求值域的10種方法

1、求函數(shù)值域的十種方法-直接法（觀察法）:對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 4 .若 X 2y 4, X 0, y 0，試求 Ig xIg y的最大值。例1 .求函數(shù)y1的值域。【解析】 JX 0 , JX 1二函數(shù)y JX1的值域為1,）?！揪毩?xí)】1.求下列函數(shù)的值域: y 3x 2( 1 X 1)； f(x) 2211 , X 1,0,1,2?！緟⒖即鸢浮?,5:2,):(,1)U(1,): 1,0,3。二 .配方法：適用于二次函數(shù)及能通過換元法等轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的題型。形如2F(X) af * 2(X) bf (X)c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例2 求函數(shù)y2X 4x

2、 2 ( X 1,1)的值域。【解析】X2 4x22 (X 2)26。函數(shù)f(x)X2 4x( f (X) 0)配方得：f(x)（X 2）2 4（X 0,4）利用二次函數(shù)的相關(guān)知識得f（X） 0,4，從而得出：y 0,2。說明：在求解值域（最值）時，遇到分式、根式、對數(shù)式等類型時要注意函數(shù)本身定義域的限制，本題為:f(x) 0。值。利用兩點(4,0)，(0,2)確定一條直線，作出圖象易得:x (0,4), y(0,2),而Igx Igy Ig xyIg y(4 2y) Ig2(y 1)22，y=1 時，Igx Ig y 取最大值 Ig2。【練習(xí)】2.求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域:y x24

3、x 1；4x 1,x3,4;2x 4x 1,x0,1;y x24x 1,x 0,5:x2 2x 41x;站【參考答案】3,):2,1:2,1:3,6;6,73】；40,2三 .反函數(shù)法：反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，求原函數(shù)的值域。適用類型：分子、類型。分母只含有一次項的函數(shù) (即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自變量的函數(shù)2x的值域。x 1分析與解：由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出例5 .求函數(shù)yx，從而便于求出反函數(shù)。2xy反解得x沃，故函數(shù)的值域為(,2)U(2,)。【練習(xí)】1 .求函數(shù)2x 3的值域。3x 2ax bcx dc 0,

4、 x的值域?！緟⒖即鸢浮? 2.(,3)U(3,a a,-)U(-,)。c c四-分離變量法:適用類型1：分子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問題一般也可以利用反函數(shù)法。例6:求函數(shù)解：.y1 x丄上的值域。2x 51-(2x 5)22x 52x 5722x 5722x 51,函數(shù)2x1的值域為 y | y- o2x 52適用類型2:分式且分子、分母中有相似的項，通過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為f (x)(k為常數(shù))的形式。2例7 :求函數(shù)yxx的值域。x 1分析與解：觀察分子、分母中均含有x2 x項，可利用分離變量法；則有2x2 x xX2 X 11x2 x 11/ 2(x 2)

5、不妨令:f(x) (x1312)2 4，g(x)帀(f(x) 0)從而 f(x)34,注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)排除f(x) 0，因為f(X)作為分母 所以g(x)0,4另解: 觀察知道本題中分子較為簡單，可令2 .x x 1 t 2x x，求出t的值域,進而可得到 y的值域?！揪毩?xí)】22x 2x 3砧后72的值域。x x 1【參考答案】1 (2，130五、換元法：對于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮通過換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的熟悉的基本函數(shù)。其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，當(dāng)根式里是一次式時，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元。(t 2)2

6、 5 o例&求函數(shù)y 2x J1 2x的值域。解：令 t J1 2x (t 0)，則 x, y t2 t 123亠8時，ymax 5，無最小值。函數(shù) y 2X4Jf2X的值域為（9 :求函數(shù)y2 J1（X 1）2的值域。解：因（X1)2即（X1)2故可令cos0,，ycos 1J1cos2 sincos 1 A/2sin(sin(J2si n() 14故所求函數(shù)的值域為0,1運。3例10.求函數(shù)y _x_y 4 o 2X 2x的值域。解：原函數(shù)可變形為:可令x= tan，則有2x1 X22 X2 X1sin2而此時tan2xX2sin2 丄12 X2Xcos2cos2時,8-時,8有意義。故所

