《空間向量的夾角》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、空間向量的夾角教學(xué)設(shè)計(jì)第二冊(cè)（下） “空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算”第三課時(shí)蔣敏慧一、教材分析空間1、教材的地位與作用 本節(jié)課是在已完成了 “平面向量的數(shù)量積公式、夾角公式，空間向量的坐標(biāo)表示， 向量的數(shù)量積”等內(nèi)容的教學(xué)以后進(jìn)行的，是空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的第 3 課時(shí)，是空間 向量在立體幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 這節(jié)課的教學(xué)， 為向量在數(shù)學(xué)和物理上的綜合運(yùn)用奠定了基 礎(chǔ)。按照傳統(tǒng)方法解立體幾何題， 需要有較強(qiáng)的空間想象能力、 演繹推理能力以及作圖能力， 學(xué)生往往由于這些能力的不足造成解題困難。 用向量法處理立體幾何問(wèn)題， 把對(duì)空間圖形的 研究從“定性推理”轉(zhuǎn)化為“定量計(jì)算” ，有助于學(xué)生克服空間想象力的障礙而

2、順利解題。2、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：空間向量夾角公式及其坐標(biāo)表示法；選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線的夾角。 難點(diǎn)： 兩條異面直線的夾角與兩個(gè)空間向量的夾角之間的區(qū)別； 恰當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐 標(biāo)系，并正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。關(guān)鍵：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系， 正確寫出空間向量的坐標(biāo)， 將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生掌握空間向量的夾角公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用； 提高學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髢蓷l異面直線夾角的技能；2、能力目標(biāo)： 在與平面向量的夾角公式的比較基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比轉(zhuǎn)化的能力； 通過(guò)對(duì)空間幾何圖形的探究， 使學(xué)生會(huì)恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系； 通過(guò)空間向量的 坐

3、標(biāo)表示法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷對(duì)空間圖形的研究從“定性推理”到“定量計(jì)算”的轉(zhuǎn)化過(guò) 程，從而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。3、情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和求知欲， 充分體 通過(guò)自主探究與合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)置， 現(xiàn)學(xué)生的主體地位； 通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想和方法的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力， 培養(yǎng)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的習(xí)慣和熱情。三、教學(xué)方法與手段1、教學(xué)方法：采用啟發(fā)式講解、互動(dòng)式討論、研究式探索、反饋式評(píng)價(jià)等授課方式， 充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，營(yíng)造生動(dòng)活潑的課堂教學(xué)氛圍。2、學(xué)習(xí)方法：自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流。3、教學(xué)手段：借助多媒體計(jì)算機(jī)（幾何畫板、實(shí)物投影、幻燈片等）輔助教學(xué)，

4、增強(qiáng) 課堂教學(xué)的生動(dòng)性與直觀性。四、教學(xué)程序教學(xué)程序教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)說(shuō)明1、創(chuàng)設(shè)七情境情境：如圖復(fù)習(xí)學(xué)生活動(dòng)一一復(fù)習(xí)回顧1已知正方體 ABCD-A 1B1C1D1UJUU UUJ-AA1，求證DF1與BE垂直。4中，AE D1F11、學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的問(wèn)題1:若將E點(diǎn)在AA1，A1B1上移動(dòng)，若移至UUJU LULUA1B1的E1處，如圖2,又如何確定 DF1與BE1的F1兩個(gè)非零向量CiEAB(xi, yi, Zi),b (X2, y2, Z2),b a bX1X2%丫2Z1Z20leZbTAiED1_FCi2、由教師提出當(dāng)點(diǎn) E在AAi、A1B1上移動(dòng)時(shí),JJJ JUULBE與DF1還是否垂

5、直？E移至E1處為例，ULUU UJLUDF1與BE1的3、以將點(diǎn)我們又將如何確定夾角？從而很自然的引出本節(jié)課的課 題，拉開了本節(jié)課教學(xué)的序幕。2、建構(gòu)數(shù)學(xué)（學(xué)生歸納，教師總結(jié)）學(xué)生活動(dòng)一一類比推廣類比：對(duì)于平面內(nèi)兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題我們通過(guò)與平面向量的夾角公式的是如何求得的？問(wèn)題2:是否可以將平面內(nèi)求得兩個(gè)向量的夾角公式推廣到空間？公式的形式有何變化?類比，讓學(xué)生猜想空間兩個(gè)非零向量的夾角公式，然后推廣到空間。希望提高學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化能力。教學(xué)程序教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)說(shuō)明rr對(duì)于空間兩個(gè)非零向量 a (xi, yi ,Zi), b (x2, y2, z2)，其夾角為0,仍有aCOS 卄b，用坐標(biāo)表示為C

