列一元二次方程,分式方程組解應(yīng)用題

1、列一元二次方程，分式方程，分式方程組解應(yīng)用題27一、內(nèi)容綜述:1.列方程解應(yīng)用題的一般步驟是:(1)審題：透徹理解題意，明確哪些是已知數(shù)，哪些是未知數(shù)，以及它們之間的關(guān)系。(2)設(shè)未知數(shù)：根據(jù)題意，可直接設(shè)未知數(shù)，也可間接設(shè)未知數(shù)，未知數(shù)必須寫明單位，語言敘述要完整。(3)列代數(shù)式和方程：根據(jù)題中給出的條件，用含有所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，利用等量關(guān)系，列出方程或方程組，一般列方程的個數(shù)與所設(shè)未知數(shù)的個數(shù)相同。(4)解方程或方程組應(yīng)注意解題技巧，準(zhǔn)確地求出方程或方程組的解。(5 )檢驗答案：解應(yīng)用題要檢驗有無增根，又要檢驗是否符合題意，最后做出符合題目要求的答案。在這些步驟中，審題是解

2、題的基礎(chǔ)，列方程是解題的關(guān)鍵。在列方程時，要注意列出的方程必須滿足以下三個條件:(1)方程兩邊表示同類量(2 )方程兩邊的同類量的單位一樣(3)方程兩邊的數(shù)值相等二、例題分析:例1 .某人用1000元人民幣購買一年期的甲種債券，到期后兌換人民幣并將所得利息購買一年期的乙種債券,若乙種債券的年利率比甲種債券低 2個百分點，到期后某人的乙種債券可兌換人民幣108元，求甲種債券的年利率。分析：利息=本金X利率X存期本息=本金+利息甲種債券利息X (1 +乙種債券利率)X存期=108解：設(shè)甲種債券的年利率為x，依題意，甲種債券的利息為1000x元，乙種債券的年利率為x-0.02，則1000x(1+x-

3、0.02)=108整理得：250x 2+245x-27=0(10x-1)(25x+27)=0X1=0.1x2=- 25収2=- 25不合題意，舍去/. x=0.1=10%答：甲種債券的年利率為 10%。A度，那么這個月這戶只需交 10元用電費，如果超例2 .某電廠規(guī)定該廠家屬區(qū)的每戶居民如果一個月的用電量不超過過A度，則這個月除了仍要交 10元用電費外，超過部分還要按每度 100元交費。（1）該廠某戶居民2月份用電90度，超過了規(guī)定的 A度，則超過部分應(yīng)該交電費多少元（用 A表示）（2 ）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況:月份用電量（度）交電費總數(shù)（元）3月11 80 254月45

4、10根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定 A度為多少?分析：本題是原于現(xiàn)實生活中的經(jīng)濟問題，情景熟悉，但問題有障礙，不能直接看出問題的答案，必須認(rèn)真閱讀和思考。問題（1）較簡單，超過部分應(yīng)交電費100 （90-A）元，問題（2），從表中看到，45VAV80，根據(jù)3月份用電80度，交電費25元，可列出方程:10+ 100 (80-A)=25整理得，A2-80A+1500=0解得：A1=50A2=30但A2=30<45，不合題意舍去 A=50解略。例3.某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯

5、衫每降價1元，商場平均每天可多售出 2件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價多少元?解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價x元,由題意可得:(40-x)(20+2x)=1200整理，得 x2-30x+200=0X1=10x2=20根據(jù)題意x=10不合題意，舍去所以x=20答：每件襯衫應(yīng)降價 20元。說明：此題是一元二次方程在市場經(jīng)濟中的應(yīng)用，利用已知條件，列方程，解方程都比較簡單，但得出方程的根后，考查它們是否符合題意是個難點，已知中有盡快減少庫存”的要求，而每降低1元，則平均每天可售出2件，所以x=10，不合題意舍去。例4 .某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊共8700元，乙、丙兩

6、隊合做10天完成，廠家需付乙、丙兩隊共9500元，甲、丙兩隊合做 5天完成全部工程的 3，廠家需付甲、丙兩隊共5500元。(1)求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超過15天完成全部工程，問可由哪隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由。分析：此題是用數(shù)學(xué)知識解決簡單的生產(chǎn)問題，這也是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的。第一問是工程問題，工程問題中有三個量：工作總量，工作效率，工作時間，這三個量之間的關(guān)系是：工作總量=工作效率口作時間。第二問只要求出每天應(yīng)各付甲、乙、丙各隊多少錢，并由第一問求出甲、乙、丙各隊單獨完成這項工作所需的天數(shù)，即可求出在規(guī)定時間內(nèi)單獨完成此項工程哪個隊花錢最少

