Updatechen相平面法例題解析相平面法例題超詳細(xì)步驟解析

1、x 0相軌跡奇點(diǎn)類型、穩(wěn)定性與根的分布 關(guān)系xtj7°。冥/不穩(wěn)定焦點(diǎn)S2 S穩(wěn)定焦點(diǎn)X S2X x迸.x穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)x X s1XS2X-X不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)中心點(diǎn)S10S2X相平面法例題解析、線性系統(tǒng)的相平面法例題(一般用于選擇填空) 二階線性系統(tǒng)例已知線性系統(tǒng)的運(yùn)動方程e ae be 0，分別給出系統(tǒng)在相平面中具有(a)穩(wěn)定焦點(diǎn)和 (b)鞍點(diǎn)時，參數(shù)a和b的取值范圍。解：由方程求出兩根為0,2旦。(a)穩(wěn)定焦點(diǎn)01，系統(tǒng)具有一對負(fù)實(shí)部共軛復(fù)根,2a 0、a 4b 且 b 0 ；(b)鞍點(diǎn)，系統(tǒng)具有符號相反的兩個實(shí)極點(diǎn) 例已知某二階線性系統(tǒng)的運(yùn)動方程為r(t) 51(t)時的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分別

2、為b 0。e 2e 4eB0，則系統(tǒng)的奇點(diǎn)類型和當(dāng)輸入0；0。A.C.例 8.6:系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)誤差 進(jìn)行分析。其中,穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)，；B.穩(wěn)定的焦點(diǎn)，穩(wěn)定的焦點(diǎn)，；D .穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)，設(shè)線性系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)(即輸出初始值為 0)，試?yán)孟嗥矫娣▽?) r(t) R1(t),R為常數(shù)：r(t)2)r(t) R t,R為常數(shù)：亠 e(t)J Kc(t) rn s(Ts 1)解：因分析系統(tǒng)穩(wěn)定性故從閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)出發(fā)，由閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)R(s)繪制e當(dāng)然cs K KR(s)。于是描述該系統(tǒng)的運(yùn)動方程為: 訓(xùn) C Kc Kr相平面相軌跡?！咀ⅰ?把相變量變成誤差，分析最終奇點(diǎn)位置表示穩(wěn)態(tài)誤

3、差情況。 C也行。但是若沒要求，一般建議e e相平面。因?yàn)閑 r c，即c r e，所以，T#K2TSKHK，則 C(s)Ts1） r（t） R1（t）, R為常數(shù)：r r 0,于是得出關(guān)于誤差 e的運(yùn)動方程：T# e Ke 0,注：如果線性系統(tǒng)運(yùn)動方程為典型的二階系統(tǒng)運(yùn)動方程，可以不用解析法求相軌跡，而直 接根據(jù)此時特征方程根的分布情況，分析奇（異）4kT的正負(fù)分為1 j j4kT 1 X1 , s,2 三;b）點(diǎn)類型并繪制該區(qū)域的相軌跡。根據(jù)1a) 01。豈21尸。注：負(fù)的根。Te e Ke 0，則e 0，故奇點(diǎn)為（0,0）。2T令e 0且 e 0，代入運(yùn)動方程以下為說明【注】：奇（異）點(diǎn)

4、求法是令e 0且e 0，代入運(yùn)動方程。但是，要注意：只有當(dāng)線性系 統(tǒng)運(yùn)動方程為典型的二階系統(tǒng)運(yùn)動方程時"可直接根據(jù)此時特征方程根的分布情況，分析 奇（異）點(diǎn)類型并繪制該區(qū)域的相軌跡，即此時必須求奇點(diǎn)。對比】；若線性系統(tǒng)運(yùn)動方程非典型，此時可用解析法求相軌跡， 也適用于非線性系統(tǒng)相平面分析。【特別對比】實(shí)際上，對于上面的運(yùn)動方程T# e Ke的分布情況，分析奇（異）點(diǎn)類型并繪制該區(qū)域的相軌跡，這樣很簡單。但是，如果你想e Ke-4，則分離變量并積分得e（e Ke）de T 如*本來可以求出e e之間的相軌跡滿足的方程，但是這里K, T不知為何值，因此即使得到e e之間的相軌跡方程，也還

