 的左右由負(fù)變正或 0)(0 xf）， 則點 0 xx 是 )(xf的極小值點。極值點如果可導(dǎo)則一定是駐點；駐點的兩邊導(dǎo)數(shù)如果變號則一定是極值點。了解曲線凹凸的概念；掌握用二階導(dǎo)數(shù)判別曲線凹凸的方法；會求曲線的拐點。若在區(qū)間),(ba上有 0)( xf那么)(xf在區(qū)間),(ba上是凹函數(shù)； 若在區(qū)間 ),(ba上有 0)( xf那么)(xf在區(qū)間 ),(ba上是凸函數(shù)。高等數(shù)學(xué)1會求曲線的水

37、平漸近線和垂直漸近線。假設(shè)axfx)(lim那么 ay是曲線 )(xfy 的水平漸進(jìn)線； 假設(shè) )(lim0 xfxx那么 0 xx 是曲線 )(xfy 的垂直漸進(jìn)線 。熟練掌握求解一些簡單的實際應(yīng)用問題中最大值和最小值的方法，求)(xf在區(qū)間,ba上的最大值的方法是： 找出 )(xf的所有駐點， 找出 )(xf的所有不可導(dǎo)點， 將所有這些點的函數(shù)值與兩個端點的函數(shù)值 一起比較大小， 最大者為最大值，相應(yīng)的點為最大值點。求最小值的方法類似高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí)一、填空題 函數(shù) yx() 152的單調(diào)增加區(qū)間是。 解： ) 1(2xy當(dāng) 1x時 。 0 y故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 ), 1(曲

38、線 ), 1(yxx32916的凸區(qū)間是。 解： xxy1832)3(6186 xxy當(dāng) 3x時 0 y故函數(shù)的凸區(qū)間是 )3,()3,(二、單項選擇題 函數(shù) yxx2128在區(qū)間 (,)10 10內(nèi)滿足（）。 A.單調(diào)上升； B.先單調(diào)下降再單調(diào)上升； C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降； D.單調(diào)下降 高等數(shù)學(xué)1解： 122 xy令 0 y得 6xy。 在 6x點的左右有負(fù)變正， 即函數(shù)先單調(diào)下降再單調(diào)上升。故選項B正確曲線 yxx222()的垂直漸近線是（）。 解： 當(dāng) 2x時 y垂直漸進(jìn)線是 2x。故選項D正確 3下列結(jié)論中，（）是正確的。A.函數(shù)的極值點一定是駐點； B. 函數(shù)的駐點一定是極值

39、點；C. 函數(shù)在極值點一定連續(xù)； D. 函數(shù)的極值點不一定可導(dǎo) 解： 函數(shù)的極值點不一定是駐點； 函數(shù)的駐點不一定是極值點； 函數(shù)在極值點 不一定連續(xù)； xy 在 0 x取極小值但不可導(dǎo)， 故選項D正確 高等數(shù)學(xué)1三、計算題求函數(shù) 415623xxxy的單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間，極值點和拐點： 解： ) 1)(5( 3)54( 31512322xxxxxxy令 0 y得 5, 121xx當(dāng) 1x或 5x時， 0 y當(dāng) 51x時， 0 y故題給函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是 ) 1,(和 ),5(單調(diào)減少區(qū)間是 )5, 1(11x是極小值點， 52x是極大值點 126 xy令 0 y得 23x當(dāng) 2x時， 0

40、y當(dāng) 2x時， 0 y故題給函數(shù)的凸區(qū)間是 )2,(， 凹區(qū)間是 ),2()42,2(是拐點 高等數(shù)學(xué)1應(yīng)用題 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為l， 問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時， 圓柱體的體積最大？解： 如下圖， 圓柱體高 h與底半徑 r滿足 l222lrh圓柱體的體積公式為hrV2將 222hlr代入得 hhlV)(22求導(dǎo)得)3()(2(22222hlhlhV令 0V得 lh33并由此解出 lr36即當(dāng)?shù)装霃?lr36高 lh33時， 圓柱體的體積最大。 高等數(shù)學(xué)1求曲線 yx2上的點， 使其到點 A( , )3 0的距離最短。 解： 曲線 yx2上的點到點 A( , )3 0的距離公