7、。解：(1)設(shè)甲隊單獨做x天完成，乙隊單獨做 y天完成，丙隊單獨做 z天完成由題意可得:i_ + _ =P占10112 1X S 3 5解這個方程組得:廠15z = 30經(jīng)檢驗此解是所列方程組的解答：甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做15天完成，丙隊單獨做 30天完成。(2)設(shè)付給甲隊一天a元，付給乙隊一天 b元，付給丙隊一天c元。=370010(b + c>s9J0O5(a + Q = RM解這個方程組得fl = S00c = 300又規(guī)定時間要求不超過15天不能用丙隊,/ 10a=8000 （元）15b=9750 （元）答：由甲隊單獨完成此工程花錢最少。說明：數(shù)學(xué)教學(xué)新大綱中要求能夠運

8、用所學(xué)知識解決簡單的實際問題 ”。能夠解決實際問題是指：能夠解決帶有實際意義和相關(guān)學(xué)科中的數(shù)學(xué)問題，以及解決生產(chǎn)和日常生活中的實際問題；能夠使用數(shù)學(xué)語言表達問題，展開交流，形成用數(shù)學(xué)解決實際問題的意識，以上四題就反映了新大綱要求，這種形式的問題頻繁出現(xiàn)在近兩年的中考試卷中，這應(yīng)引起我們的重視。例5. A、B兩地間的路程為15千米，早晨6時整，甲從A地出發(fā)步行前往B地，20分鐘后，乙從B地出發(fā)騎車前往 A地，乙到達A地后停留40分鐘，然后騎車按原路原速返回，結(jié)果甲、乙兩人同時到達B地，如果乙騎車比甲步行每小時多走10千米，問幾點鐘甲，乙兩人同時到達B地?分析：此題是行程問題，行程問題中有三個基本

9、量：速度、時間、路程，并且路程=速度刈寸間。此題若間接設(shè)元，設(shè)甲步行每小時走x千米，乙騎自行車每小時走（X+10）千米，又已知 AB兩地路程為15千米,則可利用甲乙所用的時間找等量關(guān)系。解：設(shè)甲步行每小時走 X千米,則乙騎車每小時走（X+10）千米3015由題意得：X + 10 +1= X整理得：x2+25x-150=0解這個方程得：X1=5,X2=-30經(jīng)檢驗：Xi=5,X2=-30都是所列方程的根,但x=-30不合題意舍去x=5這時155=3 （小時）答：上午9點整，甲、乙兩人同時到達B地。分析：解決此題的關(guān)鍵是：從C地到B地，甲比乙多走半小時。出發(fā)時，甲每小時比乙多行5千米，因例6.甲、

10、乙兩車同時從 A地出發(fā)，經(jīng)過C地去B地，已知C、E相距180千米,此，乙經(jīng)過C地比甲晚半小時，為趕上甲，乙從 C地將車速每小時增加 10千米，結(jié)果兩車同時到達 B,求兩車出發(fā)時速度?解：設(shè)乙速為x千米/時。則甲速為（X+5）千米/時180 180整理得：x2+15x-1750=0解這個方程：Xi=35, X2=-5O經(jīng)檢驗：Xi=35,X2=-50都是所列方程的根但x=-50不合題意，舍去x=35x+5=35+5=40答：甲出發(fā)時速度為 40千米/時，乙出發(fā)時速度為 35千米/時。71 =例7.甲乙兩人分別從 A、B兩地同時同向出發(fā)，甲經(jīng)過B地后，再經(jīng)過3小時12分在C地追上乙，這時兩人所走的

11、路求A、B兩地的距離?程和為36千米，而A、C兩地的距離等于乙走 5小時的路程,分析：此題間接設(shè)元比較方便，如可設(shè)甲、乙兩人速度分別為X千米/時，y千米/時，可以利用 兩人所走的路程和為 36千米”及甲從A到C所用的時間與乙從 B到C所用的時間相等”這兩個等量關(guān)系建立方程組。解：設(shè)甲速為X千米/時，乙速為y千米/時1616則AC長5y千米，BC長為5X千米（3小時12分=5小時）AB長（5y- 5 X）千米= 3616 X,1首孫歹* 16i+ =由題意可得X 5/解這個方程組得：卜1二4卜廠玄經(jīng)檢驗它們都是所列方程組的解又 u廠玄不合題意舍去15x55y- 5 x=5X4-5=4答：A、B兩

