《2.3雙曲線-2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案

1、232雙曲線的幾何性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案2教學(xué)過(guò)程上節(jié)課，我們以焦點(diǎn)在 X軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 -_=1為例，研究了雙曲線的簡(jiǎn)單幾電 H £何性質(zhì)，請(qǐng)完成以下的表格：雙曲線焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上1圖形7定義平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)Fi, F2的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù) 2a(0<2a<FiF2)的 點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，兩個(gè)定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，常數(shù)2a為實(shí)軸長(zhǎng).1標(biāo)準(zhǔn)方程21-' (a>0, b>0)聳£=1 F* % iE(a>0, b>0)實(shí)軸長(zhǎng)2a虛軸長(zhǎng)2b焦距2c基本量的關(guān)系2.2 2a +b =c1離心率幾 范圍何xa 或 x<-a

2、,y Ry為或y<-a,x R頂點(diǎn)坐性標(biāo)質(zhì)(±a, 0)(0, ±a)焦占坐八 、八、L_-標(biāo)(k, 0)(0, ±)漸近線方程y= ±xy= ±x對(duì)稱中心(0, 0)對(duì)稱軸X軸、y軸雙(從此以下本節(jié)課研究后補(bǔ)充 )曲線上 的點(diǎn)到 中心距 離的取 值范圍雙 曲線一 支上的 點(diǎn)到該 側(cè)焦點(diǎn) 的距離 的取值 范圍雙 曲線一 支上的 點(diǎn)到異 側(cè)焦點(diǎn) 的距離 的取值 范圍對(duì)照橢圓，雙曲線還有幾個(gè)最值需要我們研究（先說(shuō)出你的猜想，然后再作判斷或證明）.一、數(shù)學(xué)運(yùn)用【例1】已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，焦距為16,離心率為.，求雙曲線的方

3、程處理建議本題的基本量a，b，c之間的關(guān)系比較清晰，引導(dǎo)學(xué)生首先求出a，b，然后判斷焦點(diǎn)的位置規(guī)范板書(shū)解 根據(jù)題意知2c=16，所以c=8.又e=，所以a= 6，所以b2=c2-a2= 28.又因?yàn)橹行脑谧鴺?biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，所以雙曲線的方程為 一一 =1.題后反思本例是一道簡(jiǎn)單的、典型的由雙曲線的幾何性質(zhì)確定其標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題， 熟練掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本量a，b，c，e間的關(guān)系是解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.變式1已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，焦距為16,漸近線方程為 y=± x, 求雙曲線的方 程.規(guī)范板書(shū)解 因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)雙曲線的方程為-=1，則漸近線方程為y=

4、7; x.因?yàn)闈u近線方程為y=± x，所以=，即a2=3b2.又a2+b2=c2=64，解得故雙曲線的方程為-=1.變式2已知雙曲線的焦距為16,漸近線方程為y=± x，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.規(guī)范板書(shū)解 若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則可設(shè)雙曲線的方程為.- .=1，所以漸近線方程為y=± x.因?yàn)闈u近線方程為y=± X所以=疳，所以b2=3a2又a2+b2=c2=64,所以 一故雙曲線的方程為-_=1.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)雙曲線的方程為 一-=1，則漸近線方程為y=±x.lU n *K因?yàn)闈u近線方程為y=Tx，所以=応，所以a2=3b2又a

5、2+b2=c2=64，解得.-' 故雙曲線的方程為 _-_=1.A 9 HX1綜上，所求雙曲線的方程為 陰-淚±1.變式3求一條漸近線方程為3x+4y=0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)簽萇的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.規(guī)范板書(shū)解 依題可設(shè)雙曲線的方程為 一=入(爐0又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 就,所以二- =入，解得入=，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 77"= 1 .【例2】已知雙曲線-_=1(0<a<b)的半焦距為c,直線I過(guò)(a, 0), (0, b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線啲距離為甞c,求該雙曲線的離心率.處理建議利用點(diǎn)到直線的距離公式尋找關(guān)于a, c的關(guān)系式，即可求得離心率 e.規(guī)范板書(shū)解 因?yàn)橹本€

6、I過(guò)(a, 0), (0, b)兩點(diǎn)，所以直線I的方程為bx+ay-ab= 0.由原點(diǎn)到直線 啲距離為c,得亠一 =c,故3c2(a2+b2)=16a2b2.將 b2=c 2-a2 代入上式，整理得 3c4- 16a2c2+ 16a4= 0.兩邊同除以a4后令=x，得3x2-16x+16=0,解得x= 4或x=.因?yàn)閑=魚(yú)，故e=2或e=,又由條件0<a<b知。= -> ，故e=舍去，所以e=2.題后反思在方程的求解過(guò)程中適當(dāng)換元可以簡(jiǎn)化計(jì)算，另外要關(guān)注題中的約束條件0<a<b.*【例3】已知F1, F2是雙曲線學(xué)y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足/ FjP

7、F2=90 °求厶FjPF2的面積.2處理建議請(qǐng)學(xué)生類(lèi)比橢圓相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行分析（雙曲線的定義結(jié)合余弦定理）.規(guī)范板書(shū)解 設(shè)PFi=m, PF2=n，則彳鬥噸匕嘰 ， 易得mn=2. 故：:=mn= 1.題后反思若把90。換成60。呢？方法不變，同樣應(yīng)用雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得卩紀(jì)'吐產(chǎn)易得mn =4.故口 F ? F =*mn si n60° 百.此類(lèi)問(wèn)題屬雙曲線的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，可類(lèi)比橢圓相關(guān)問(wèn)題來(lái)解決，其解決方法為：在 F1PF2中，應(yīng)用雙曲線的定義及余弦定理（或正弦定理）.二、課堂練習(xí)1. 已知F是雙曲線x2-a2y2=a 2（a> 0）的右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則以 PF為直徑的圓 與圓x2+y2=a2的位置關(guān)系是夕卜切.提示 如圖，設(shè)A為雙曲線的左焦點(diǎn)，B為PF的