5、是不會畫圖?！咎貏e對比】以上為說明奇（異）點(diǎn):關(guān)于這一點(diǎn)請看下面【特別 而不需求奇點(diǎn)。這一結(jié)論0我們直接根據(jù)此時特征方程根用解析法求相軌跡也可以。根據(jù)斜率方程dide初始值:因此，在e定的焦點(diǎn)，e（0）r（0）c（0） R 1（t）0 R 即e（0）r（0）C（0）0 0 0 ，,e平面作相軌跡。如圖可見，系統(tǒng)穩(wěn)定（當(dāng)01時奇（異）點(diǎn)（0,0）為穩(wěn);當(dāng)r（t）為階躍信號時穩(wěn)態(tài)誤差為0。1時奇（異）點(diǎn)為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)）2)r(t)t, R為常數(shù)：當(dāng)t0， r R，r 0。代入（1）式,所以，設(shè)x根據(jù)1Te e KeRe 一 (e xKTX X Kx4kT的正負(fù)分為RR）。貝UK0 （注，可按照上面的

6、畫圖了）。奇點(diǎn)仍為（0,0）。（注意：不是前面的典型二階系統(tǒng)形式了）a) 01，3,22T3,22T。注：負(fù)的根。初始值：x（0）X（0）c(0)RK,即（Re(0) - r(0)K姮*XdlR,R）。如圖。K即在e7繪制e e平面的 e平面系統(tǒng)的奇點(diǎn)為同理可見系統(tǒng)穩(wěn)定。但是，要分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，需要相軌跡（只要坐標(biāo)平移把x X的奇點(diǎn)移到（R,0）即可）。K（旦,0）。由圖可見，系統(tǒng)在斜坡輸入信號作用下，穩(wěn)態(tài)誤差為K總結(jié)：? 相平面法分析時關(guān)鍵先求二階線性系統(tǒng)運(yùn)動方程及初始值:? 線性系統(tǒng)相軌跡和奇點(diǎn)類別取決于系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上的分布情況;? 線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的位置和相軌跡初始值位置則取決于輸

7、入信號的形式。二、非線性系統(tǒng)的相平面法例題（一般填空或計(jì)算）： 要求：1. 正確求出非線性系統(tǒng)在每個線性區(qū)的相軌跡方程，也就是 e e（或c C）之間 的關(guān)系方程；會畫相軌跡（模型中是給具體數(shù)的）。關(guān)鍵要確定開關(guān)線方程。2. 探如果發(fā)生自持振蕩，會計(jì)算振幅和周期。【注】：非線性系統(tǒng)的 相平面法一般應(yīng)：1）按照信號流向與傳輸關(guān)系。線性部分產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)關(guān)系，非線性部分形成不同分區(qū)。連在一 起就形成了不同線性分區(qū)對應(yīng)的運(yùn)動方程，即含有C或者e的運(yùn)動方程。2） 探根據(jù)不同線性分區(qū)對應(yīng)的運(yùn)動方程的條件方程確定開關(guān)線方程。開關(guān)線方程確定 很關(guān)鍵。3） 探根據(jù)不同線性分區(qū)對應(yīng)的運(yùn)動方程，利用解析法（分離變量積分

8、法或者消去 t法）不同線性分區(qū)對應(yīng)的相軌跡方程，即C C和e e之間關(guān)系；4）根據(jù)不同分區(qū)的初始值繪制出 相軌跡，并求出穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)、以及 自持振蕩的周期 和振幅等。特別指出：如果非線性系統(tǒng)的某個線性分區(qū)對應(yīng)的運(yùn)動方程同典型的二階系統(tǒng)運(yùn)動方程， 也可以不用解析法，而根據(jù)此時特征方程根的分布情況，直接分析奇（異）點(diǎn)類型并繪制 該區(qū)域的相軌跡。例2：具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)。r T +問題1.用相平面法分析系統(tǒng)在輸入r(t) = 4.1( t)時的運(yùn)動情況。冋題2.如果發(fā)生自持振蕩，求自持振蕩的周期和振幅。解：問題1： 1)設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，死區(qū)特性的表達(dá)式：x 0, |