41、式為 22)3(yxdd與 2d在同一點取到最大值， 為計算方便求 2d的最大值點， 將 yx2代入得 xxd22)3(求導(dǎo)得1) 3(2)(2xd令 0)(2d得 25x并由此解出 210y即曲線 yx2上的點 )210,25(和點 )210,25(到點 A( , )3 0的距離最短 高等數(shù)學(xué)1關(guān)于積分概念的理解和積分計算問題分析關(guān)于積分概念的理解和積分計算問題分析一、原函數(shù)與不定積分一、原函數(shù)與不定積分已知函數(shù) f x( )在某區(qū)間上有定義， 如果存在函數(shù) F x( )， 使得在該區(qū)間上的任一點處， 都有關(guān)系式 dxxfxdFxfxF)()()()(或 成立， 則稱函數(shù) )(xF是函數(shù) )

42、(xf在該區(qū)間上的一個原函數(shù)。 設(shè)函數(shù) )(xF是函數(shù) )(xf的一個原函數(shù)， 那么 )(xf的全體原函數(shù) CxF)(C為任意常數(shù))， 稱為 f x( )的不定積分。 記為：CxFdxxf)()(性質(zhì)： （1） )()(xfdxxfdxd（2） dxxfdxxfd)()(高等數(shù)學(xué)1二、不定積分的基本公式及運算性質(zhì)二、不定積分的基本公式及運算性質(zhì)dxxgkdxxfkdxxgkxfk)()()()(2121高等數(shù)學(xué)1三、換元積分法三、換元積分法知 CxFdxxf)()(那么 CxFxdxfdxxxf)()()()()(_湊微分法高等數(shù)學(xué)1CtFdtttftdtfdxxftx)()()()()()(

43、)(CxFxt)(1)(1_第二換元積分分法 高等數(shù)學(xué)1)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu_分部積分法 高等數(shù)學(xué)1四、曲邊梯形的面積與定積分四、曲邊梯形的面積與定積分定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)1高等數(shù)學(xué)1連續(xù)函數(shù)原函數(shù)存在定理連續(xù)函數(shù)原函數(shù)存在定理假設(shè) )(xf 在a,b上連續(xù)， 則函數(shù) xadttfx)()(在a,b上可積， 且 )()(xfx ， 即 xadttfx)()(是 )(xf在a,b上的一個原函數(shù)。 422222)(21xxttxtxexedte微積分基本定理設(shè) )(xf在a,b上連續(xù)， )(xF是 )(xf的任一原函數(shù)， 那么 babaxFaFbFdxx

44、f)()()()(高等數(shù)學(xué)1高等數(shù)學(xué)1換元積分法和分部積分法換元積分法和分部積分法1換元積分法設(shè) )(xf在 ,ba上連續(xù)， 且 ,)( txba)(tx在 ,連續(xù)可導(dǎo)，那么 dtttftdtfdxxfba)()()()()(應(yīng)用該方法要注意換積分限的正確性。分被積函數(shù)含：一次根式、二次根式、指數(shù)、對數(shù)的情況講解等。奇偶連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上積分的特征。高等數(shù)學(xué)1高等數(shù)學(xué)12分部積分法設(shè) )(),(xvxu在區(qū)間 ,ba上連續(xù)可導(dǎo)， 那么 bababaxduxvxvxuxdvxu)()()()()()(分被積函數(shù)為： 多項式三角函數(shù)、 多項式指數(shù)、 多項式對數(shù)、 含絕對值 符號等講解。 高等數(shù)學(xué)1

