八年級上數(shù)學(xué)全等三角形典型例題

1、百度文庫讓每個人平等地提升自我全等三角形典型例題:例1：把兩個含有45。角的直角三角板如圖1放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE, AD, AD的延長線交BE于點(diǎn)F.求 證：AF1BE.8練習(xí) 1：如圖，在AABC 中，ZBAC=90° , AB=AC, AE 是過點(diǎn) A 的直線，BDJ_AE, CE±AE. 如果CE=3, BD=7,請你求出DE的長度，例2： ADAC, ZkEBC均是等邊三角形，AE, BD分別與CD, CE交于點(diǎn)M, N, 求證：（1）AE=BD：（2）CM=CN： （3） CMN 為等邊三角形；（4）例3： （10分）已知，A3C中，NB4C = 90。，

2、AB = AC,過A任作一直線/,作8O_L/于O, CE_L/于£ 觀察 三條線段8。，CE, OE之間的數(shù)量關(guān)系.如圖1,當(dāng)/經(jīng)過8C中點(diǎn)時，DE= （1分），此時5。CE（1分）.如圖2,當(dāng)/不與線段BC相交時，BD, CE, OE三者的數(shù)量關(guān)系為,并證明你的結(jié)論.（3分）如圖3,當(dāng)/與線段相交，交點(diǎn)靠近5點(diǎn)時，BD, CE, OE三者的數(shù)量關(guān)系為.證明你的結(jié)論（4分），并畫圖直接寫出交點(diǎn)靠近。點(diǎn)時，BD, CE, OE三者的數(shù)量關(guān)系為.（1分） 練習(xí)1：以直角三角形ABC的兩直角邊AB、BC為一邊，分別向外作等邊三角形AABE和等邊BCF,連結(jié)EF、EC, 試說明：(1) E

3、F=EC； (2) EBXCF練習(xí)2：如圖(1) A、E、F、C在同一直線上，AE=CF,過E、F分別作DE_LAC, BF_LAC若AB=CD, G是EF的中點(diǎn)嗎？請 證明你的結(jié)論。若將/ABC的邊EC經(jīng)AC方向移動變?yōu)閳D(2)時，其余條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？為什么？例四：如圖 1,已知，AC±CE, AC=CE, ZABC=ZCDE=90° ,問 BD=AB+ED 嗎？分析：（1）凡是題中的垂直往往意味著會有一組90。角，得到一組等量關(guān)系;（2）出現(xiàn)3個垂直，往往意味著要運(yùn)用同（等）角的余角相等，得到另一組等量關(guān)系;（3）由全等得到邊相等之后，還要繼續(xù)往下而想，這幾

4、組相等的邊能否組合在一起：如如圖6,除了得到三組對應(yīng)邊相等之外，還可以得至IJ AC=BD。圖6解答過程：得到AABCgCDE之后，可得到BC=DE, AB=CDBC+CD=DE+AB （等式性質(zhì)）即：BD=AB+DE變形1：如圖7,如果ABCgaCDE,請說明AC與CE的關(guān)系°注意:兩條線段的關(guān)系包括：大小關(guān)系（相等，一半，兩倍之類）位置關(guān)系（垂直，平行之類）變形2：如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作FA J«AE交CB的延長線于點(diǎn)F,求證：DE=BF 分析注意圖形中有多個直角，利用同角的余角相等或等式性質(zhì)可到一組銳角相等。變形 3：如圖 8,在aABC

5、中,ZBAC=90° , AB=AC, AE 是過點(diǎn) A 的直線，BD±AE, CE±AE,如果CE=3, BD=7,請你求出DE的長度。分析:說明相等的邊所在的三角形全等，題中 “AB=AC"，發(fā)現(xiàn)：AB 在 RtZkABD 中，AC 在 RtZkCAE 中, 所以嘗試著去找條件，去說明它們所在的兩個Rt全等（如圖9） 于是：已經(jīng)存在了兩組等量關(guān)系：AB=AC,直角=直角， 再由多個垂直利用同角的余角相等，得到第三組等量關(guān)系，解：由題意可得：在RtaABD中，Zl+ZABD=90° （直角三角形的兩個銳角互余）又,: ZBAC=90°