9、e| 2x e 2, e 2x e 2,e22) 線性部分：芻S，則運(yùn)動方程為:3) 繪制e e平面相軌跡圖。因?yàn)閑ere, c r e x re 0，當(dāng)10, r 0, r 0。代入，則各區(qū)的運(yùn)動方程e 2 e, e e 2，e 由于非線性特性有3個分區(qū)，相平面e e分為3個線性區(qū)。c re。（1）|e| 2e 22代入則IIIIII【注】當(dāng)相平面選好后，輸入代入后，最后代入非線性特性；否則先代非線性特 性后代輸入，則需要同時寫多個非線性的運(yùn)動方程 。4)系統(tǒng)開關(guān)線：e 2。5)由題意知初始條件e(0)r(0) c(0)4 ,電。)«(°)C(°)O在區(qū)，則從初

10、始值出發(fā)繪制相軌跡：【注】：用解析法中的斜率法求：上課時按照此方法求相軌跡方程:II區(qū)：e e-2 0么辦？-用解析法求根軌跡根據(jù)斜率方程de(不是標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)運(yùn)動方程的形式，不能直接根據(jù)根的分布)。de)e斗，則分離變量并積分得e：（2 e）de Ie(e 2)2 e24區(qū)相軌跡是以圓心(2,0)(也是該區(qū)的奇點(diǎn)，不用求)為中心的圓，與 e 2交于 A (2, -2)0，ee 2則e e之間的相軌跡方程為結(jié)論：II 右開關(guān)線I 區(qū): eIII 區(qū)：e常數(shù) 2，水平線，與左開關(guān)線e 2交于B (-2, -2)根據(jù)斜率方程0 (不是標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)運(yùn)動方程的形式-用解析法求根軌跡) 魚e e 2 d

11、e ee2 (2 e)de，則分離變量并積分得(注意新的初始值 B (-2, -2)(e 2)2 e24結(jié)論：III區(qū)相軌跡是以圓心(-2,0)(也是該區(qū)的奇點(diǎn)，不用求)為中心的圓。 以此例推，出現(xiàn)了一個封閉橢圓，在非線性系統(tǒng)中稱為極限環(huán)。整圖可見，奇則e e之間的相軌跡方程為點(diǎn)（0, 0）可看成中心點(diǎn)。問題2:若相平面中出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)一一對應(yīng)著非線性的自持振蕩 問題：自持振蕩的周期怎么算呢？幅值怎么算呢 ？如圖：這是個橢圓,1）周期：TII 區(qū)：tcA這是因?yàn)?I 區(qū)：tAD4(tCA tAD )21月4嚴(yán) e2 (e 01de:帚,de，4 J4 (e 2)2 2)2022）振幅一一代

12、表此時的位移，橫坐標(biāo)。這是因?yàn)?，對于整個非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)是（ 的位移就是振幅，因此是 C點(diǎn)的橫坐標(biāo)4。例3:具有繼電器特性的非線性系統(tǒng)分析4 e J4 （e 2）2，注意，上在圖中為負(fù)的。de 12也就是此時與橫軸的交點(diǎn)位置大小即 C點(diǎn)的0，0 ）。對于該點(diǎn)，最大2006-B （15分）非線性控制系統(tǒng)如圖。問題1:設(shè)r 0，繪制起點(diǎn)在Go 2，c。問題2:計(jì)算相軌跡旋轉(zhuǎn)一周所需時間。c相軌跡圖。(10 分)解：問題1（10分）:2）線性部分：舄Tx 1cJI0 12 s1(5分)0,2,2,|e|e1）非線性環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)表達(dá)式：x2所以描述線性部分的運(yùn)動方程為:s|e|e3）繪制c c平面相軌跡。

