八年級數(shù)學(xué)競賽題：等腰三角形

1、1八年級數(shù)學(xué)競賽題：等腰三角形兩邊(角)相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是一類特殊三角形，具有以下豐富 的性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等：等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高、中線、頂角的平分線互相重合：特別地，等邊三角形的各邊相等、各角都為60° .等腰三角形的性質(zhì)為角度的計(jì)算、線段相等、直線位置關(guān)系的證明等問題提供了新的理 論依據(jù).熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論:問題解決例1已知等腰三角形A8C中，AB=AC, D為BC邊上一點(diǎn)、,連結(jié)AD,若4ACD和4ABD 都是等腰三角形，則NC的度數(shù)是.例2 如圖，在ABC 中，。在 AC 上，E 在 AB 上，且 AB=AC BC=BD,

2、AD=DE=BE, 則NA的度數(shù)為（）.A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°例3 如圖，在 ABC中，己知NA=9(T , AB=AC,。為AC中點(diǎn)，AEJ_8。于E,延長 AE 交 BC 于 F.求證：NADB=/CDF.2例4 如圖，在ABC中，AC=BC, ZACB=90° ,。是AC上一點(diǎn)，AE_L5。交6。的延長 線于E,且AE=18O.求證：3。是NA8C的角平分線.例5操作：如圖，A3C是正三角形，BOC是頂角N8OC=12(T的等腰三角形，以。為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交A& AC邊于

3、M、N兩點(diǎn)，連結(jié)MM圖圖圖圖1 .等腰三角形的一個(gè)外角為100,，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為.2 .如圖，在ABC 中，點(diǎn)。是 BC 上一點(diǎn)，ZBAD=80° , AB=AD=DC,則NC=上4°F H BB DC（第3題）（第4題）5.如圖，P、。是ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，J 于度.BP QC（第5題）1 BP=PQ=QC=AP=AQ,則 N8AC 的大小等（第2題）3.如圖，AOB是一鋼架，且NAO5=1（T ,為使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管 EF、FG、GH，添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管根.4.如圖，在ABC 中，/8AC=120&

4、#176;于。，且 AB+8D=OC,那NC 的度數(shù)是 .6 . 一如圖，在下列三角形中， 是（）.A.8. ©©A力AABCBC圖圖7 .如圖，ABC 中，AB=AC,A. -a B. -aC238.在等腰AABC 中，AB=AC. 分，則這個(gè)等腰三角形的底邊若A8=AC,則能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的C. ® D. ©©ABC BC圖圖AE=AD. NBAD=a ,則NEOC=（）.1c 2.-aD一a43一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長分成15和12兩個(gè)部 氏為（）.A. 78. Il C. 7 或 11D. 7 或 109.如圖

5、，在A3。中,A. 60. B. 45.NACB=90° , AC=AE, BC=BF,則 NECE=(C. 30. D.不確定（第7出（第9題）（第10題）10.如圖，在ABC中，/B=2/C,則AC與2A8之間的關(guān)系是（）.A. AC>2AB B. AC=2AB C. ACAB D. AC<2AB11 .如圖，在R/ABC中，ZC=9O° , AC=4, BC=3,以 ABC的一邊為邊畫等腰三角形, 使它的第三個(gè)頂點(diǎn)在 ABC的其他邊上.請?jiān)趫D、圖、圖中分別畫出一個(gè)符合條件 的等腰三角形，且三個(gè)圖形中的等腰三角形各不相同，并在圖中標(biāo)明所畫等腰三角形的腰長 （

6、不要求尺規(guī)作圖）.12 .如圖，ABC中，AC=BC, NAC8=90° ,將 ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0° <a<90° ）,得到山C,連結(jié)581,設(shè)3c交AB于。，A山分別交A3、AC于E, F.（1）在圖中不再添加任何線段的情況下，請你找出一對全等三角形，并加以證明（4ABC 烏A山C除外）（2）當(dāng)B8/。是等腰三角形時(shí)，求。.13 .已知町ZU8C 中，AC=BC, ZC=90° ,。為 AB 邊的中點(diǎn)，ZEDF=90° ,將NEOF 繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC CB （或它們的延長線）于E、£當(dāng)NEOF繞

7、。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到。EL4C于E時(shí)（如圖），易證S“ehS4c以=1跣，當(dāng)NEO/繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到。上和 2AC不垂直時(shí)，在圖和圖這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立?若成立，請給予證明：若不 成立，Sadef、Sacef、SaAbc.又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，不需證明.（第13題）14.如圖，在AA8C 中，AB=BC,在 BC上取點(diǎn)時(shí)，在MC上取點(diǎn)M使MN=NA,若N8AM二/NAC,則 NMAC二15 .有一個(gè)等腰三角形紙片，若能從一個(gè)底角的頂點(diǎn)出發(fā)，將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片， 則原等腰三角形紙片的頂角為度.16 .已知ABC的某兩個(gè)內(nèi)角的比是4： 7, Ji AB=AC, 8O_LAC于BE

8、平分NABC交 AC于E,則/E8Q的大小是.1（第14題）17.如圖，A4 88'分別是NE48、NO3C的平分線，若則N8AC的度數(shù)為18 .在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A （3, -3）, P是y軸上一點(diǎn)，則使zMOP為等腰三角形 的點(diǎn)尸共有（）個(gè).A. 2 B. 3 C. 4 D. 519.如圖，在aABC中，已知AC=8C, ZACB=90° ,。為AB的中點(diǎn)，E、尸分別為AC、 BC 上一點(diǎn)，且 EDLDF, EM1AB 于 M,FN工AB 于 N,下列結(jié)論：DE=DF；CE+CF=AC； S四邊彩cedf=Saa底:EM+FN=LaB.其中正確的有（）.22A.

9、B. C. D.®®20 .如圖，在等腰用ZkABC中，A。為斜邊上的高，以。為端點(diǎn)任作兩條互相垂直的射線 與兩腰相交于樂F,連結(jié)EF與月。相交于G,則NAEO與NAGF的關(guān)系為（）.A. ZAED>ZAGFC. ZAED<ZAGFB. ZAED=ZAGFD.不能確定（第19題）（第20題）21 .如圖，已知四邊形A8C。中，AC平分NBA。，DC=BC,求NAOC+NA8C的值.22 .如圖，AE. AD AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA,若/DAE=a ,求a 的值.（第21跑）23 . 一個(gè)三角形可被剖分成兩個(gè)等腰三角形，原三角形的一個(gè)內(nèi)角為36。，求原三角形最 大內(nèi)角的所有可能值.24 .已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段同側(cè)作ACO和8CE,且 CA=CD, CB