6、OSbxix2 yy? zizjyi zi 尺(將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)將空間形式的研究，從“定性”量”計(jì)算的轉(zhuǎn)化。提高學(xué)生的類比轉(zhuǎn)化能力，讓學(xué)生感受知識(shí)貨的的過(guò)程)求下列兩個(gè)向量夾角的余弦值(2, 3j3),b(i,0,0),r(i)au(2)a(1,i,i)b ( i,0,i)。3、知識(shí)運(yùn)用(學(xué)生活動(dòng)為主，教師活動(dòng)為輔)例i .如圖，在正方體 ABCD-A iBiCiDi中，BiEi DiFi iAiBi，求 BEi 與 DFi 所成角的4余弦值。分析:FiAiB|D*=DiFiEiABCi1CiEiAoz22推理到“定學(xué)生活動(dòng)一一及時(shí)鞏固為了及時(shí)鞏固空間向量的夾角 公式，我設(shè)

7、計(jì)了以下兩道直接利用 公式求空間向量夾角的練習(xí)題， 達(dá)到學(xué)以致用，熟能生巧的目的。學(xué)生活動(dòng)思維)一方面解決課題引入中的問(wèn)題，一方面體現(xiàn)空間向量的應(yīng)用。學(xué)生可能想到的解法有：方法一：傳統(tǒng)的幾何法-平移法， 即將兩條異面直線平移直至構(gòu)成 一個(gè)三角形，利用余弦定理而求 得；方法二：向量法由學(xué)生建立空間直角坐標(biāo)系， 求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得對(duì)應(yīng) 向量的坐標(biāo)，代入公式，由于學(xué)生 所取向量的方向不一樣，求出1517例題講解(發(fā)散性LULT UUUT COS DFi,BEi而有的學(xué)生求出的是LULT muo COS FD,BEi1517突破難點(diǎn)學(xué)生提問(wèn)：此題所求的是兩條異面直線的夾 角，而不是兩個(gè)空間向量

8、的夾角，兩者有什么區(qū) 別？我們又如何轉(zhuǎn)化為本題的結(jié)論？由師生共同比較兩條異面直線 的夾角與兩個(gè)空間向量的夾角的 區(qū)別，以突破本節(jié)課的難點(diǎn)之一。問(wèn)題3:利用空間向量解決立體幾何中求夾角問(wèn) 題的一般步驟是什么？(1) 當(dāng)?shù)臉?gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求得所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的 坐標(biāo)；(2) 用坐標(biāo)表示空間向量及其數(shù)量積；(3) 代入空間向量夾角公式的坐標(biāo)形式；(4) 提煉共性，轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論。使學(xué)生養(yǎng)成對(duì)新的一種方法及 時(shí)總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使得學(xué)生達(dá)到 系統(tǒng)掌握的目的。同時(shí)將利用向量 求兩條異面直線的夾角的方法推 廣到一般。為學(xué)生解決異面直線夾 角問(wèn)題提供新視角。如圖，在正方體 ABCD-A iBiCiDi中，M是AB

9、的中點(diǎn)，求對(duì)角線 DBi與CM所成角的余弦Di值。AiC1BidU<1.學(xué)生活動(dòng)一一掌握理解讓學(xué)生分組討論，尋求解決某個(gè) 問(wèn)題的多種途徑，再對(duì)各種途徑進(jìn) 行比較。歸納學(xué)生的方法， 何法、向量法兩類。 議學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中，大致可分為幾 通過(guò)本題，建選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ沟梦覀兘忸}過(guò)程變得更簡(jiǎn) 單。倡導(dǎo)一種自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、 合作交流的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式。例2.沿著正方體 ABCD-A iBiCiDi相鄰的三個(gè)面的對(duì)角線去截正方體，得到一個(gè)新的幾何體Bi-AiBCi,已知E、F分別是AiB和BCi的中點(diǎn),求異面直線BiE與AiF的夾角。DiDC1AiB-C |=>AB問(wèn)題4:如何正確放置幾何