13、 則各區(qū)的運(yùn)動方程cc4）開關(guān)線方程：c 10,2,2,r c，111|c|c令 r 0 , e c，III注意：條件方程也要改成IIIc的。5）由已知條件，起點(diǎn)e 2，£0，（2,0）從II區(qū)開始，下面繪制相軌跡：【注】：用解析法中消去參變量時間t的方法求相軌跡方程：上課時按照此方法 求的，以下同。當(dāng)然如果用斜率法求相軌跡方程也可以。不過，這個例子e為常 數(shù)，消去參變量時間t的方法更適合。n區(qū)：e 2，積分得e 2t £ 2t ;再積分得e t上兩式聯(lián)立消去中間變量，則e 0.25申0.25弟c。C24（c 2），可見相軌跡為開口向左的拋物線，且在右開關(guān)線e 1處的交點(diǎn)為

14、e01=1 ,由10.25C22，得C01I區(qū)：e 0,積分得C C012 ;可見，相軌跡為平行橫軸的直線且在左開關(guān)線處的交點(diǎn)為Co2 =-1 ,m區(qū)：C 2積分得C 2t C02 2tC2C0 t22 ;0.25薩 2 (即2，故交點(diǎn)為（1,-2）。再積分得C林C012t 1（因?yàn)榭v坐標(biāo)不變-2，而橫坐標(biāo)雖時間變化）； 制22 -（-1,-2）2 ;再積分得C t2楓C02 t2 2t 1;兩式聯(lián)立消去中間變量，則C 0.25年0.25C02 C02 0.25C2 2，（即C24（c 2）可見相軌跡為開口向右的拋物線。且在開關(guān)線處的交點(diǎn)（-1,2）。以此類推，求得如圖的極限環(huán)：圖中可見整個非

15、線 性系統(tǒng)的奇點(diǎn)（0，0）可看成中心點(diǎn)。注意：每個區(qū)的初始值是不同的。每個區(qū)的初始值的求法就是根據(jù)上一個區(qū)的區(qū) 域根軌跡方程可以求出進(jìn)入下一區(qū)的初始值，以此一個個區(qū)經(jīng)過后，會變成一 個連續(xù)的曲線軌跡一一非線性系統(tǒng)的相軌跡。1t C01問題2:運(yùn)動一周所需時間為1 1T 4( Adcqde)1 14( 2 74(2 c)dede) 6(因?yàn)?II 區(qū)e 0.25*2 2,則j4（2 C）e，注意，e在圖中為負(fù)的。） 注意：并不是所有開關(guān)線都是垂直于橫軸的， 界條件。例4 : 2008年 非線性控制系統(tǒng)如下圖所示。開關(guān)線關(guān)鍵要看各個線性區(qū)域的邊圖中 r(t) 2 1(t)。1、以e e為相變量，寫

16、出相軌跡分區(qū)運(yùn)動方程（8分）；2、 若M=0.5，畫出起始于e（0） 0、巾。）0的相軌跡（4分）;3、利用相軌跡計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差及超調(diào)量（3分）。解：1. 1）非線性特性:M，c 0M，c 0 c e b (1)2）線性部分：注意：線性部分關(guān)鍵是產(chǎn)生 性的輸出產(chǎn)生關(guān)系。r、 r c b即運(yùn)動方程為c式（2）中代入非線性特性，于是cc的運(yùn)動方程，但是更關(guān)鍵的是，此運(yùn)動方程必須能與非線性特3）繪制以c c平面的相軌跡。 則c因?yàn)?r（t） 2 1（t），貝U因此,c cc 2e r c代入式（1）中，則b r 00 (2)c r c M cc r c M cM=0.5，則各區(qū)的運(yùn)動方程:各區(qū)的運(yùn)動方程:M，c 0M ,c 0I區(qū)II區(qū)1.52.5o，c 0 o，c 00I區(qū)II區(qū)4）開關(guān)線方程：c2.繪制相軌跡：注意：運(yùn)動方程 的分布繪制根軌跡。怎么辦？-用解析法求根軌跡。起點(diǎn)為（0，0）在I區(qū)。I區(qū)：dijU，分離變量并積分得dc c則（c 1.5）2 c21.52，可見相軌跡以奇點(diǎn)不求也可以）的圓。與開關(guān)線c 0交于II 區(qū):dc不是標(biāo)準(zhǔn)線性系統(tǒng)運(yùn)動方程的形式，不能