同步講義1正弦定理

1、題型探究劉迪思唯探究重點頊習Hi包狂賣茶問第一章解三角形§ 1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理I學習目標:1 .掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法2 .能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題.問題導學知識點一正弦定理 思考1如圖,在RABC中，s,焉，福分別等于什么?答案_ab sin A sin B sin C思考2 在一般的 ABC中,_a_ 工sin A sin B3sin C還成立嗎?答案在一般的 ABC中,asin Absin Bsin C梳理 在任意 ABC中，都有-a-7 = -br- = J,這就是正弦定理.sin A sin B sin C特別

2、提醒：正弦定理的特點(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立.(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式.(3)刻畫規(guī)律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系，可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.知識點二解三角形一般地，把三角形的三個角 A, B, C和它們的對邊a, b, c叫做三角形的元素.已知三角形的 幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.L思考辨析判斷正讀-.1 .對任意 ABC,都有-ar = -br-=cr.()sin A sin B sin C2 .任意給出三角形的三個元素，都能求出其余元素.()3 .在4ABC中，已知a, b, A,則三角形有唯

3、一解.()類型一正弦定理的證明 例1 在鈍角4 ABC中，證明正弦定理.反思與感悟 (1)用正弦函數(shù)定義溝通邊與角內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘這些聯(lián)系可以使你理解更深刻，記 憶更牢固.a b要t布=snp只帝證asin B=bsin A，而2n B, b即A都對應(yīng)CD.初看臼申來之毛，仔細體會還是有跡可循的，通過體會思維的軌跡，可以提高我們的分析解題能力.跟蹤訓練1如圖，銳角 ABC的外接圓O半徑為R,角A, B, C對應(yīng)的邊分別為a, b, c,證明:3sin A= 2R.類型二已知兩角及一邊解三角形例2 在 ABC中，已知 A=30°, B=60°, a=10,解三角形.反思與感

4、悟正弦定理實際上是三個等式：就=七,焉=焉,就=氤,每個等式涉 及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個.(2)因為三角形內(nèi)角和為 180 0,所以已知兩角一定可以求出第三個角.跟蹤訓練2 在4ABC中，已知a=18, B=60°, C=75°,求b的值.類型三 已知兩邊及其中一邊的對角解三角形例3 在 ABC中，已知c= <6, A=45°, a= 2,解三角形.引申探究若把本例中的條件“ A= 45。"改為“ C = 45。"，則角A有幾個值？反思與感悟已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一邊所

5、對的角的正弦值，若這個角不是直角，當已知的角為大邊所對的角時，則能判斷另一邊所對的角為銳 角，當已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷，此時就有兩組解，再分別求解即可；然后由三角 形內(nèi)角和定理求出第三個角；最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊.跟蹤訓練 3 在4ABC 中，若 a = >/2, b=2, A=30°,則 C=.達標檢測檢刑評價達標過關(guān)1 .在 ABC中，一定成立的等式是（）A . asin A= bsin BB . acos A= bcos B C. asin B= bsin A D. acos B = bcos A2 .在 ABC 中，sin A=sin C,則 ABC

6、 是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形3.在 ABC 中，已知 a=8, B = 60 °, C=75°,則 b 等于(A . 4亞B. 4v3)C. 476D. 4.Ll兀 f r -4 .在 ABC 中，a = 3, b= -2, B = W，貝A =5 .在4ABC 中，已知 a=V5, sin C=2sin A,則 c=T規(guī)律與方法1.正弦定理的表示形式:sin A sin B sin C=2R,或 a=ksin A, b= ksin B, c= ksin C(k>0).6 .正弦定理的應(yīng)用范圍(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和其余

7、一角.(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其余兩角.7 .已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.(2)如果已知的角為大邊所對的角，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所 對的角為銳角，由正弦值可求唯一銳角.(3)如果已知的角為小邊所對的角，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求得兩 個角，要分類討論.5A" 33B.53C75D.72.在 ABC 中，a=bsin A,則 4ABC一定是(A .銳角三角形B .直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形3.在 ABC中,sin A cos CA. 30

8、6;B. 45°C. 60°D. 90°4.在 ABC中,若 A= 105°, B= 45°, b=2V2,則c等于(B. 2)C. 2D. .35.在 ABC中,A.-232a=15, b=10, A=60°,則 cos B 等于(b22B. 3兀r 一一 ，、，一.6 .在 ABC中，已知A=-, a = 3, b= 1,則c的值為()3A. 1B. 2C.7S- 17.在ABC中，B = £ BC邊上的高等于1BC,則sin A等于（）433105A. 10B. 10C. 58.在 ABC 中，若 A=60°

9、, B = 45°, BC=342,貝 U AC 等于（）A . 473B. 2mC.V3D.D. 33.'1010,3 吟二、填空題9 .在ABC中，若C=2B,則c的取值范圍為 .b10 . ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,若 cos A = , cos C = ：5, a= 1,則 b=51311 .銳角三角形的內(nèi)角分別是A, B, C,并且A>B.則下列三個不等式中成立的是 . sin A>sin B; cos A<cos B; sin A+sin B>cos A+cos B.三、解答題12 .已知在 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c, c=10, A=45°, C=30°,求 a, b 和 B.13 .在 ABC 中，A=60°, a=4V3, b = 4V2,求 B.四、探究與拓展14 .在 ABC中，內(nèi)角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c, a= x, b=2, B= 45 .A ABC有兩解，則