不等式的證明

1、全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質學案考點專題匯編(附詳解)不等式的證明、基礎知識1. 基本不等式定理1：如果a, b R,那么a求 M ； 證明：當a，b M時,+ b22ab,當且僅當a= b時，等號成立.a + b .(2)定理2：如果a, b0,那么一廠Vab，當且僅當a= b時，等號成立,即兩個正數(shù)的算術平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均.(3)定理3：如果a, b, c R+,那么a+ ；+ C abc,當且僅當a= b= c時,等號成立.2. 比較法(1) 作差法的依據(jù)是：a b0? ab.A(2) 作商法：若B0,欲證AB,只需證1.3. 綜合法與分析法(1)綜合法：一般地，從已知

2、條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質等, 經過一系列的推理、論證而得出命題成立.(2)分析法：從要證的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義，公理或已證明的定理，性質等),從而得出要證的命題成立.考點一比較法證明不等式11x 2+x+2典例已知函數(shù)f(x) =，M為不等式f(x)v 2的解集.|a+ b|v|1 + ab|.全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質學案考點專題匯編（附詳解）12x, x 2,1 1解(1)f(x)= 1, 2 x g當 x 1 時，由 f(x)2,得一2x 1;1 1當2 x2時，f(x)1 時，由 f(x)2,得 2x2,解得

3、x 1.所以 f(x)2 的解集 M = x 1x 1.（2）證明：由（1）知，當 a, b創(chuàng)時，一1a 1, 1b 1,2 2從而(a+ b) (1 + ab)2 2=(a 2=P (P 1)x + q(q 1)y +2pqxy因為 p+ q= 1,所以 p 1 = q, q 1 = p.所以(px+ qy)2 (px2 + qy2)=pq(x2 + y 2xy)= p q(x y)2. 1)(1 b2) 0.因此 |a+ b| |1 + ab|.專題訓練1. 當 p, q 都是正數(shù)且 p+ q= 1 時，求證：（px+ qy）2px2 + qy2.解：(px+ qy)2 (px2 + qy

4、2)2222c,22、=p X + q y + 2pqxy (px + qy )全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質學案考點專題匯編(附詳解)因為P, q為正數(shù)，所以一Pq(x y)2w0,所以(px+ qy)20, b0 時，aabb (ab) 2 aabL_但嘗 竽-b丿,當ab0時,b1, 0,闔 1,a a b倫當ba0時,。貸1, 丁1,a + b.aabb (ab) 丁 考點二綜合法證明不等式典例(優(yōu)質試題 全國卷n )已知a0, b0, a3+ b3= 2.證明:55(1)(a + b)(a + b) 4；(2)a + b 4.33223(2).(a + b) = a + 3a b + 3a

5、b + b3(a + b)=2 + 3ab(a + b) w 2 +4(a + b)3(a+ b3=2 + (a + b)38,因此 a+ bcd，求證：a+b譏 + d.證明：因為(W+ 血)2= a+b+ ab, (&+ /d)2 = c+d+ /cd.由題設 a+ b= c+ d, abcd 得(/a + /b) (a/C+寸d).因此 y/a+y/byjc+麗.2. (優(yōu)質試題 湖北八校聯(lián)考)已知不等式|x|+ |x 3|0, y0, nx+y+ m= 0,求證：x+y16xy.解：(1)由 |x| + X 3|x + 6,j0x3, 或$x+ x 3x+ 613x+ 6得廠3,jx

6、0,或*:x+ 3 XVX+ 6,解得1x0, y0,$+y)9x + y)= 10+ y+Y10+ 2/yx 9x= 16,當且僅當x= y,即x=吉，尸4時取等號,1 1匚+ y 16,即 x+ y16xy.考點三 分析法證明不等式典例(優(yōu)質試題 長春質檢)設不等式|x+ 1| x 1|1.2 x 1,解(1)由已知，令 f(x) = |x+ 1 |x 1|H 2x, 1x1,L 2, x 1 ,由f(x)|2，得一1x1，即 A= x| 1x1,只需證 |1 abc|ab c|,即證 1 + a2b2c2a2b2 + c2,即證 1 a2b2c2(1 a2b2),2 2 2即證(1 a

7、b)(1 c)0,由 a, b, c 3，得一1ab1, c 0 恒成立.h abcl綜上，I|1.jabc I解題技法分析法證明不等式應注意的問題(1)注意依據(jù)是不等式的基本性質、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理 論.(2)注意從要證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式.(3) 注意恰當?shù)赜煤梅赐品枴?？”或“要證明”“只需證明”“即證明” 等詞語.專題訓練1 .已知 abc,且 a+b+ c= 0,求證：寸b2 acbc 且 a+ b+ c= 0,知 a0, c0.全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質學案考點專題匯編（附詳解）只需證 b2 ac3a2.