12、地長4千米。中考題列方程解應(yīng)用題考點1會列出方程或方程組解應(yīng)用題。2通過列方程解應(yīng)用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。考題評析1（廣州市）某商場銷售商品收入款，3月份為 25萬元， 5月份為 36 萬元，該商場這兩個月銷售商品收入款平均每月增長的百分率是多少？考點：一元二次方程的應(yīng)用評析：答案：20%首先用3月份收入款及增長率（X）表示5月份的收入款根據(jù)5月份的實際額列方程 25（1+x）2=36。注：（ 1）解一元二次方程要求出兩解，根據(jù)實際再取舍。2）結(jié)果要化成百分?jǐn)?shù)的形式。200 萬元資金用于生產(chǎn)這種產(chǎn)品，簽訂的合同上約定兩2（成都市）某科技公司研制成功一種新產(chǎn)品，決

13、定向銀行貸款年到期時一次性還本付息，利息為本金的8%，該產(chǎn)品投放市場后，由于產(chǎn)銷對路，使公司在兩年到期時除還清貸款的本金和利息外，還盈余 72 萬元，若該公司在生產(chǎn)期間每年比上一年資金增長的百分?jǐn)?shù)相同，試求這個百分?jǐn)?shù)?？键c：一元二次方程的應(yīng)用。200（1+8%）+72，由題意不難評析：兩年后的產(chǎn)值是列方程的難點，也是此題的難點，即兩年后的產(chǎn)值為本息和加盈利 列出方程 200（1+x） 2=72+200（1+8%） ， （x 為所求百分?jǐn)?shù) ）。解：設(shè)這個百分?jǐn)?shù)為 x。依題意，列出方程為200（1+x）2=72+200（1+8%） ?；?，得 200(1+x) 2=288，即(1+x)2=1.44

14、。解得X1=0.2=20%，X2=-2.2 （不合題意，舍去）。答：該公司資金增長的百分?jǐn)?shù)為20%。3.（昆明）某廠工業(yè)廢氣年排放量為450萬立方米，為改善昆明市的大氣環(huán)境質(zhì)量，決定分二期投入治理，使廢氣的年排放量減少到288萬立方米，如果每期治理中廢氣減少的百分率相同。（1 ）求每期減少的百分率是多少?（2）預(yù)計第一期治理中每減少 1萬立方米廢氣需投入 3萬元，第二期治理中每減少 1萬立方米廢氣需投入 4.5萬元，問兩期治理完成后共需投入多少萬元?解：（1 ）設(shè)每期減少的百分率為X.據(jù)題意，得：450（1-x） 2=2882(1-X)=0.64解得：x=1±0.8-Xi=0.2,

15、X2=1.8（不合題意，舍去二每期減少的百分率為 20%。(2)v 450(1-20%)=360第一期減少的廢氣 450-360=90（萬立方米）又T第二期減少的廢氣 360-288=72 （萬立方米）則共需投入3X90+4.5 X72=594（萬元）答：（1）每期減少的百分率為20%,（2）兩期治理完成后共需投入594萬元4 .（遼寧?。┝蟹匠探鈶?yīng)用題:某顧客第一次在商店買若干件小商品花去5元,第二次再去買該小商品時，發(fā)現(xiàn)每一打（12件）降價0.8元，他比第一次多買了 10件，這樣，第二次共花去 2元，且第二次買的小商品恰好成打，問他第一次買的小商品是多少件?考點：列分式方程解應(yīng)用題評析：思

16、路：設(shè)第一次買的小商品為X件，則第二次為（X+10）件分別表示出每件的價格，兩次的價格差即為每件小商品所降的價格，列出分式方程，可解決此題。說明：求出未知數(shù)的值，必須檢驗，不但使方程成立，還必須符合實際。解：設(shè)他第一次買的小商品為X件.根據(jù)題意，得0.87 X + 1012去分母整理得x2-35x-750=0.解得 Xi=50,X2=-15.經(jīng)檢驗Xi=50,X2=-15都是原方程的根.但x=-15不合題意，舍去，所以只取x=50.答:他第一次買小商品50件.5 .（北京市海淀區(qū)）列方程或方程組解應(yīng)用題:為了響應(yīng)節(jié)水號召，小紅家要使200m3的水比過去多用5個月，計劃每月比過去少用水 2m3,問小紅家計劃每月用多少水?XX-2 （其考點：列方程（組）解應(yīng)用題。評析：列方程（或組）解應(yīng)用題的關(guān)系是通過審題，找到等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列方程（組）就容易了, 中