7、求函數(shù)的值域為例11.求函數(shù)y （siny maxy min1)(cosx 1)， X一 一 的值域。12 2解：y (sin X 1)(cos x 1)sin xcosx sin X cosx 1令sin X cosx t，則 sinxcosx kt2 1)2y -(t2 1) t 12A i2sin X cosxV2sin(x )12 2可得:當(dāng) tymax342y 3云故所求函數(shù)的值域為-342 2例12.求函數(shù)y解：由5 x20，可得| x|故可令x 45 cos0,y 75cos4 TdsinTiOsi n(-) 0時,4ymax時,ymin故所求函數(shù)的值域為:判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成

8、關(guān)于 x的二次方程F（X, y） 0 ；通過方程有實數(shù)根，判別式20,從而求得原函數(shù)的值域，形如ya1X2thX Q2a2Xb2Xai、a2不同時為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求解。例13 :求函數(shù)x： X 3的值域。X2 X 13變形得（y 1）X2 （y21)x解：由y務(wù)X X 11時，此方程無解;1 時， X R , (y 1)24( y 1)(y 3)解得1y ，又 y 1， 1 y 332 函數(shù)yX 3的值域為y |1 yX2 X 111七、函數(shù) 的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。例14 :求函數(shù)y X /2X的值域。解：當(dāng)X增大時，1 2

9、x隨X的增大而減少，隨X的增大而增大,二函數(shù)y,-上是增函數(shù)。2函數(shù)yX J12x的值域為，i。例15.求函數(shù)1 Jx 1的值域。解：原函數(shù)可化為:令 y1y24Xri，顯然討心在1,上為無上界的增函數(shù)所以yy1y2在1,上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時，y y1 y2有最小值 逅，原函數(shù)有最大值 產(chǎn) Q顯然y 0，故原函數(shù)的值域為(0,J2(原理：同增異減)適用類型2 :用于求復(fù)合函數(shù)的值域或最值。2例16:求函數(shù)y log丄(4x X)的值域。2分析與解：由于函數(shù)本身是由一個對數(shù)函數(shù)(外層函數(shù))和二次函數(shù)(內(nèi)層函數(shù))復(fù)合而成，故可令:t(x) x2 4x(t(x) 0)配方得：t(x)

10、(x 2)2 4所以t(x) (0,4)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)知: y 2,)。八、利用有界性：一般用于三角函數(shù)型，即利用sinx 1,1,cosx 1,1等。例17 :求函數(shù)y COSX的值域。sinx 3解：由原函數(shù)式可得：ysin x cos x3y，可化為:Jy2 1si nx(x)3y即 sin x(xJy2二 sin x(x1,1解得：旦4故函數(shù)的值域為注：該題還可以使用數(shù)形結(jié)合法。COSXsin x 3cosx 0，利用直線的斜率解題。sin x 3例18 :求函數(shù)y 1_2-的值域。1 2x解：由1彳解得2x2x 1 2x函數(shù)211 2x的值域為y(1,1)。九、圖像法

11、(數(shù)形結(jié)合法)：其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等,這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例19 :求函數(shù)| x 3| |x 5|的值域。解： y|x3|2x 2 (x|x 5|8( 32x 2 (x3)x 5),5) y |x3|x5|的圖像如圖所示,由圖像知:|x 3| |x 5|的值域為8,)例20.求函數(shù)yJ(7V (齊的值域。-8解：原函數(shù)可化簡得：y |x 2| |x 8|上式可以看成數(shù)軸上點P (x)到定點A ( 2),B(8)間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點 P在線段AB上時，y |x2|x 8| | AB | 10當(dāng)點