6、; （已知）， 即 N1+NCAE=9（T,. ZABD=ZCAE （等角的余角相等）故在ZABD與ACAE中，ZBDA=ZAEC=90° （垂直定義）ZABD=ZCAE （已求）AB=AC （己知）:.AABDACAE （AAS） AE=BD=7, AD=EC=3 （全等三角形的對應(yīng)邊相等），DE=AE-AD=7-3=4變形 4：在ZiABC 中,ZACB=90°, AC=BC,直線 MN 經(jīng)過點(diǎn) C,且 AD«LMN 于 D, BEJ_MN 于 E。（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖9的位置時，ADCCEB,且DE=AD+BE.你能說出其中的道理嗎？（2）當(dāng)直線M

7、N繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時，DE=AD-BEO說說你的理由。（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時，畤問DE, AD, BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系°叭M/等腰三角形、等邊三角形的全等問題：必備知識:如右圖，由N1=N2,可得NCBE=NDBA；反之，也成立.一例五：已知在aABC中，AB=AC,在4ADE中，AD=AE,且N1=N2,請問BD=CE嗎?分析這類題目的難點(diǎn)在于，需要將本來就存在于同一個三角形中的一組相等的邊, 分別放入兩個三角形中，看成是一組三角形的對應(yīng)邊, ，題目中所給的ABC與4ADE是用來干擾你的思路的，應(yīng)該去想如何把兩組相等的邊聯(lián)系到一起,

8、 加上所求的“BD=CE"，你會發(fā)現(xiàn)BD在4ABD中，CE在aACE中, 這樣一來，"AB=AC”可以理解為：AB在AABD中，AC在4ACE中,“AD=AE”可以理解為：AD在4ABD中，AE在4ACE中,它們是一組對應(yīng)邊;它們是一組對應(yīng)邊:所以只需要說明它們的夾角相等即可。關(guān)鍵還是在于：說明“相等的邊（角）所在的三角形全等”解： V Z1 = Z2 （已知）， Z1 + ZCAD=Z2+ZCAD （等式性質(zhì)）即：ZBAD=ZCAE，在4ABD 與4ACE 中，AB=AC （已知）J ZBAD=ZCAE （已求）< AD=AE，AABDAACE （SAS）BD=CE

9、 （全等三角形的對應(yīng)邊相等）變形 1：如圖 14,已知NBAC=NDAE, Z1=Z2, BD=CE,請說明4ABDgZkACE.嗎？為什么？分析:例三是兩組邊相等，放入一組三角形中，利用SAS說明全等,此題是兩組角相等，那么該如何做呢？變形2：過點(diǎn)A分別作兩個大小不一樣的等邊三角形，連接BD, CE,請說明它們相等。分析:此題實(shí)際上是例三的變形，只不過將等腰三角形換成了等邊三角形，只要你根據(jù)所求問題，把BD看成在4ABD的一邊，CE看成4ACE的一邊,自然就得到了證明的方向。解：AABC與4ADE是等邊三角形，:.AB=AC, AD=AEZBAC= Z DAE=60°，ZBAC+

10、ZCAD= ZDAE+ ZCAD （等式性質(zhì)）即：ZBAD=ZCAE接下來的過程與例三完全一致，不予描述！變形3：如圖1-18,還是剛才的條件，把右側(cè)小等邊三角形的位置稍加變化,，連接BD, CE,請說明它們A ZBAC- ZCAD=ZDAE- ZCAD【僅這步有差別】圖17即：ZBAD=ZBAD=ZCAE:.在4ABD 與4ACE 中,（AB=AC （已知）< ZBAD=ZCAE （已求）AD=AEABDAACE (SAS)BD=CE （全等三角形的對應(yīng)邊相等）圖16,圖18的類型，請同學(xué)們自己去完成例六： 如圖，AABC中，ZC=90% AB=2AC, M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，MNXAB.求證：AN平分N