10、體，可以構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系?C1學(xué)生活動(dòng)一一例題講解從我們較為熟悉的正方體中截 出一個(gè)我們不熟悉的新的幾何體， 如何在一個(gè)新的幾何體中研究?jī)?條異面直線所成的角？由于學(xué)生初次接觸到這樣一個(gè) 幾何體，學(xué)生開始時(shí)可能會(huì)感到有 些茫然不知所措，所以教師將通過(guò) 提出問(wèn)題4將學(xué)生帶入到一個(gè)建 系的過(guò)程中去，建系是本節(jié)課的一 個(gè)難點(diǎn)，同時(shí)也是關(guān)鍵。優(yōu)化方案法二:通過(guò)學(xué)生探究幾何圖形，并思考 討論，由學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)生可能 給出以下兩種方法： 方法一：補(bǔ)形一一將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 正方體中的兩條異面直線的夾角問(wèn)題。方法二：翻轉(zhuǎn)一一將圖形翻轉(zhuǎn)， 以Bi為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo) 系。課后思考：是否有其它建系的方

11、 法。建系之后，將求空間內(nèi)相關(guān)點(diǎn)的 坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)。 求得對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)， 式，求得uuu UUULCOS BiE,AiF再代入夾角公uuur uLur COS EBi,AiF至或6旦6加強(qiáng)學(xué)生對(duì)兩個(gè)空間向量的夾角 與兩條異面直線的夾角的概念的 理解。突破了本節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)，提 高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能 力。必做題:1.設(shè)點(diǎn)0(0,0, 0), A(0 , 1 , 1), B(1 , 1, 1),C（0，0，1），的值為異面直線OA與BC夾角為0,則BA.60B. 120( )C. -60 ° D. 2401B1C1D1，請(qǐng)用不同的方法題 組 練 習(xí)2.已知正方體A

12、BCD-AC1沿著正方體 ABCD-A 1B1C1D1對(duì)角面A1BCD1去截正方體，得到一個(gè)新的幾何體D1CC1-A1BB1, E、F 分別是 A1D1，D1C1 的中點(diǎn)， 求異面直線BE與A1F所成的角。學(xué)生活動(dòng)一一鞏固提高我設(shè)計(jì)了兩組不同層次的練習(xí) 題：必做題和選做題，讓學(xué)生自主 選擇，然后由學(xué)生利用實(shí)物投影展 示自己的解答，并分析解題思路。 設(shè)計(jì)意圖：1、鼓勵(lì)學(xué)生選擇不同的解題 方法，提倡創(chuàng)新思維；2、通過(guò)學(xué)生對(duì)題目和方法的 自主選擇，為不學(xué)生習(xí)能力的學(xué)生 提供廣闊的空間；3、充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位， 發(fā)展學(xué)生的個(gè)性；4、培養(yǎng)學(xué)生善于分析、樂(lè)于 探索的鉆研精神。反饋評(píng)價(jià)：對(duì)學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐

13、過(guò)程中勇 于思考、積極探索的學(xué)習(xí)態(tài)度給予 充分的肯定；同時(shí)指出學(xué)生在練習(xí)中值得注意的以下幾個(gè)問(wèn)題：1、將求空間點(diǎn)的坐標(biāo)正確轉(zhuǎn) 化為平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)；2、理解兩個(gè)空間向量的夾角 與兩條異面直線夾角的區(qū)別；3、選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ髪A角， 理解向量法不是求夾角的唯一方 法，也不一定是最佳途徑。4、歸納總結(jié)（師生共同歸納）（1）空間向量的夾角公式及其坐標(biāo)表示；（2）構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確寫出點(diǎn) 的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；（3）兩條異面直線的夾角與兩個(gè)向量的夾角之 間的區(qū)別；（4）掌握類比猜想的方法，將平面問(wèn)題向空間 問(wèn)題推廣，將幾何問(wèn)題向代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化，提高類 比轉(zhuǎn)化的能力。學(xué)生活動(dòng)一一歸納總結(jié)通過(guò)對(duì)本節(jié)課

14、的知識(shí)和方法的 回顧，讓學(xué)生自己歸納小結(jié)本節(jié)課 的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能 力。5鞏固作業(yè)感受理解：1. 如圖，在正方 ABCD-A iBiCiDi中，M、N分 別是AAi、BBi的中點(diǎn)，求直線CM與DiN所 成角的正弦值。思考運(yùn)用：2.已知正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)棱與底面 垂直）ABC-A iBiCi中，底面邊長(zhǎng)AB=2，求異面鞏 固 作 業(yè)題1圖C1題2圖學(xué)生活動(dòng)一一理解掌握從三個(gè)不同的層次布置鞏固作 業(yè)，通過(guò)自主解決作業(yè)中的問(wèn)題， 既讓學(xué)生體會(huì)到收獲成功的喜悅， 又能在層層提高的作業(yè)中讓學(xué)生 檢查自己對(duì)知識(shí)和方法的掌握程 度，并且培養(yǎng)學(xué)生課后復(fù)習(xí)，課前 預(yù)習(xí)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。探究拓展