12、P在線段AB的延長線或反向延長線上時,|x 2| |x 8| |AB| 10的值域。故所求函數(shù)的值域為：10,例21.求函數(shù) y 7x2 6x 13 Vx2 4x 5解：原函數(shù)可變形為：y 7(x 3)2 (0 2)27(x 2)2 (0 1)2上式可看成x軸上的點P(x,0)到兩定點 A(3,2), B( 2, 1)的距離之和,由圖可知當(dāng)點P為線段與x軸的交點時,ymin |AB| J(3 2)2 (2 1)2743，33故所求函數(shù)的值域為J43,例22.求函數(shù)y Jx2 6x 13(3,2)Jf7x2 4x 5的值域。解：將函數(shù)變形為：y J(x 3)2 (0 2)2 7(x 2)2 (0

13、 1)2上式可看成定點 A (3 , 2)到點P (x, 0)的距離與定點B( 2,1)到點P(x,0)的距離之差。即：y |AP| |BP|ABP，根據(jù)三角由圖可知：(1)當(dāng)點P在x軸上且不是直線 AB與x軸的交點時，如點 P，則構(gòu)成形兩邊之差小于第三邊，有| A p| |BP | |AB | 7(3 2)2 (2 1)2 J26即：726 y 726(2)當(dāng)點P恰好為直線 AB與x軸的交點時，有| AP| | BP | | AB | J26綜上所述，可知函數(shù)的值域為：( 癒冏例23、：求函數(shù)y 3 sinX2 cosxk宜丄，將原分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點求直線

14、的斜率的公式X2Xi函數(shù)視為定點(2，3)到動點(cosx,sinx)的斜率，又知動點(cosx,sin x)滿足單位圓的方程，從而問題就轉(zhuǎn)化為求點(2，3)至U單位圓連線的斜率問題，作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點的連線和圓相切時 取得，從而解得：點評：本題從函數(shù)本身的形式入手，引入直線的斜率,結(jié)合圖形，從而使問題得到巧解。例24 .求函數(shù)yx的值域。分析與解答：令u J廠x, V J廠x，則u0,v0, u2V22, u v y,原問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線u V y與圓u22在直角坐標(biāo)系UOV的第一象限有公共點時，求直線的截距的取值范圍。由圖1知：當(dāng)y經(jīng)過點（0, J2）時,Ym in當(dāng)直線與

15、圓相切時,y maxOD 72oc 罷 2135所以：值域為42十：不等式法：利用基本不等式a b 2質(zhì),a b c 3煩（a,b,c R ），求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添 項和兩邊平方等技巧。例25.求函數(shù)y （Sinx，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x 1時取等號，所以0 y丄)2 (cosx 1)24 的值域。sin xcosx解：原函數(shù)變形為:12cos x2 2 1(sin x cos x) 2 sin x2 2ces x sec x2 2tan x cot x 2Jta n2 xcot2 x當(dāng)且僅當(dāng)tanx cot x即

16、當(dāng)x k 時(k z)，等號成立4故原函數(shù)的值域為：5,)例26.求函數(shù)y 2sin xsin 2x的值域。解: y 4sin xsin xcosx4sin1 xcosxy 16sin4 xcos2 x 8sin2 xsin2 x(2 8(sin2 x sin2 64272sin2 x)2 2sin2x)/33當(dāng)且僅當(dāng)sin2 x2sin 2 x，即當(dāng)sin2x -時，等號成立。3由y264可得:27故原函數(shù)的值域為:多種方法綜合運用:例27.求函數(shù)yJx 2的值域。解：令 t Jx 2(t0)，則t2 1(1)當(dāng) t 0 時，y例28.234求函數(shù)y 1 X 2XX X 的值域。1 2x2 X4解:# c 241 2x xx1 2x2x x31 2x2x4x1X21x21 x2x1 x2%，則1 si n22y cossin 、y -當(dāng) sin當(dāng)sin2 x2 x2 cos1 . -sin2sin17161時,ymax1716Ymin此時tan都存在，故函數(shù)的值域為22,17注：此題先用換元法，后用配方