45、第第7章：級數(shù)章：級數(shù)了解無窮級數(shù)的部分和、 收斂和發(fā)散的概念； 知道級數(shù)的主要性質(zhì)， 特別是級數(shù)收斂的必要條件。級數(shù)的主要性質(zhì)：假設(shè) 1nna和 1nnb收斂， 那么 )(1nnnba 收斂， 且 111)(nnnnnnnbaba假設(shè) 1nna收斂， c為常數(shù)， 那么 1nnca收斂， 且 11nnnnacca級數(shù)收斂的必要條件： 假設(shè) 1nna收斂， 那么 0limnxa掌握正項級數(shù)收斂的比值判別法和判別交錯級數(shù)收斂的萊布尼茨判別法。熟悉幾何級數(shù)和p級數(shù)的收斂性：高等數(shù)學(xué)1幾何級數(shù) aqnn0當(dāng) q 1時收斂， 當(dāng) q 1時發(fā)散。 p級數(shù) 1npn當(dāng) p 1時收斂， 當(dāng) p 1時發(fā)散。 了

46、解冪級數(shù)的收斂點、發(fā)散點、收斂區(qū)間和收斂域的概念； 能熟練地求冪級數(shù) 的收斂半徑； 會求冪級數(shù)的收斂區(qū)間和收斂域。 知道函數(shù)的泰勒級數(shù)和馬克勞林級數(shù)， 記住 exxx, sin , cos和 ln()1 x的馬克勞林級數(shù)。另外還應(yīng)熟悉正項級數(shù)的比較判別法， 即設(shè)兩個正項級數(shù) ann和 bnn滿足 ab nnn(, ,)12 那么有 假設(shè) bnn收斂， 那么 ann收斂； 假設(shè) ann發(fā)散， 那么 bnn發(fā)散。 高等數(shù)學(xué)1綜合練習(xí)綜合練習(xí) 一、填空題 當(dāng) q時， 幾何級數(shù) aqnn0收斂 解： 由幾何級數(shù)的性質(zhì)可知， 當(dāng) 1q時， 1nnaq收斂 級數(shù) ()151nnn是級數(shù) 解： 級數(shù) 151

47、nn收斂， 級數(shù) 11nn發(fā)散， 由級數(shù)的性質(zhì)可知 1)151(nnn是發(fā)散級數(shù) 高等數(shù)學(xué)1二、單項選擇題二、單項選擇題下列級數(shù)中，（）收斂 A. 12nnB. 1nnC. ()12nnnnD. ()1nnn解： 由 p級數(shù)的收斂性可知 A, B選項中的級數(shù)發(fā)散； C選項中的級數(shù)一般項 不趨于0， 由收斂的必要條件知其發(fā)散； ()1nnn滿足萊布尼茨判別法的條件， 所以收 斂， 故選項D 級數(shù) 042nn的和是（） A. 83B. 2； C. 32D. 1 高等數(shù)學(xué)1解：由級數(shù)的性質(zhì)可得3841112)41(24200nnnn故選項A正確3假設(shè) f xa xnnn( ) 0那么 an（） A.

48、 fnn( )( )!0B. fxnn( )( )!C. ( ( )!( )fnn0D. 1n!解： nknkknxanxf!)()(由此得 nnanf!)0()(即 !)0()(nfann故選項A正確 三、計算題 高等數(shù)學(xué)1判斷下列級數(shù)的收斂性： 1231nn 1) 1(nnn解： 因為 123，由 p級數(shù)的收斂性可知 1231nn收斂 題給級數(shù)是萊布尼茨型級數(shù)， n1單調(diào)下降且 01limnn由萊布尼茨判別法可知 1) 1(nnn收斂 ()142nnnnnx高等數(shù)學(xué)1求冪級數(shù)的收斂半徑； 解： 設(shè) yx 2原級數(shù)寫為 nnnnyn14) 1(41) 1(4lim414) 1(1limlim11nnnnaannnnnnn由此可知冪級數(shù) nnnnyn14) 1(的收斂半徑為4， 所以題給冪級數(shù)的收斂半徑為2 高等數(shù)學(xué)12.求冪級數(shù) ()xnnnn23的收斂域 解： 由 31) 1( 3lim313 ) 1(1limlim11nnnnaannnnnnn由此可知題給冪級數(shù)的收斂半徑為3， 收斂區(qū)間為 ) 1,5(當(dāng) 5x時， 級數(shù) 1) 1(nnn收斂， 當(dāng) 1x時， 級數(shù) 11nn發(fā)散， 故題給冪級數(shù)的收斂域為 ) 1, 5高等數(shù)學(xué)1第第8