15、：3.利用空間向量是否可以求直線與 平面所成的角，二面角，點(diǎn)到平面的距離, 兩異面直線之間的距離等其它空間夾角與距離問(wèn)題？五、教學(xué)評(píng)價(jià)1、教學(xué)過(guò)程中以問(wèn)題為載體，學(xué)生活動(dòng)為主線，重視為學(xué)生提供了探究問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的活動(dòng)空間；空間向量是教材新增加的內(nèi)容，它將復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，具有相對(duì)的優(yōu)越性，但不是絕對(duì)的，實(shí)際應(yīng)用時(shí)要恰當(dāng)選擇，合理運(yùn)用。2、注意觀察學(xué)生在教學(xué)各環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)，看其是否能做到積極的探究和主動(dòng)地與他人合作交流。對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程的良好表現(xiàn)及時(shí)鼓勵(lì)； 通過(guò)對(duì)學(xué)生解題方法的收集與評(píng)價(jià)， 及 時(shí)肯定學(xué)生表現(xiàn)出的創(chuàng)新能力和解決問(wèn)題的能力；通過(guò)設(shè)置不同層次的變式訓(xùn)練、 題組

16、練習(xí)和課后作業(yè)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)效果進(jìn)行及時(shí)檢驗(yàn)，為補(bǔ)償性教學(xué)提供依據(jù)。設(shè)計(jì)說(shuō)明一、對(duì)教材的地位與作用的說(shuō)明本節(jié)課是空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 的第三課時(shí)，有平面向量的數(shù)量積公式及其變形公式 的知識(shí)基礎(chǔ)，是在學(xué)習(xí)了空間向量的坐標(biāo)表示，以及空間向量的數(shù)量積以后，對(duì)空間向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用，為后面向量在物理和數(shù)學(xué)上的綜合運(yùn)用奠定了基礎(chǔ)。 按照傳統(tǒng)方法解立體幾何題， 需要有較強(qiáng)的空間想象能力、 邏輯推理能力以及作圖能力， 學(xué)生往往由于這些能力的不足造 成解題困難。 用向量處理立體幾何問(wèn)題， 可使學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題。 尤其 是向量用坐標(biāo)表示后，可使空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)地代數(shù)化，把空間形式的研究從“定性”

17、 推理轉(zhuǎn)化 為“定量”計(jì)算，有助于學(xué)生克服空間想象力的障礙而順利解題。二、對(duì)教法與學(xué)法的說(shuō)明 本節(jié)課的目的是希望學(xué)生通過(guò)對(duì)空間立體幾何圖形的探究， 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象 能力， 通過(guò)與平面向量的類比運(yùn)算， 和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算將幾何問(wèn)題代數(shù)化， 培養(yǎng)學(xué)生的 類比轉(zhuǎn)化思想， 從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、 解決問(wèn)題的能力。 所以在教學(xué)方法和教學(xué)手段的選 擇上，遵循“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的原則，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，倡導(dǎo)學(xué)生“自 主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流”的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，力求體現(xiàn)教師的設(shè)計(jì)者、組織者、幫助 者的地位，突出學(xué)生的主體地位。三、對(duì)教學(xué)流程的說(shuō)明本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程以問(wèn)題為載體， 學(xué)生活動(dòng)為主線， 有意識(shí)地留給學(xué)生適度的思維空間， 讓學(xué)生在思考與實(shí)踐中探索、類比、猜想、發(fā)現(xiàn)并獲得新知，主要流程是：通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境， 以師生的活動(dòng)為主線，將構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用鞏固提高總結(jié)作業(yè)等環(huán)節(jié)串聯(lián)一 體。利用多媒體輔助教學(xué)，為學(xué)生營(yíng)造一種良好的探究、 創(chuàng)新的學(xué)習(xí)氛圍， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的 興趣， 體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。 并從不同的角度訓(xùn)練不同層次的學(xué)生的學(xué)習(xí)， 使傳授知識(shí)和培 養(yǎng)能力融為一體。四、對(duì)評(píng)價(jià)的說(shuō)明1、教學(xué)過(guò)程中以問(wèn)題為載體，學(xué)生活動(dòng)為主線，為學(xué)生提供了探究問(wèn)題、分析問(wèn)題、 解決問(wèn)題的活動(dòng)空間； 空間向量作為新增加的內(nèi)容， 將