8、2 2a+b+ c= 0,.只需證b +a(a+ b)0,即證(a b)(2a + b)0,即證(a b)(a c)0.abc,. a b0, a c0,(a b)(a c)0 顯然成立,故原不等式成立.2.已知函數(shù) f(x)=|x + 1|.(1)求不等式f(x) f(a) f( b).解：(1)由題意，|x+ 1|2x + 1| 1, 當x 1時,不等式可化為一X 1 2x 2,解得x 1 ；1 當一1 x 2時,不等式可化為X+ 1 2時,不等式可化為X+ 1 1.綜上，M = x|x 1.(2)證明：因為 f(a) f( b) = |a+ 1| | b+ 1| f(a) f( b),只

9、需證 |ab+ 1|a + b|,即證 |ab+ 1f2 |a+ b|2,即證 a b + 2ab + 1 a + 2ab + b ,即證 a2b2 a2 b2 + 1 0,即證(a 1)(b 1) 0.因為a, b創(chuàng)，所以a2 1, b2 1,所以(a2 1)(b21) 0成立，所以原不等式成立.課時跟蹤檢測1. 已知 ABC的三邊a, b, c的倒數(shù)成等差數(shù)列，試用分析法證明：/ B 為銳角.證明：要證/B為銳角，只需證cos B0,所以只需證a2 + c2 b20,即 a2 + c2b2，因為 a2+ c22ac,所以只需證2acb2,由已知得2ac= b(a+ c).所以只需證b(a

10、+ c)b2，即a+ cb,顯然成立.所以/B為銳角.2. 若 a0, b0,且a+ b=-(1) 求a3+ b3的最小值；(2) 是否存在a, b,使得2a+ 3b= 6?并說明理由. 1 1 2解: (1)由低二a+ b/Ob，得ab2,僅當a= b=/2時等號成立.故a3+ b32WV472,僅當a=時等號成立.所以a3+ b3的最小值為4邁.由 知，2a+ 3b 2yJ6jab4/3.由于4/36,從而不存在a, b,使得2a+ 3b=6.3. (優(yōu)質試題 南寧模擬)(1)解不等式|x+1|+|x+ 3|4;若a, b滿足(1)中不等式，求證：2|a b|v|ab + 2a+ 2b|.

11、解：當 XV 3 時，X+1I+X+ 3匸一X 1 X 3= 2x-4 4,所以4VXV3;當一3 XV 1 時，|x + 1|+|x+ 3|= X 1 + x+ 3= 24 恒成立,所以一3 1 時，|x+1|+ X + 3| = X +1 + X+ 3 = 2x+ 44,解得 xv0,所以一K XV0.綜上，不等式|x+1|+|x+ 3|4的解集為x| 4VXV0.(2)證明：因為 4(a b)2 (ab + 2a+ 2b)22222=(a b + 4a b+ 4ab + 16ab)=ab(b + 4)(a + 4)0,2 2所以 4(a b) v(ab + 2a+ 2b),所以 2|a

12、b|v|ab + 2a + 2b|.4. (優(yōu)質試題 武昌調研)設函數(shù)f(x) = X 2|+ 2x 3,記f(x) 1的解集為M.(1)求 M;當 X M 時，求證：xf(x)2 x2f(x) 0.jx 1, x2， 解：由已知，得f(x)=il3x 5, x2.當 x 2 時，由 f(x) = X K - 1,解得x 0,此時x2 時，由 f(x) = 3x 5 1,解得x 3,顯然不成立.故 f(x) 1 的解集為 M = xx 0.14.(2)證明：當X刑時，f(x) = x 1,于是 xf(x)2 x2f(x) = x(x 1)2 x2(x 1)= X2 + x=令 g(x) = (

13、x 2 + 4,則函數(shù)g(x)在(一X, 0上是增函數(shù),故 xf(x)2 x2f(x) 0.5. (優(yōu)質試題 西安質檢)已知函數(shù)f(x)= |2x 1| + |x+ 1|.(1)解不等式f(x)3;23記函數(shù)g(x) = f(x)+x+1|的值域為M，若t M，求證：t2+ 1+ 3t.r 3x, x 1 ,丨 1解：依題意，得 f(x) = 2 X, 1x2，|x 1,W 3? L 3x 3J-心1,2-x 3x- l3x 3,解得K x 1,即不等式f(x)w 3的解集為x| K x |2x 1 2x 2|= 3,1當且僅當(2x 1)(2x + 2) 0,即一Kx2時取等號,Q99t2+

14、 1 3t 5x+ 9, x2.作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示. 八 3t+1 3(t 3卩+ 12t 創(chuàng)，一 3 0, t2+ 10,2(t3it+1L 0,2 + 1 3 + 3t.6. (優(yōu)質試題 長春質檢)已知函數(shù)f(x)= |2x 3|+ |3x 6|.(1)求f(x)2的解集；若f(x)的最小值為T,正數(shù)a,1b 滿足 a+ b= 2,求證：T.解：(1)f(x) = |2x 3|+ |3x 6|=I SJ I41 13 zji ft 25口 11、 由圖象可知，f(x)2的解集為(5, 5丿.(2)證明：由圖象可知f(x)的最小值為1,12,Va + VB/a+ b由基本不等式可

15、知7=7當且僅當a= b時，“=”成立，即+托=1= T.7. 已知函數(shù) f(x)=|2x 1| |x+ 2|.(1)求不等式f(x)0的解集M ；當 a, b M 時，求證：3|a + b|ab + 9|.r 532 x, xV 2，131解：(1)f(x) = 3x 2， 2= x235當 XV 2時，f(x)v0，即 2x0,無解;31111當一2= x2時，f(x)v0，即一3x 20)，且 f(x 2)0 的解集為3, 1.求m的值;1 1 1(2)若 a, b, c都是正實數(shù)，且 a+2b+ sCm,求證：a + 2b+ 3c9.解：法一：依題意知f(x2)= m-|x + 2|0,即X+ 2| m? m 2x0的解集為3, 1,所以一 3, 1為方程f(x 2)= 0的兩根，即一 3, 1為方程m X+ 2|= 0的兩根,所以 PT一3+ 2|= 0,解得 m= 1.Im | 1 + 2| = 0,1 1 1(2)證明：由可知a + 2b+ 3C= 1(a, b, c0),(111)fa 2b、心